函数极限的性质与运算法则_图文

第四节 函数极限性质与运算法则
一 、函数极限的性质

第一章

二、 极限的四则运算法则
三、 复合函数的极限运算法则

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一 、函数极限的性质
1.函数极限的唯一性 定理1 . 若 lim f ( x) (如:lim f ( x))存在,则极限唯一.
x ? x0

2. 局部有界性
定理 2. 若在 x 的某个极限过程中,
f ( x ) 有极限,则

存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以后 f (x)有界.
若 lim f ( x) ? A,则 ? U ( x , ? ), f ( x)在U ( x0 , ? )内有界. 0 x ? x0
?
?

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3. 局部保号性 定理3.1 若

且 A > 0 , 则存在 (A<0)

f ( x) ? 0. ( f ( x) ? 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) (? ? ? A) 则在对应的邻域 即?? ? 0 , 当



(? 0)
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推论: 若
时, 有 分析:
A , 则在对应的邻域 若取 ? ? 2 A 3A A ? 0 : ? f ( x) ? 2 2

则存在

使当



3A A ? f ( x) ? ? A ? 0: ? 2 2

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定理 3.2 若在

的某去心邻域内 f ( x) ? 0 , 且

则 A ? 0.
证: 用反证法.

( f ( x) ? 0)

( A ? 0)

假设 A < 0 , 则由定理3. 1, 与已知

存在

的某去心邻域 , 使在该邻域内 (同样可证 f ( x) ? 0 的情形)

条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ? 0 . 思考: 若定理3. 2 中的条件改为 f ( x) ? 0, 是否必有 A ? 0 ? 不能! 如
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二、 极限的四则运算法则
定理 4 . 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 则有

推论: 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B, 且 f ( x) ? g ( x),

A? B .
提示: 令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x)

利用保号性定理证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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定理 5. 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 则有

说明: 定理 5 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[ C f ( x)] ? C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x) ] n 例1. 设 n 次多项式
x ? x0

( C 为常数 ) ( n 为正整数 )

试证

lim Pn ( x) ? Pn ( x0 ).
证: lim Pn ( x) ?
x ? x0

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定理 6. 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 且 B≠0 , 则有

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例2. 设有分式函数
多项式 , 若 试证:
x ? x0 x ? x0

其中

都是

证:

x ? x0

lim R( x) ?

lim P ( x)

lim Q( x)
不能直接用商的运算法则 .

说明: 若 例3.

( x ? 3)( x ? 1) x ?1 ? lim ? lim x ?3 ( x ? 3)( x ? 3) x ?3 x ? 3
x = 3 时分母为 0 !
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例4. 求

解:

时, 分母
分子分母同除以 x 2 , 则 原式 ? lim

分子

4 ?31 ?9 x 5? 21 ? x

x ??

1 x2 1 x2

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一般有如下结果:

a0 x ? a1 x ? ? ? am lim x ?? b x n ? b x n ?1 ? ? ? b 0 1 n
为非负常数 )

m

m ?1

?

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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设
且 x 满足 则有 ①

时,

? ( x) ? a , 又
证:

?? ? 0 , ?? ? 0 , 当 0 ? u ? a ? ? 时, 有 f (u ) ? A ? ? 对上述 ?? 2 ? 0 , 当 0 ? x ? x0 ? ? 2 时, 有 ? ( x) ? a ? ? 取 ? ? min??1 , ? 2 ? , 则当 0 ? x ? x0 ? ? 时 0 ? ? ( x) ? a ? u ? a ? ? 故 ? f (u ) ? A ? ? , 因此①式成立.
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定理7. 设

且 x 满足
则有

时,

? ( x) ? a , 又
x ? x0

lim f [? ( x) ] ?

说明: 若定理中 lim ? ( x) ? ? , 则类似可得
x ? x0 x ? x0

lim f [? ( x) ] ? lim f (u ) ? A
u ??

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例5. 求

x?3 解: 令 u ? 2 x ?9
已知

1 lim u ? x ?3 6
1 ? 6

∴ 原式 =

6 ? 6
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例6 . 求 解: 方法 1 令 u ? x , 则 lim u ? 1,
x ?1

x ?1 u2 ?1 ? ? u ?1 x ?1 u ?1
∴ 原式 ? lim(u ? 1) ? 2
u ?1

方法 2

( x ? 1)( x ? 1) ? lim( x ? 1) ? lim x ?1 x ?1 x ?1

?2
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内容小结
1. 极限运算法则

(1) 极限四则运算法则
(2) 复合函数极限运算法则

注意使用条件

2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x ? x0 时, 用代入法

( 分母不为 0 )

2) x ? x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
(2) 复合函数极限求法

3) x ? ? 时 , 分子分母同除最高次幂
设中间变量
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思考及练习
1. 问

是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由

利用极限四则运算法则可知
矛盾.

存在 , 与已知条件

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2. 求 解法 1 原式 = lim

x x2 ? 1 ? x

x? ??

? lim

x? ??

1 1 ? 1 1? 2 ? 1 2 x

1 ? 则 t ? 0 令t? , x 2 1 1 1 1? t ?1 原式 = lim? ? 2 ? 1 ? ? ? lim? t?0 t t?0 t t2 t 1 1 ? lim ? 2 2 t ? 0? 1 ? t ? 1
解法 2
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3. 试确定常数 a 使

1 解: 令t? ,则 x
3 3 1 a t ?1 ? a 3 0 ? lim ? 1 ? 3 ? ? ? lim t?0 t t?0 t t

? lim ? 3 t 3 ? 1 ? a ? ? 0
t?0

故 因此

?1? a ? 0 a ? ?1

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备用题 设
求 解:

是多项式 , 且

利用前一极限式可令

f ( x) ? 2 x 3 ? 2 x 2 ? a x ? b
再利用后一极限式 , 得

f ( x) b 3 ? lim ? lim (a ? ) x? 0 x x? 0 x
可见 故
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