函数的零点_图文

函数的零点、方程的实根分布讨论、函数应用题的几种模型
1.①若函数 f(x)是奇函数,且有三个零点 x1、x2、x3,则 x1+x2+x3 的值为( A.-1 B.0 C.3 D.不确定 )

[解析] 因为 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,它有三个零点,即 f(x)的图象与 x 轴有三个交点, 故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.∴x1+x2+x3=0. [答案] B ②函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一个实根 0, 则 f(-1)·f(1)的值( A.大于 0 ) B.小于 0 C.等于 0 D.无法确定

解析: 由题意, f(x)在(-1,1)上有零点 0, 知 该零点可能是变号零点, 也可能是不变号零点, f(-1)·f(1) ∴ 符号不定,如 f(x) =x ,f(x)=x.
x
2

答案:D

③(2011·厦门质检)若函数 f(x)=e +2x-6(e≈2.718)的零点属于区间(n, +1)(n∈Z), n=________. n 则 解析:可估算两相邻自然数的函数值 ,f(1)=e-4<0,f(2)=e -2>0,从而可知函数 f(x)的零点位于区 间(1,2)内,故 n=1.
3
2

答案:1 ( )

④已知 f ( x) ? ? x ? x, x ? ? m, n ? , 且f (m) ? f (n) ? 0, 则f ( x)在 ? m, n ?内 A、至少有一实数根 B、至少有一实根 ) C.2 个 D.3 个 C、无实根

D、有唯一实数根

(x-1)ln(x-2) 2.①函数 f(x)= 的零点有( x-3 A.0 个 B.1 个

(x-1)ln(x-2) [解析] 令 f(x)=0 得, =0,∴x-1=0 或 ln(x-2)=0,∴x=1 或 x=3, x-3 ∵x=1 时,ln(x-2)无意义,x=3 时,分母为零,∴1 和 3 都不是 f(x)的零点,∴f(x)无零点,故选 A.
?x +2x-3,x≤0, ? ②(2010·福建理,4)函数 f(x)=? ? ?-2+lnx,x>0
2

的零点个数为(

)

A.0
2

B.1

C.2

D.3

[解析] 令 x +2x-3=0,∴x=-3 或 1∵x≤0,∴x=-3;令-2+lnx=0,∴lnx=2 ∴x=e >0,故函数 f(x)有两个零点.[答案] C
2

?1?x 3 ③函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在区间为( ?2?
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

)

1 ?1?x 3 [答案] C[解析] 令 f(x)=x -? ? ,则 f(0)=-1<0,f(1)= >0,故选 C. 2? 2 ?
? 2 ④ 设 函 数 f ( x) ? ? x ? bx ? c, x ? 0, x ? 0, 若f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2, 则 关 于 x 的 方 程 f ( x) ? x 解 的 个 数 为 x ? 0. ?2,



C ) B.2 C.3 ) C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=e +3x-6
x

A.1

D.4

⑤下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( A.f(x)=3x -4x+5
2

B.f(x)=x -5x-5

3

[答案] D[解析] 对于函数 f(x)=e +3x-6 来说 f(1)=e-3<0,f(2)=e >0∴f(1)f(2)<0,故选 D. ⑥已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且 α 、β 是函数 f(x)的两个零点,则实数 a、b、α 、β 的大小关系可 能是( ) B.a<α <β <b C.α <a<b<β D.α <a<β <b

x

2

A.a<α <b<β [答案] C

[解析] ∵α 、β 是函数 f(x)的两个零点, ∴f(α )=f(β )=0,又 f(x)=(x-a)(x-b)-2,∴f(a)=f(b)=-2<0. 结合二次函数 f(x)的图象可知,a、b 必在 α 、β 之间. ⑦若函数f (x) x 2 -ax-b的两个零点时2和3, = 则函数g (x) =b x 2 -ax-1的零点 ?

1 1 ,? . 2 3

⑧已知 y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示, 今考虑 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01, 对于方程式 f(x)=0 根的 情况,以下说法正确的是________.(填上正确的序号) ①有三个实根; ②当 x<-1 时,恰有一实根;

③当-1<x<0 时,恰有一实根; ④当 0<x<1 时,恰有一实根; ⑤当 x>1 时,恰有一实根. 解析:函数 f(x)的图像可由 y=x(x-1)(x+1)的图像向上平移 0.01 个单位即可,如 图所示.由图像易知方程 f(x)=0 有三个实根,当 x<-1 时,恰好有一根;当-1<x<0 时, 没有实根;且当 0<x<1 时,恰好有两根,当 x>1 时,没有实根.所以只有①②正确. 答案:①② ⑨若函数 f(x)=ax+b 的零点是 2,则函数 g(x)=bx -ax 的零点是( A.0,2 1 B.0, 2 C.0,- 1 2
2

)

1 D.2,- 2

1 [答案] C[解析] 由条件 2a+b=0,∴b=-2a∴g(x)=-ax(2x+1)的零点为 0 和- . 2 3.

, 若 a,b c ?R ,且 a ? 0 , 4a ? 4b ? c ? 0 , a ? 2b ? c ? 0 ,则下列结论正确的是(
A. b ≤ ac
2



B. b ? ac
2

C. b ? ac ,且 a ? 0
2
2

D. b ? ac ,且 a ? 0
2

解析:结合已知,对照函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? c ,我们会发现 f (?2) ? 0 , f (1) ? 0 .这说明在 (?2, 上 1) 函数存在一个零点,由于 f ( x) 是二次函数,说明图象与 x 轴必有两个交点,也就是方程 ax ? 2bx ? c ? 0
2

有两个不等的实根,因为 ? ? 0 ,即 (2b) ? 4ac ? 0 ,得 b ? ac ,故答案为(B) .
2

2

4.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)(0,8)(0,4)(0,2)内,那么下列命题中正确的 C 、 、 、 (A)函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 (B)函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 (C)函数 f(x)在区间[2,16 ) 内无零点 (D)函数 f(x)在区间(1,16)内无零点

5. ①若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点, 要使零点的近似值满足精确度为 0.01, 则对区间(1,2)至少二等分 ( ) A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次

1 解析:设对区间(1,2)至少二等分 n 次,此时区间长为 1,第 1 次二等分后区间长为 ,第 2 次二等分后区 2 1 1 1 1 间长为 2,第 3 次二 等分后 区间长 为 3,?,第 n 次二等分后区间长为 n.依题意得 n<0.01,∴n>log2100.由于 2 2 2 2 6<log2100<7,∴n≥7,即 n=7 为所求.答案:C ②函数 f ( x ) ?

? | x ? n |(n ? N
n ?1

19

*

) 的最小值为(



A. 190 B. 171 C. 90 D. 45 解析:因 | x ? n | 表示数轴上的动点 x 到点 n 之间的距离。 当 | x ? 1 | ? | x ? 19 | 最小时,x 为区间[1,19]内的任意一个分点; 当 | x ? 2 | ? | x ? 18 | 最小时,x 为区间[2,18]内的任意一个分点; 当 | x ? 3 | ? | x ? 17 | 最小时,x 为区间[3,17]内的任意一个分点。 依次类推, 当 | x ? 9 | ? | x ? 11 | 最小时,x 为区间[9,11]内的任意一个分点; 当 | x ? 10 | 最小时, x ? 10 利用“二分法”思想,当 x 是区间[1,19][2,18][3,17] , , ,??, [9,11]共同二等分点,即 x=10 时,f(x)取得最小值,所以

f (x) min ?| 10 ? 1 | ? | 10 ? 2 | ? | 10 ? 3 | ? ?? | 10 ? 9 | ? | 10 ? 10 | ? | 10 ? 11 | ? ?? | 10 ? 19 |? 90

故选 C。

6.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0.则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2

解析:∵f(x)是在 R 上的偶函数,且周期是 3,f(2)=0,∴f(2)=f(5)=f(-2)=f(1)=f(4)=0.答案:B 1 x 7.已知函数 f(x)=( ) -log2x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)( 3 A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 ) D.不大于 0

1 x 解析:设 f1(x)=( ) ,f2(x)=log2x,画出 f1(x)和 f2(x)的图象(如图),易知当 3 0<x1<x0 时,f 1(x1)>f2(x1),所 以 f(x1)=f1(x1)-f2(x1)>0,即 f(x1)的值恒为正值. 答案:A 8.三次方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0 在下列那些连续整数之间有根(
3 2

) 3)0 与 1 之间

1)-2 与-1 之间 4)1 与 2 之间 A、1)2)3)

2)-1 与 0 之间 5)2 与 3 之间 B、1)2)4) C、1)2)5)

D、2)3)4) y )C

9.对于任意 k∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(k-4)x-2k+4 的值恒大于零,则 x 的取值范围是(

A.x<0 B.x>4 C.x<1 或 x>3 D.x<1 3 2 10.已知:函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图像 则( A ) o 1 2 x A.b∈(-∞,0) B.b∈(1,2) C.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞) 2 11.①已知函数 f(x)=mx +(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的取值范围是

(

) A.(0,1] [答案] D 1 [解析] 解法 1:取 m=0 有 f(x)=-3x+1 的根 x= >0,则 m=0 应符合题设,所以排除 A、B,当 m=1 3 B.(0,1) C.(-∞,1) D.(-∞,1]

时,f(x)=x -2x+1=(x-1) 它的根是 x=1 符合要求,排除 C.∴选 D. 解法 2:直接法,∵f(0)=1,∴(1)当 m<0 时必成立,排除 A、B,

2

2

?m>0, ?Δ =(m-3) -4m>0, (2)当 m>0 时,要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧,则? m-3 ?- 2m >0, ?
2

∴0<m≤1.

1 (3)当 m=0 时根为 x= >0.∴选 D. 3 ②若方程方程 5x ? 7 x ? a ? 0 的一个根在区间( ? 1 , 0 )内,另一个在区间( 1 , 2 )内,求实数 a 的取
2

值范围



? f (?1) ? 0 ? 5 ? 7 ? a ? 0 ? a ? 12 ? f (0) ? 0 ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 2 解:令 f ( x) ? 5 x ? 7 x ? a 则根据题意得 ? ?0 ? a ? 6 ? f (1) ? 0 ? ?2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ? f (2) ? 0 ? 20 ? 14 ? a ? 0 ? a ? 6 ?
③关于x的方程2k x 2 -2x-3k=0的两根一个大于1,一个小于1,则实数的取值范围 k>0或 k<-4 . x x ④已知 函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且只有一个零点,则实数 m 的值为________. 解析:由题知:方程 4 +m·2 +1=0 只有一个零点.令 2 =t(t>0),
x x x

?-m>0, ? ∴方程 t +m·t+1=0 只有一个正根,∴由图象可知? 2 ?Δ =0, ?
2 2

∴m=-2.答案:-2

⑤已知关于 x 的方程 x +2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数 m 的取值范围.

解:令 f ( x) ? x ? 2mx ? 2m ? 3 有图像特征
2

可知方程 f(x)=0 的两根都在(0,2)内需满足的条件是

解得 ?

35 ? m ? ?1。 4
x

12.若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

解析:令 g(x)=a (a>0,且 a≠1),h(x)=x+a,分 0<a<1,

x

a>1 两种情况.在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数 f(x )=ax-x-a 有两个不同的零点,则函数 g(x),h(x)的图象有两个
不同的交点.根据画出的图象只有当 a>1 时符合题目要求. 答案:(1,+∞) 13. 已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是_________。 3 1 3 解析:只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p< 或- <p<1。∴p∈(-3, ) 。 2 2 2 3 答案: (-3, ) 2 14. 二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x) ,若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2) , 则 x 的取值范围是_________。 12. 解析:由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0。 答案:-2<x<0 2 15.二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x y
2

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则使 ax +bx+c>0 的自变量 x 的取值范围是______. [答案] (-∞,-2)∪(3,+∞) 16.有下列四个结论: ①函数 f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞) ②若幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,4),则该函数为偶函数 ③函数 y=5 的值域是(0,+∞) ④函数 f(x)=x+2 在(-1,0)有且只有一个零点. 其中正确结论的个数为( A.1 [答案] C [解析] 由?
2 |x|

x

) C.3 D.4

B.2

?x+1>0 ? ? ?x-1>0

,得 x>1,故①正确;∵f(x)=x 过(2,4),∴2 =4,∴α =2,
|x| |x|

α

α

∴f(x)=x 为偶函数,故②正确;∵|x|≥0,∴y=5 ≥1,∴函数 y=5 的值域是[1,+∞),故③错; 1 -1 0 x ∵f(-1)=-1+2 =- <0,f(0)=0+2 =1>0,∴f(x)=x+2 在(-1,0)内至少有一个零点,又 f(x)=x+ 2 2 为增函数,∴f(x)=x+2 在(-1,0)内有且只有一个零点,∴④正确,故选 C. 17.已知二次函数 f(x)=a x 2 +bx(a,b是常数且a ? 0)满足条件:f(2)=0.方程有等根 (1)求 f(x)的解析式; (2)问:是否存在实数m,n使得f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n] ,如存在,求 出m,n的值;如不存在,说明理由.
x x

(1)由f(2)=0得:4a+2b=0,方程f(x)=x即 a

x

2

+(b-1)x=0.

?有等根?Δ = (b ?1)2 =0,
? 解方程组 ?4a ? 2b ? 0 ,得 ? ? 2 ? ?b ?(b ?1) ? 0 ?
(2)f(x)=-

?

a??

? ?1

1 1 2 2 ,?f(x)=- x +x 2

?2n ? 1

2

,?

2 1 2 1 1 1 x +x=- 2 ( x ?1) ? 2 ? 2 2 1 n ? ?函数f(x)在[m,n]上是增函数 4

1 2 ? ? f (m) ? ? 2 m ? m ? 2m, ? ?? ,解得m=2,n=0 ? f ( n) ? ? 1 2 ? n ? 2n ? 2n ?
18. ①已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) , 2a ? 3b ? 6c ? 0 ,求证方程 f ( x ) ? 0 至少有一个根在(0,1 内。 证明:用“二分法”来证明。首先在区间(0,1)内寻找一个分点,使这个分点所对应的函数值小于 0。 1 在区间(0,1)内选二分点 , 2

1 1 1 1 ? 1 ?1? 1 ? 1 f ? ? ? a ? b ? c ? a ? b ? ? ? a ? b? ? ? a ? 0 2 4 2 2 ? 12 ? 2? 4 ? 3
其次证明区间(0,1)两个端点函数值 f (0) , f (1) 至少有一个为正

? 2 ? 1 因为 f (0) ? f (1) ? c ? (a ? b ? c) ? a ? b ? 2c ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? 0 ? 3 ? 3
所以 f (0), f (1) 中至少有一个为正,由函数的图象可知方程 f ( x ) ? 0 至少有一个根在(0,1)内。 注意:证方程 f ( x ) ? 0 在区间(m,n)内有两个不同的解,只需证 f (m) ,f ( n ) 的符号相同,以及在区间(m, n)找一个二分点 t 所对应函数值 f (t ) 的符号(它与 f(m),f(n)的符号相反) 。要证方程 f ( x ) ? 0 在区间(m,n) 内至少有一个解,只需证 f(m),f(n)中至少有一个的符号与区间(m,n)内的一个二分点 t 所对应函数值 f(t) 的符号相反。 2 ②设函数 f(x)=x +2bx+c(c<b<1),f(1)=0,且方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1,且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负,并加以证明. 解:(1)证明:f(1)=0 ? 1+2b+c=0 ? b=-
2

c ?1 c ?1 1 .又 c<b<1,故 c<- <1 ? -3<c<- . 2 2 3
2

方程 f(x)+1=0 有实根,即 x +2bx+c+1=0 有实根,故Δ =4b -4(c+1)≥0. (c+1) -4(c+1)≥0 ? c≥3 或 c≤-1.又 c<b<1,得-3<c≤-1,由 b=-
2 2 2

c ?1 知 b≥0. 2

(2)解: f(x)=x +2bx+c=x -(c+1)x+c=(x-c)(x-1),f(m)=-1<0.∴c<m<1,∴c-4<m-4<-3 <c.∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0,∴f(m-4)的符号为正. x 1 1 3 2 ③已知函数 f(x)=x -x + + .证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2 4 2

1 1 1 1 1 1 证明:令 g(x)=f(x)-x.∵g(0)= ,g( )=f( )- =- ,∴g(0)·g( )<0. 4 2 2 2 8 2 1 1 又函数 g(x)在[0, ]上连续,所以存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0.即 f(x0)=x0. 2 2 ④判断方程 3 -x =0 的负实数根的个数,并说明理由. 2 x 2 解:设 f(x)=3 -x ,∵f(-1)=- <0,f(0)=1>0,又∵函数 f(x)的图象在[-1,0]上是连续不断的, 3 ∴函数 f(x)在(-1,0)内有零点.又∵在(-∞,0)上,函数 y=3 递增,y=x 递减, ∴f(x)在(-∞,0)上是单调递增的,∴f(x)在(-1,0)内只有一个零点. 因此方程 3 -x =0 只有一个负实数根. ⑤试找出一个长度为 1 的区间,在这个区间上函数 f ( x) ?
x
2

x

2

x

2

x ?1 至少有一个零点。 3x ? 2

1 ?1 x ?1 2 2 1 3 1 1 解: f ( x) ? 的定义域为 (??, ? ) ? (? , ??) 。取区间 [ , ] 。则易证: f ( ) ? 2 ?? ?0, 3 3x ? 2 3 3 2 2 2 7 ?2 2 3 ?1 1 3 1 3 3 1 2 f( )? ? ? 0 ,所以 f ( ) f ( ) ? 0 ,所以在区间 [ , ] 内函数 f(x)至少有一个零点。区间 9 2 2 2 2 2 ? 2 13 2 1 3 [ , ] 符合条件。 2 2
19. 已知对于 x 的所有实数值, 二次函数 (x) 2-4ax+2a+12 a∈R) f =x ( 的值都是非负的, 求关于 x 的方程 -1|+2 的根的取值范围。 解:由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- (1)当-

x =|a a?2

3 ≤a≤2 2

25 3 1 ≤a<1 时,原方程化为 x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- )2+ 。 2 2 4 25 25 3 9 1 9 ∴当 a=- 时,xmin= ,当 a= 时,xmax= 。∴ ≤x≤ 。 2 4 2 4 4 4 3 1 (2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+ )2- ∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12。 2 4 9 综上所述, ≤x≤12。 4
20.已知函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0,a ? b ? c) ,若 f (1) ? 0 ,问:是否存在正整数 t 使 f (t ? 1) ? 0? 若存在,
2

求出 t ;若不存在,请说明理由. 解析:

f (1) ? 0

?a ? b ? c ? 0 ? ?a ? b ? c,a ? 0

?a ? 0 ? ?c ? 0

开口向上

c ?0 a

, 至此可知 f ( x) 的开口向上, x 轴的两个交点一个是负数, 与 另一个是 1, 由图象特征知 f ( x) 在 ?1 ? ∞? ?c? 函数存在小于零的零点 f ? ??0

?a?

上是增函数,若 f (t ? 1) ? 0 成立,由 t ? 1≥ 0 知,必有 f (t ? 1) ? f (1) ,得 t ?1 ? 1 ,即 t ? 2 . 故正整数 t 存在,且只要是大于 2 的正整数都满足 f (t ? 1) ? 0 . 21.①用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1 在区间(-1,0)内的近似解.(精确到 0.1) (参考数据 f(-0.5)=3.375, f(-0.75)≈1.578, f(-0.875)≈0.393, f(-0.9375)≈-0.277) [解析] 原方程为 x -4x +x+5=0,令 f(x)=x -4x +x+5.∵f(-1)=-1,f(0)=5,f(-1)·f(0) <0,∴函数 f(x)在(-1,0)内有零点 x0. 取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算,列表如下 端点或中点横坐标 端点或中点的函数值 定区间 [-1,0] [-1,-0.5] [-1,-0.75] [-1,-0.875] [-0.9375,-0.875]
3 2 3 2

a0=-1,b0=0 x0= x1= x2=
-1+0 =-0.5 2

f(-1)=-1,f(0)=5 f(x0)=3.375>0 f(x1)≈1.578>0 f(x2)≈0.393>0 f(x3)≈-0.277<0

-1+(-0.5) =-0.75 2

-1+(-0.75) =-0.875 2 -1-0.875 =-0.9375 2

x3=

∵|-0.875-(-0.9375)|=0.0625<0.1, ∴原方程在(-1,0)内精确到 0.1 的近似解为-0.9. ②用二分法求函数 f ( x) ? x ? x ? 3x ? 3 的正零点(精确到 0.01).
3 2

x x 解: f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 3 ? x ( x ? 1) ? 3(x ? 1) ? (x ? 1)(x ? 3)? ( ? 1)( ?
3 2 2 2

3)( ? x

3)? 0

∴函数的

, , 零点为 ?1 ? 3 3 .其中 3 为正零点,于是问题转化为求 3 的近似解问题.
设 3 ? x,x ? 3 ,令 f ( x) ? x ? 3, 3 , 3 也是函数 f ( x) ? x ? 3 的零点,
2
2

2

∵ f (1) ? ?2 ? 0,f (2) ? 1 ? 0 , , ∴可取初始区间 [1 2] 用二分法逐次计算. ,
n ?1

由2

?

b0 ? a0

?

,知 2

n?1

?

2 ?1 0.01

? 100 ,经验证, n 取最小值为 6 时,即经过 6 次取中点就能取得符合

精确度要求的近似零点,列表如下: 端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间

an ? bn
1 0.5

[1 2] ,

x1 ?

1? 2 ? 1.5 2

f ( x1 ) ? ?0.75 ? 0

[1.5, 2]

1.5 ? 2 ? 1.75 2 1.5 ? 1.75 x3 ? ? 1.625 2 1.625 ? 1.75 x4 ? ? 1.6875 2 1.6875 ? 1.75 x5 ? ? 1.71875 2 1.71875 ? 1.75 x6 ? ? 1.734375 2 1.71875 ? 1.734375 x7 ? ? 1.7265625 2 x2 ?

f ( x2 ) ? 0.0625 ? 0 f ( x3 ) ? ?0.3594 ? 0 f ( x4 ) ? ?0.1523 ? 0 f ( x5 ) ? ?0.0459 ? 0 f ( x6 ) ? 0.0081 ? 0

[1.5, 1.75] [1.625, 1.75] [1.68751.75] , [1.71875, 1.75] [1.718751.734375] ,

0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625

∵区间 [1.718751.734375] 的长度小于 2 ? 0.01 ? 0.02 . , 于是函数 f ( x) 的正零点为 x7 ? 1.7265625 . ③用二分法求方程 f(x)=2 -x =0 在区间(-1,0)内的实数解(精确到 0.01). (参考数据 f(-0.5)>0, f(-0.75)>0, (-0.875)<0, f(-0.8125)<0, f(-0.78125)<0, f(-0.765625)>0) f 1 x 2 -1 2 [解析] 令 f(x)=2 -x ,∵f(-1)=2 -(-1) =- <0,f(0)=1>0, 2 说明方程 f(x)=0 在区间(-1,0)内有一个零点. 取区间(-1,0)的中点 x1=-0.5,用计算器可算得 f(-0.5)≈0.46>0.因为 f(-1)·f(-0.5)<0,所以
x
2

x0∈(-1,-0.5).
再取(-1, -0.5)的中点 x2=-0.75, 用计算器可算得 f(-0.75)≈-0.03>0.因为 f(-1)·f(-0.75)<0, 所以 x0∈(-1,-0.75). 同理,可得 x0∈(-0.875,-0.75),x0∈(-0.812 5,-0.75),x0∈(-0.781 25,-0.75),x0∈(-0.781 25,-0.765 625),x0∈(-0.773 437 5,-0.765 625). 由于|(-0.765 625)-(0.773 437 5)|<0.01,此时区间(-0.773 437 5,-0.765 625)的两个端点精确到 0.01 的近似值都是-0.77,所以方程 2 -x =0 精确到 0.01 的近似解约为-0.77. 1 22.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数 f(x)的一个零点为- ,求满足 f(log1x)≥0 的 x 2 4 的取值集合. 1 1 ? 1? [解析] ∵- 是函数的零点,∴f?- ?=0,∵f(x)为偶函数,∴f( )=0, 2 2 ? 2? 1 ? 1? ∵f(x)在(-∞,0]上递增,f(log1x)≥f?- ?,∴0≥log1x≥- ,∴1≤x≤2,∵f(x)为偶函数, 2 ? 2? 4 4 1 1 1 1 ∴f(x)在[0,+∞)上单调减,又 f(log1x)≥f( ),∴0≤log1x≤ ,∴ ≤x≤1,∴ ≤x≤2. 2 2 2 2 4 4 1 故 x 的取值集合为{x| ≤x≤2}. 2 23.已知关于 x 的方程 3x ? 5x ? a ? 0 的两根 x1 , x 2 满足 x1 ? (?2,0), x2 ? (1,3) ,求实数 a 的取值范围。
2
x
2

解 : 依 题 意 , 关 于 x 的 方 程 3x ? 5x ? a ? 0 的 两 根 x1 , x 2 满 足 x1 ? (?2,0), x2 ? (1,3) , 即 函 数
2

f ( x) ? 3x 2 ? 5 x ? a 的两零点 x1 , x 2 满足 x1 ? (?2,0), x2 ? (1,3) , 结合二次函数 f ( x) ? 3x 2 ? 5 x ? a 的 ?
? f ( ? 2) ? 0 ?3 ? 4 ? 5( ?2) ? a ? 0 ? f ( 0) ? 0 ?a ? 0 ? ? 图象可得: ? ,即 ? ,解得: ? 12 ? a ? 0 。 ? f (1) ? 0 ?3 ? 5 ? a ? 0 ? f (3) ? 0 ?27 ? 15 ? a ? 0 ? ?
3.一元二次方程 x ? 11x ? a ? 30 ? 0 的两根都大于 5,求实数 a 的范围.
2

?( x1 ? 5) ? ( x2 ? 5) ? 0, ? 解析:按常规,设方程的两根分别为 x1,x2 ,则 ?( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? 0, ?? ≥ 0, ?
对于这个不等式组,求解的麻烦程度是可想而知的. 若我们设 f ( x) ? x ? 11x ? a ? 30 ,则其对称轴方程为 x ?
2

11 ,而函数的零点关于对称轴对称,因 2

为欲使两根都大于 5,只需限定较小的根大于 5 即可.

?52 ? 11? 5 ? a ? 30 ? 0, ? f (5) ? 0, 241 ? ? 由于开口向上,因此 ? ? 11 ? 即 ?? 11 ? 2 得 60 ? a ≤ . 11 f ? ? ≤ 0, ?? ? ? 11? ? a ? 30 ≤ 0, 4 ? ? ?2? 2 ?? 2 ?
x2 例 2 函数 y ? 和 y ? log 2 x 的图象的交点有( 6
) .

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 解析:在同一坐标系中,分别作出两函数的图象,如图 2, 在直线 x=1 左侧的那个交点十分容易发现,在其右侧有无交点呢? 若有,是 1 个还是 2 个(其他情况不可能)?通过图象很难断定, 下面我们利用存在零点的条件 f (a)?f (b) ? 0 来解决这个问题,

x2 ? log 2 x 的零点, 两函数图象的交点的横坐标就是函数 f ( x) ? 6
其中 f (1) ?

1 1 2 ? 0,f (2) ? ? ? 0,f (4) ? ? 0 ,所以在直线 x=1 右侧,函数有两个零点.一个在(1,2) 6 3 3
x2 x2 ? log 2 x 共有 3 个零点,即函数 y ? 和 y ? log 2 x 的图象有 3 6 6

内,一个在(2,4)内,故函数 f ( x) ?

个交点,故选(C) . 评注:在例 1 中我们借助了函数图象的直观性很好地解决了问题,但通过例 2 我们发现,图象也有它的缺 点,那就是很难细致入微,我们只好又返回函数来解决问题,这正如华罗庚先生所说:数缺形时少直观,形少 数时难入微,数形结合百般好. 15、 国家购买某种农产品的价格为 120 元/担, 其中征税标准为 100 元征 8 元 (叫做税率为 8 个百分点, 8%) 即 , 计划可收购 m 万担。为了减轻农民负担,决定税率降低 x 个百分点,预计收购量可增加 2 x 个百分点。 (1)写出税收 f ? x ? (万元)与 x 的函数关系式;

(2)要使此项税收在税率调节后达到计划的 78%,试求此时的 x 的值。 15、解: (1)由题设,调节税率后税率为 ?8 ? x ? %,预计可收购 m(1 ? 2 x%) 万担,总金额为 120 m(1 ? 2 x%) 万 元,所以

f ?x ? ? 120 m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% 。
即 f ?x ? ? ?

3m 2 x ? 42 x ? 400 ?0 ? x ? 8? 。 125

?

?

(2)计划税收为 120 m ? 8% 万元,由题设,有

f ?x ? ? 120 m ? 8% ? 78% ,
即 x ? 42 x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) ,解得 x ? 2 。
2

试用函数的图象指出方程 x ? 42 x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) 的根,即函数 g ?x ? ? x ? 42 x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8)
2 2

的零点所在的大致区间。 [例 6] f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0
2

(1)求证: a ? 0 且 ? 2 ?

b ? ?1 a

(2)求证:方程 f ( x) ? 0 在(0,1)内有两个实根 解 : f (0) ? c ? 0

f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0
∴ b?0

a ? b ? c ? 0 代 入 3a ? c ? 2(a ? c) ? 0



a ? c ? 0∴ a ? c ? 0

?b ?a ? b ? c ? 0 ? a ? ?2 3a ? 2b ? a ? b ? 0 2a ? ?b ? ? b ? ? ?? ?? ∴ ? (?2,?1) ?3a ? 2b ? c ? 0 ? ? a ?a ? b ? 0 ?a ? ?b ?c ? 0 ? b ? ?1 ? ?a ?

b 3ac ? b 2 b y ? f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 顶点 (? , ) ∵ ? (?2,?1) 3a 3a a
2

∴ ?

b 1 2 ? ( , ) ? (0,1) 3a 3 3

3ac ? b 2 (a ? c) 2 ? 3ac (a ? c) 2 ? ac ?? ?? ? 0 f (0) ? 0 3a 3a 3a
∴ f ( x) ? 0 在(0,1)内有两个不等实根

f (1) ? 0

例 4 设 f ( x) 和 g ( x) 的图象在[a,b]上是连续不断的,且 f (a) ? g (a),f (b) ? g (b) ,证明:在(a,b) 内存在一点 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) . 分析:证明的问题可以转化为方程 f ( x) ? g ( x) 在(a,b)内有解,进而转化为函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (a,b)内有零点.

证明:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,∵ f (a) ? g (a),f (b) ? g (b) , ∴ F (a) ? f (a) ? g (a) ? 0,F (b) ? f (b) ? g (b) ? 0 .∴函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)内有零点. ∴方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 在(a,b)内有解.即 f ( x) ? g ( x) 在(a,b)内有解. ∴在(a,b)内存在一点 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) . [例 1]已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对于 x 1、 x 2 ? R,且 x 1< x 2 时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证:方程 f ( x) =
2

1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 有不等实根,且必有一根属于区间( x 1, x 2). 2 1 1 解:设构造函数 F( x )= f ( x) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则方程 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ① 与方程 F x ) ( 2 2 1 1 =0 ②等价.∵F( x 1)= f ( x1 ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2 1 1 1 F( x 2)= f ( x2 ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] = [? f ( x1 ) ? f ( x2 )] ∴ F( x 1) ·F( x 2)=- [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 , 2 2 4
又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴F( x 1) ·F( x 2)<0 故方程②必有一根在区间( x 1, x 2)内.由于抛物线 y=F( x )在 x 轴上、下方均有分布,所以此抛物线与 x 轴 相交于两个不同的交点, 即方程②有两个不等的实根, 从而方程①有两个不等的实根, 且必有一根属于区间 x 1, ( x 2). [例 2].试确定方程 2 x ? x ? 4 x ? 2 ? 0 最小根所在的区间,并使区间两个端点是两个连续的整数.
3 2

分析:构造函数 f ( x) = 2 x ? x ? 4 x ? 2 ,我们可以从函数式中发现其自变量没有任何限制,也就是说其函
3 2

数图象是连续的. 判断一个函数在一个区间是否有零点,首先要保证图像是连续不断的曲线.在得到这一保证后 就可以计算 f ( x) 的自变量 x 取整数值时的函数值,根据其符号,确定方程根的个数及根的分布. 解:令 f ( x) = 2 x ? x ? 4 x ? 2
3 2

∵ f (?3) =-54-9+12+2=-49<0; f (?2) =-16-4+8+2=-10<0;

f (?1) =-2-1+4+2=3>0; f (0) =0-0-0+2=2>0; f (1) =2-1-4+2=-1<0
f (2) =16-4-8+2=6>0.根据 f (?2) · f (?1) <0, f (0) · f (1) <0, f (1) · f (2) <0
可知 f ( x) 的零点分别在区间(-2,-1)(0,1)(1,2)内.因为方程是一个一元三次方程,所以它最多有三 , , 个根,所以原方程的最小根在区间(-2,-1)内. 点评:计算一元高次函数值可借助于计算器来完成,在实数范围内一元 n 次方程最多有 n 个实根,当然本题 也可以用因式分解方法来解.如: 2 x ? x ? 4 x ? 2
3 2

1? 1? ? ? ? x 2 ?2 x ? 1? ? 2?2 x ? 1? ? 2? x ? ? x 2 ? 2 ? 2? x ? ? x ? 2 x ? 2 . 2? 2? ? ?

?

?

?

??

?

所以 2 x ? x ? 4 x ? 2 =0 有三个根:
3 2
2

1 , 2, ? 2 . 2

[例 3]已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c(c ? b ? 1), f (1) ? 0 ,且方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. (1)求证:-3<c≤-1,b≥0. (2)若 m 是方程 f ( x) ? 1 ? 0 的一个实根,判断 f (m ? 4) 的正负并加以证明 分析: (1)题中条件涉及不等关系的有 c ? b ? 1 和方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. 及一个等式 f (1) ? 0 ,通过适当代换及不等式性质可解得; (2)本小题只要判断 f (m ? 4) 的符号,因而只要 研究出 m ? 4 值的范围即可定出 f (m ? 4) 符号. (1)证明:由 f (1) ? 0 ,得 1+2b+c=0,解得 b ? ? 1? ?

c ?1 1 ? c ,解得 ? 3 ? c ? ? . 2 3
2

c ?1 ,又 c ? b ? 1 , 2

又由于方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根,即 x ? 2bx ? c ? 1 ? 0 有实根, 故 ? ? 4b ? 4(c ? 1) ? 0 即 (c ? 1) ? 4(c ? 1) ? 0 解得 c ? 3 或 c ? ?1
2 2

∴ ? 3 ? c ? 1 ,由 b ? ?
2

c ?1 ,得 b ≥0. 2
2

(2) f ( x) ? x ? 2bx ? c = x ? (c ? 1) x ? c ? ( x ? c)( x ? 1) ∵ f (m) ? ?1 ? 0 ,∴c<m<1(如图) ∴c—4<m—4<—3<c ∴ f (m ? 4) 的符号为正.

点评:二次函数值的符号,可以求出其值判断,也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. x-2 x 17.已知函数 f(x)=a + (a>1). x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [解析] (1)任取 x1、x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1,且 ax1>0. ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0. 又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴ =

x2-2 x1-2 (x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1) - = x2+1 x1+1 (x1+1)(x2+1)
3(x2-x1) >0 (x1+1)(x2+1)

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x2-2 x1-2 - >0,故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x2+1 x1+1 x0-2 ,且 0<ax0<1, x0+1

(2)证法 1:设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0,则 ax0=-

∴0<-

x0-2 1 <1,即 <x0<2.与假设 x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. x0+1 2

证法 2:设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0 (Ⅰ)若-1<x0<0,则

x0-2 <-2,ax0<1, x0+1

∴f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾. (Ⅱ)若 x0<-1,则

x0-2 >0,ax0>0, x0+1

∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 例 1、某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿平均售价与上市时间 的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示. (1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p ? f (t ) ;写出图二表示的种植成本与时间的函数关 系式 Q ? g (t ) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大? (注:市场售价与种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天)
2

分析:这是一道需通过图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,要注意分段函数的特点. 解: (1)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

?300 ? t , f (t ) ? ? ?2t ? 300

0 ? t ? 200, 200<t ? 300

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g (t ) ?

1 (t ? 150 ) 2 ? 100 , 20

0 ? t ? 300

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得 h(t ) = f (t ) ? g (t ) ,即

? 1 2 1 175 ?? 200 t ? 2 t ? 2 , ? h(t ) = ? ?- 1 t 2 ? 7 t ? 1025 , ? 200 2 2 ?

0 ? t ? 200, 200<t ? 300

① 当 0 ? t ? 200 时,配方整理得 h(t ) = ?

1 (t ? 50) 2 ? 100 200

所以,当 t ? 50 时, h(t ) 取得区间[0,200]上的最大值 100; ② 当 200 ? t ? 300 时,配方整理得 h(t ) = ?

1 (t ? 350 ) 2 ? 100 200

所以,当 t ? 300 时, h(t ) 取得区间(200,300)上的最大值 87.5 综上,由 100 ? 87.5 可知, h(t ) 在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t ? 50 ,即从二月一日开始 的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. 说明:解成本与利润问题应弄清成本的构成及利润的计算式子,而对于最值的求解还应注意函数的特点, 此题要由分段函数分别求最值才能得出正确结果. 例 4、某校办工厂有毁坏的房屋一幢,留有一面 14m 的旧墙,现准备利用这面墙的一段为面墙,建造平面 图形为矩形且面积为 126m 的厂房(不考虑墙高) ,工程造价是: (1)修 1 米旧墙费用是造 1 米新墙费用的 25%; (2)拆去 1 米旧墙用所得的材料来建 1 米新墙的费用是建 1 米新墙费用的 50%,问如何利用旧墙才能使建墙费 用最低。 解:设保留旧墙 x(m),即拆去旧墙 14-x(m)修新墙,所以设建一米新墙费用为 a,则有
2

1 1 ax 拆旧墙的费用为 y2 ? (14 ? x) ? 50%a ? a(14 ? x) 4 2 252 7 252 建新墙的费用为 y3 ? ( ? 2 x ? 14)a 所以总费用为 y ? y1 ? y2 ? y3 ? a[( x ? ) ? 7] x 4 x
修旧墙的费用为 y1 ? x ? 25%a ? ≥ a[2

7 x 252 7 252 ? ? 7] ? 35a 当且仅当 x ? ,即 x = 12 时,等式成立,故保留 12m 旧墙总费用最低. 4 x 4 x

说明:了解建筑造价上的一些实际背景有助于建立该问题的函数. 1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要 建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与产量 x 的关系,则可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 解析:选 D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是 爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢. 2.某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表:则下面的函数关系式中, x 1 2 3 ? 能表达这种关系的是( ) y 1 3 8 ? 2 x 2 A.y=2x-1 B.y=x -1 C.y=2 -1 D.y=1.5x -2.5x+2 解析:选 D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,故选 D. 3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距 80 km 的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车 者用了 6 小时,沿途休息了 1 小时,骑摩托车者用了 2 小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如 下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了 3 小时,晚到 1 小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了 1.5 小时后,追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是( ) A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 解析:选 A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了 3 小时,晚到 1 小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了 1.5 小时后, 追上了骑自行车者,正确. 4.长为 4,宽为 3 的矩形,当长增加 x,且宽减少 时面积最大,此时 x=________,面积 S=________. 2 x 1 2 1 1 1 2 解析:依题意得:S=(4+x)(3- )=- x +x+12=- (x-1) +12 ,∴当 x=1 时,Smax=12 . 2 2 2 2 2 1 答案:1 12 2

x

x

1

2

3

4

5

1.今有一组数据,如表所示:则下列函数模型中,最接近 地表示 y 3 5 6.99 9.01 11 这组数据满足的规律的一个是( ) A.指数函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 解析:选 C.画出散点图,结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示. 2.某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林( ) A.14400 亩 B.172800 亩 C.17280 亩 D.20736 亩 3 解析:选 C.y=10000×(1+20%) =17280. 3. 某商品价格前两年每年递增 20%, 后两年每年递减 20%, 则四年后的价格与原来价格相比, 变化情况是( ) A.增加 7.84% B.减少 7.84% C.减少 9.5% D.不增不减 解析:选 B.设该商品原价为 a, 2 2 四年后价格为 a(1+0.2) ·(1-0.2) =0.9216a. 所以(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a, 即比原来减少了 7.84%. 4.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为 2000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.8 元,普通车 存车费是每辆一次 0.5 元, 若普通车存车数为 x 辆次, 存车费总收入为 y 元, y 关于 x 的函数关系式是( 则 ) A.y=0.3x+800(0≤x≤2000) B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000) C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000) D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000) 解析:选 D.由题意知,变速车存车数为(2000-x)辆次, 则总收入 y=0.5x+(2000-x)×0.8 =0.5x+1600-0.8x=-0.3x+1600(0≤x≤2000). 5.如图,△ABC 为等腰直角三角形,直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB,直线 l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为 y,点 A 到直线 l 的距 离为 x,则 y=f(x)的图象大致为四个选项中的( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 解析:选 C.设 AB=a,则 y= a - x =- x + a ,其图象为抛物 2 2 2 2 线的一段,开口向下,顶点在 y 轴上方.故选 C. 6.小蜥蜴体长 15 cm,体重 15 g,问:当小蜥蜴长到体长为 20 cm 时,它的体重大约是( ) A.20 g B.25 g C.35 g D.40 g 解析:选 C.假设小蜥蜴从 15 cm 长到 20 cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与 3 20 体长的立方成正比. 记体长为 20 cm 的蜥蜴的体重为 W20, 因此有 W20=W15· 3≈35.6(g), 合理的答案为 35 g. 故 15 选 C. 2 7.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x +1;乙:y=3x-1.若又测得(x, y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好. 解析:图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略),比较发现选甲更好. 答案:甲 8.一根弹簧,挂重 100 N 的重物时,伸长 20 cm,当挂重 150 N 的重物时,弹簧伸长________. 100 150 解析:由 = ,得 x=30.答案:30 cm 20 x 9.某工厂 8 年来某产品年产量 y 与时间 t 年的函数关系如图,则: ①前 3 年总产量增长速度越来越快; ②前 3 年中总产量增长速度越来越慢; ③第 3 年后,这种产品停止生产; ④第 3 年后,这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是________. 解析:观察图中单位时间内产品产量 y 变化量快慢可知①④. 答案:①④ 10.某公司试销一种成本单价为 500 元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单 价,又不高于 800 元.经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系

可近似看作一次函数 y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示. (1)根据图象,求一次函数 y=kx+b(k≠0)的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为 S 元. 试问销售单价定为多少时, 该公司可获得 最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少? 解:(1)由图象知,当 x=600 时,y=400;当 x=700 时,y=300,代入 y=kx+b(k≠0)中, ? ? ?400=600k+b, ?k=-1, 得? 解得? ?300=700k+b, ?b=1000. ? ? 所以,y=-x+1000(500≤x≤800). (2)销售总价=销售单价×销售量=xy, 成本总价=成本单价×销售量=500y, 代入求毛利润的公式,得 S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000) 2 =-x +1500x-500000 2 =-(x-750) +62500(500≤x≤800). 所以,当销售单价定为 750 元时,可获得最大毛利润 62500 元,此时销售量为 250 件. 11.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0,经过一定时间 t 后的温度 1 t 是 T,则 T-Ta=(T0-Ta)·( )h,其中 Ta 表示环境温度,h 称为半衰期. 2 现有一杯用 88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在 24 ℃的房间中,如果咖啡降温到 40 ℃需要 20 min,那么降温 到 35 ℃时,需要多长时间? 1 20 1 1 20 1 t 解:由题意知 40-24=(88-24)·( ) h ,即 =( ) h .解之,得 h=10.故 T-24=(88-24)·( )10. 2 4 2 2 1 t 1 t 11 当 T=35 时,代入上式,得 35-24=(88-24)·( )10,即( )10= .两边取对数,用计算器求得 t≈25. 2 2 64 因此,约需要 25 min,可降温到 35 ℃. 12. 某地区为响应上级号召, 2011 年初, 在 新建了一批有 200 万平方米的廉价住房, 供困难的城市居民居住. 由 于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到 5%. (1)经过 x 年后,该地区的廉价住房为 y 万平方米,求 y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域. (2)作出函数 y=f(x)的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到 300 万平方米? 2 解:(1)经过 1 年后,廉价住房面积为 200+200×5%=200(1+5%);经过 2 年后为 200(1+5%) ; x x * ?经过 x 年后,廉价住房面积为 200(1+5%) ,∴y=200(1+5%) (x∈N ). x (2)作函数 y=f(x)=200(1+5%) (x≥0)的图象,如图所示. x 作直线 y=300,与函数 y=200(1+5%) 的图象交于 A 点,则 A(x0,300),A 点的 横坐标 x0 的值就是函数值 y=300 时所经过的时间 x 的值. 因为 8<x0<9,则取 x0=9, 即经过 9 年后,该地区的廉价住房能达到 300 万平方米. 函数模型及其应用 函数模型的应用实例 同步练习(二) 一、选择题 1、某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程。在下面图中,纵轴 表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合该学生走法的是( d d d d )

O A

t

O B

t

O C

t

O D

t

2、一个高为 H、满缸水量为 V 的鱼缸的截面如右图所示, 其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出。若鱼缸水深为 h 时的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像可能是下面图中 的( v V ) v V v V v V

O A

H

h

O B

H

h

O C

H

h

O D

H

h

3、如右图,平面图形中阴影部分面积 S 是 h(h∈[0,H])的函数,则该函数的图象 是( S ) S S h S H

O A

H

h

O B

H

h

O C
2

H

h

O D

H

h

4、 如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y (m )与时间 t(月)的关系: y=a , 有以下叙述: ①这个指数 函数的底数为 2; ②第 5 个月时, 浮萍面积就会超过 30 m ; ③浮萍从 4 m 蔓延到 12 m 需要经过 1、5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到 2 m 、3 m 、6 m 所经过的时间分别为 t 1 、t 2 、 t 3 , 则 t 1 +t 2 =t 3 、 其中正确的是 A、 ①② B、 ①②③④ C、 ②③④⑤ D、 ①②⑤ 5、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则 n 年后这批设备的价值为( A、na(1-b%) B、a(1-nb%) C、a[(1-(b%))
n

t

2

2

2

2

2

2



D、a(1-b%)

n

6、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1、06(0、50×[m]+1)给出,其中 m>0, [m]是大于或等于 m 的最小整数 (如[3]=3, 7]=4, [3、 [3、 1]=4) 则从甲 , 到乙地通话时间为 5、5 分钟的话费为: A、3.71 B、3.97 ( ) 地

C、4.24

D、4.77

7、人骑车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米 (b< a) ,再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是图中的 ( )

二、填空题 8、1992 年底世界人口达到 54、8 亿,若人口的平均增长率为 x%,2000 年底世界人口数为 y(亿),那 y 与 x 的 函数关系是 。

9、 某工厂 1995 年 12 月份的产值是 1 月份的产值的 a 倍, 那么 1995 年 1 至 12 月份的产值平均每月比上月增长 的百分率是 。
2

10、某产品的总成本 C(万元)与产量 x(台)之间有函数关系式:C=3000+20x-0、1x ,其中 x ? (0,240)。若每 台产品售价为 25 万元,则生产者不亏本的最低产量为 台。

11、在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得几次测量分别得 a1,a2,?,an,共 n 个数据,我们规 定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其他近似值比较,a 与各数据的差的平方和最小,依 此规定,从 a1,a2,?,an 推出的 a= 。

三、解答题 12、20 个下岗职工开了 50 亩荒地,这些地可以种蔬菜、棉花、水稻,如果种这些农作物每亩地所需的劳力和 预计的产值如下: 每亩需劳力 蔬 棉 水 菜 花 稻 每亩预计产值 1100 元 750 元 600 元

1 2 1 3 1 4

问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值达到最高?

13 、 如 图 , 用 长 为 1 的 铁 丝 弯 成 下 部 为 矩 形 , 上 部 为 半 圆 形 的 框 架 , 若 半 为 x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y=f(x), 并写出它的定义域。

圆半径

14、曙光公司为了打开某种新产品的销路,决定进行广告促销,在一年内,预计年销量 Q(万件)与广告费 x (万元)之间的函数关系式是 Q=

3x ? 1 ( x ? 0) 已知生产此产品的年固定投入为 3 万元,每生产 1 万件此 x ?1
王新敞
奎屯 新疆

产品仍需投入 32 万元,若每件售价是“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和, 当年产销量相等 试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x 万元的函数,并判断当年广告费投入 100 万元时,
王新敞
奎屯 新疆

该公司是亏损还是盈利?

15、经市场调查,某商品在近 100 天内其销售量和价格均是相间 t 的函数,且销售量近似地满足关系:

109 1 (t∈N*,0<t≤100)。在前 40 天内价格为 f(t)= t+22(t∈N*,0<t≤40);在后 60 天内价 3 4 1 格为 f(t)=- t+52(t∈N*,40<t≤100) 。求这种商品的日销售额的最大值(近似到 1) 。 2
g(t)=- t +

1 3

16.如图,河流航线 AC 段长 40 公里,工厂上;位于码头 C 正北 30 公里处,原来工厂 B 所需原料需由码头 A 装船沿水路到码头 C 后,再改陆路运到工厂 B,由于水运太长,运费太高,工厂 B 与航运局协商在 AC 段上另建 一码头 D,并由码头 D 到工厂 B 修一条新公路,原料改为按由 A 到 D 再到 B 的路线运输.设 AD = x 公里(0≤ x ≤40),每 10 吨货物总运费为 y 元,已知每 10 吨货物每公里运费,水路为 l 元,公路为 2 元.

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)要使运费最省,码头 D 应建在何处? 17.如图,今有网球从斜坡 O 点处抛出路线方程是 y ? 4 x ? (米), x 是与 O 的水平距离(米).

1 2 1 x ;斜坡的方程为 y ? x ,其中 y 是垂直高度 2 2

(1)网球落地时撞击斜坡的落点为 A,写出 A 点的垂直高度,以及 A 点与 O 点的水平距离; (2)在图象上,标出网球所能达到的最高点 B,求 OB 与水平线 O x 之间的夹角的正切值. 18.一工厂对某种原料的全年需求量是 Q 吨,为保证生产又节省开支,打算全年分若干次等量订购,且每次用 完后立即购进.已知每次订购费用是 a 元,工厂每天使用的原料数量相同,仓库贮存原料的年保管费用是 b 元 /吨,问全年订购多少次,才能使订购费用与保管费用之和最少? 19. 某厂每天需要本厂甲车间生产的某种零件 10 件, 已知甲车间每天的生产能力为 50 件, 生产准备费用为 2500 元/次, 其它费用为 200 元/件, 每件一年的库存费为 365 元. 试问, 一年中安排生产多少次时全年费用最少?(一 年按 365 天计算) 20.经市场调查分析知,某地明年从年初开始的前 n 个月,对某种商品需求总量 f ? n ? (万件)近似地满足关系

f ? n? ?

1 n ? n ? 1?? 35 ? 2n ?? n ? 1, 2,3,?,12 ? . 150

(1)写出明年第 n 个月这种商品需求量 g ? n ? (万件)与月份 n 的函数关系式,并求出哪几个月的需求量超 过 1.4 万件; (2)若计划每月该商品的市场投放量都是 p 万件,并且要保证每月都满足市场需求,则 p 至少为多少万件?

答案:

1、 A;2、C;3、C;4、D;5、D;6、B;7、C 一、填空题 8、Y=54、8×(1+x%) 9、100( 11 a ? 1 )% 10、150 设生产者不亏本的最低产量为 x 万元,则由题意,25x-(3000+20x-0、1x ) ? 0,即 x +50x-30000 ? 0、
2 2 8

∴ 11、

x ? 150 或 x ? -200,又 ∵x ? (0,240), ∴x ? 150。

a1 ? a 2 ? ? ? a n n
2 2 2 2 2 2

设 a 与 各 数 据 的 差 的 平 方 和 为 m, 即 m=(a-a1) +(a-a2) + ? +(a-an) =na -2(a1+a2+ ? +an)a+a1 +a2 + ? +an =n(a2

a1 ? a 2 ? ? ? a n 2 (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) 2 2 2 ) +(a1 +a2 +?+a n)n n
a1 ? a 2 ? ? ? a n 时,m 取最小值。 n

∵ n>0,∵a=

二、解答题 12、设种蔬菜、棉花、水稻分别为 x 亩,y 亩,z 亩,总产值为 u,依题意得 x+y+z=50,

1 1 1 x ? y ? z ? 20 , 2 3 4

则 u=1100x+750y+600z=43500+50x∴ x ? 0,y=90-3x ? 0,z=,wx-40 ? 0,得 20 ? x ? 30,∴当 x=30 时,u 取得 大值 43500,此时 y=0,z=20、∴安排 15 个职工种 30 亩蔬菜,5 个职工种 20 亩水稻,可使产值高达 45000 元。

1 ? 2 x ? ?x 1 ? 2 x ? ?x ?x 2 ? ?4 2 13、AB=2x, CD = ? x,于是 AD= ,因此,y=2x· + ,即 y=x ? lx 。 由 2 2 2 2

?2 x ? 0 1 1 ? ,得 0<x< ) 。 ,?函数的定义域为(0, ?1 ? 2 x ? ?x ? ?2 ? ?2 ?0 ? 2 ?
14、解:设每年投入 x 万元,年销量为 Q ?

3 3x ? 1 万件,每件产品的年平均成本为 32 ? , Q x ?1

年平均每件所占广告费为

? 3? 3 1 x x?9 x ,销售价为 ? 32 ? ? ? ? ? ? 48 ? ? ? 2 2 Q Q? 2Q Q ?

年利润为 y ? Q ?? 48 ? ?

?? ??

x?9? ? 3 ?? x?3 x ?1? ? 32 ? ? ? 32 ? ?? ? x ? 16Q ? ? x ? 50 ? ? ? ? ? ? ? 2Q ? ? Q ?? 2 2 ? ? x ?1
王新敞
奎屯 新疆

当 x=100 时,明显 y<0 故该公司投入 100 万元时,该公司亏损 15、解:前 40 天内日销售额为 S=( ∴S=-

王新敞
奎屯

新疆

1 1 109 1 2 7 1 t+22)(- t+ )=- t + t+799 , 4 3 3 12 4 3

1 2 38809 (t-10、5) + 、 12 48
5668 1 1 109 1 2 213 1 2 25 t+52)(t+ )= t ? ∴S= (t-106、5) 。 t? 6 6 3, 2 3 3 6 24

后 60 天内日销售额为 S=(-

38809 ? 1 ? (t ? 10.5) 2 ? ? ? 12 48 (0 ? t ? 40, t ? N *), 函数关系式为 S= ? 由上式可知对于 0<t≤40 且 t∈N*,当 (40 ? t ? 100 , t ? N *). 1 25 2 ? (t ? 106 .5) ? ?6 24 ?
t=10 或 11 时,Smax=809, 对于 40<t≤100 且 t∈N*,当 t=41 时,Smax=714、综上得,当 t=10 或 11 时,Smax=809。 16、

17、

18、

19、

20、

函数模型的应用实例 同步练习 一、选择题

1.容器中有浓度为 m%的溶液 a 升,现从中倒出 b 升后用水加满,再倒出 b 升后用水加满,这样进行了 10 次 后溶液的浓度为( B ) A. ( )10 ·m%

b a

B. (1- )10 ·m%

b a

C. ( ) 9 ·m%

b a

D. (1- ) 9 ·m%

b a

2.某工厂生产两种成本不同的产品,由于市场销售发生变化,A 产品连续两次提价 20%,B 产品连续两次降价 20%,结果都以 23.04 元出售,此时厂家同时出售 A、B 产品各一件,盈亏情况为( B ) A.不亏不赚 B.亏 5.92 元 C.赚 5.92 元 D.赚 28.96 元

3.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长 10.4%,那么经过 x 年可以增长到原来的 y 倍,则函数 y =f(x)的图象大致为图中的 D( )

4.某城市出租汽车统一价格,凡上车起步价为 6 元,行程不超过 2km 者均按此价收费,行程超过 2km,按 1.8 元/km 收费,另外,遇到塞车或等候时,汽车虽没有行驶,仍按 6 分钟折算 1km 计算,陈先生坐了一趟这种出 租车,车费 17 元,车上仪表显示等候时间为 11 分 30 秒,那么陈先生此趟行程介于( A.5~7km B.9~11km C.7~9km D.3~5km A)

5.北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》 ,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小蜥蜴体长 15cm,体 重 15g,问:当小蜥蜴长到体长为 20cm 时,它的体重大约是( C ) A.20g 二、填空题 6.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂质减少到原来的 5% 以下,则至少需要过滤的次数为 . (参考数据 lg2=0.3010,lg3=0.4771)6、14 B.25g C.35g D.40g

7.有一批材料可以建成 200m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料 隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形最大面积为________m (围墙厚度不计) .7、2500 8.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售,每天可卖出 100 个.若每个销售涨价一元,则日销售量减少 10 个.为获得最大利润,则此商品当日销售价应定为每个__________元.8、14 9.某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在某个时刻这种细菌的个数为 200 个,按照每小时成倍增长, 如下表: 时间(小时) 细菌数(个) 则实验开始后 5 小时细菌的个数是 三、解答题三、解答题 0 200 1 400 2 800 3 1600
2

.9、6400

10.国家购买某种农产品的价格为120元/担,其征税标准为100元征8元,计划可购m万担.为了减轻农民负担, 决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.①写出税收 f (x) (万元)与x的函数关系式; ②要是此项税收在税率调节后达到计划的78%,求此时x的值. 10、解:①调节税率后税率为(8-x)%,预计可收购 m(1+2x%)万担,总金额为 120m(1+2x%)万元,所以

f ( x) ? 120 m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% ,即 f ( x) ? ? 3m ( x 2 ? 42 x ? 400 )(0 ? x ? 8) .
125
②计划税收为 120 m ? 8% ? 78% 即 x ? 42 x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) ,解得 x=2.
2

11.WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟)按 30 元记费;超过 500 分钟按 0.15 元/分钟 记费.假如上网时间过短,在 1 分钟以下不记费,1 分钟以上(包括 1 分钟)按 0.5 元/分钟记费.WAP 手机上 网不收通话费和漫游费. 问: (1)小周 12 月份用 WAP 手机上网 20 小时,要付多少上网费? (2)小周 10 月份付了 90 元的上网费,那么他这个月用手机上网多少小时? (3)你会选择 WAP 手机上网吗?你是用那一种方式上网的? 11、解:设使用 WAP 手机上网的时间为 x 分钟,由已知条件可知,当上网时间不超过 60 分钟时,以每分钟 0.5 元递增计费;当上网时间超过 60 分钟但不超过 500 分钟时,一律按 30 元收费;超过 500 分钟时,在 30 元基础 上,再增加 0.15 元/分钟.故所付上网费

1 ? x ? 60, ?0.5 x, ? 60<x<500, y= ?30, ?30+0.15( x-500 ), x>500. ?
(1)当 x=20×60=1200(分钟)时,应将 1200 代入第三段解析式,得 y=135,小周要付 135 元上网费; (2)90 元已经超过 30 元,所以上网时间超过 500 分钟,由解析式可得 x=900,小周这个月用手机上网 900 分钟; (3)现在直接用电脑上网一般每月 60 元,从图形可以看出,上网时间较短时,用手机上网较合算,上网 时间较长时,用电脑上网更合算.


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