分数指数幂及运算课件_图文

第二章 2.1.1 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 指数与指数幂的运算 分数指数幂及运算 第2课时 1.结合具体例子体会分数指数幂的过程,体会引入数学 概念的过程; 2.理解分数指数幂的概念,掌握分数指数幂的运算法则, 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂; 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。 复习回顾 1.正数指数幂的运算性质: (1) am an ? am?n (a ? 0, m, n ? Z); (am )n ? amn (a ? 0, m, n ? Z); (2) (3) (ab)m ? ambm (a ? 0, m, n ? Ζ) 2.根式的运算性质 (1) ( a) ? a n n n (2) 如果n为奇数,an的n次方根就是a,即 a ? a (n为奇数) n 如果n为偶数, n an 表示an的正的n次方根,所以当 a ? 0 , 这个方根等于a,当a<0时,这个方根等于-a, n ?a, (a ? 0), a ? a ?? ??a (a ? 0). n n (3) 0的任何次方根都是0,记作 0 ? 0. 探究点1 分数指数幂 规定正数的正分数指数幂的意义是: a ? n a m (a ? 0, m, n ? N* , 且n ? 1) 注:在上述限制条件下,根式都可以写成分数指数幂的 形式。 m n 正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意 义相仿,我们规定: a ? m n ? 1 a m n ? 1 n am (a ? 0, m, n ? N* , n ? 1) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指 数推广到了有理数指数。 探究点2 r 有理数指数幂的运算性质 s r ?s (1) a ? a ? a r s (a ? 0, r, s ? Q); (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q); rs (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q). 例2 求值: 2 3 1 ?5 16 8 ; 25 ( ; )( , ). 2 81 ? ? 2 3 3 ? 1 2 2 3 1 2 3 4 解: 8 ? (2 ) ? 2 3? 2 3 ? 22 ? 4; 25 ? 1 2 ? (5 ) 2 ?5 1 2?( ? ) 2 1 ?5 ( ) ? (2?1 ) ?5 ? 25 ? 32; 2 1 ?5 ? ; 5 ?1 3 4?( ? ) 16 ? 3 2 2 ?3 27 4 4 ( ) ? ( ) ? ( ) ? . 81 3 3 8 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中 a>0): a ? a; a ? a ; 3 2 3 2 a3 a. 分析:根据分数指数幂和根式的关系,以及有理数指 数幂的运算法则解决。 解: a3 ? 1 2 1 2 7 2 a ? a3 ? a ? a 2 3 2? 2 3 3? ?a ; 8 3 a2 ? 3 a2 ? a2 ? a ? a 1 1 3 2 ?a ; 2 3 a 3 a ? (a ? a ) ? (a ) ? a . 4 1 3 2 1.用根式表示下面各式(a>0) a ,a ,a ,a . 答案: a 1 2 1 2 3 4 3 ? 5 2 ? 3 ? a; ? 1 5 a ? 4 a3 ; a ? 2 3 3 4 a ? 3 5 a3 ; ? 1 3 a 2 . 2.用分数指数幂表示下列各式: (1) (2) 3 x2 ; 4 x 3 2 3 3 4 2 3 ( a ? b) (a ? b ? 0); (a ? b) (3) (4) 3 (m ? n) (m ? n); 2 ( m ? n) ( m ? n) 4 ( m ? n); (m ? n) p3q m 5 2 2 (5) p q ( p ? 0); 6 5 5 2 m3 (6) . m 例4.计算下列各式(式中的字母均是正数): (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ); (2) (m n ) . 分析:根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的 意义求解。 解: (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 1 4 ? 3 8 8 ? [2 ? (?6) ? (?3)]a 1 4 ? 3 8 8 2 1 1 ? ? 3 2 6 b 1 1 5 ? ? 2 3 6 ? 4ab0 ? 4a; 2 m (2) (m n ) ? (m ) (n ) ? m2 n ?3 ? 3 . n ? 1 4 8 3 8 8 例5.计算下列各式: (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25; (2) 解: (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 a2 a ? 3 a2 (a ? 0). ? (5 ? 5 ) ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 6 5 ? 5; (2) a2 a? a 3 2 2 3 3 2 1 2 2 3 1 2 3 2 1 2 1 6 ? a2 a ?a 1 2 2 3 ?a 1 2 2? ? 2 3 ? a ? 6 a5 . 5 6 3.计算下列各式的值: 36 (1)( ); 491 ? 1 1 (3) a 2 a 4 a 8 ; 3 2 (2) 2 3 ? 1.5 ? 12; 3 6 解: 3 2? 36 3 6 6

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