江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二数学上学期期末联考试题 文

高安二中、樟树中学 2017 届高二上学期期末联考 数学试卷(文科)
考试时长 :120 分钟 一、选择题(本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? A.

1 1 ? i 2 2

B. ?

1 1 ? i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.某大学数学系共有本科生 4500 人,其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为 5 : 4 : 3 :1 , 若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样本,则应抽大二的学生 A.80 人 B.60 人 3.命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 1 ”的否定是 A. ?x ? R ,都有 x 2 ? 1 C. ?x ? R ,都有 x 2 ? 1 C.40 人 D .20 人

B. ?x ? R ,使得 x 2 ? 1 D. ?x ? R ,使得 x 2 ? 1

4.抛物线 x ? ay 2 的准线方程是 x ? 2 ,则 a 的值是 1 A.8 B. C.-8 8 5.曲线 y ? sin x 在 x ? 0 处的切线的倾斜角是 A.

D. ?

1 8

? 3 6.400 辆汽车通过某公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在 ?60, 80? 的汽车大约有
B. C. D.

? 2

? 4

? 6

A.120 辆 B.14 0 辆 C.160 辆 D.240 辆 7.用反证法证明某命题时,对其结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为 A. a,b,c 都是奇数 C. a,b,c 中至少有两个偶数 B. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 D. a,b,c 都是偶数

8.将一枚质地均匀的骰子先后抛两次,设事件 A={两次点数互不相同},B={至少出现一次 3 点}, 则 P( B | A) ? A.

10 11

B.

5 18

C. 1 2

D.

1 3

1

9.某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了 80 名员工进行调查, 所得的数据如下表所示: 积极支持改革 不太支持改革 合 计 工作积极 50 10 60 工作一般 合 计 根据上述数据能得出的结论是 (参考公式与数据: ? 2 ? 10 60 10 20 20 80

n(ad ? bc)2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ); (a ? b)(b ? c)(a ? c)(b ? d ) 当 ? 2 ? 3.841 时,有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关;当 ? 2 ? 6.635 时,有 99% 的把握 说事件 A 与 B 有关; 当 ? 2 ? 3.841 时认为事件 A 与 B 无关.) A.有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关 B.有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关
C.有 90% 的把握说事件 A 与 B 有关 D.事件 A 与 B 无关 10.按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15,则 M 处条件可以是 A. k ? 16 B. k ? 8
2 2

C. k ? 16

D. k ? 8

11.已知 F1 、 F2 是双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, 2 a b 过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、 B .若 ?ABF2
为等边三角形,则双曲线的离心率为 A. 7 B.4 C.

12.已知定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 的导函数为 f ?( x) ,满足

2 3 3

D. 3

f ? ? x ? ? f ? x ? ,且 f ( x ? 2) 为偶函数, f (4) ? 1 ,则不等式

f ( x) ? ex 的解集为
A. (?2, ??) B. (0, ??) C. (1, ??) D. (4, ??)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在棱长为 2 的正方体内随机取一点,该点到正方体中心的距离小于 1 的概率为_________. 14.在某比赛中,评委为一选手打出如下七个分数:97,91,87,91,94,95,94 去掉一个 最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为_________. 15.已知函数 f ( x) ? ax ? 3,若 lim
2
?x ? 0

f (1 ? ?x) ? f (1) ? 2 ,则实数 a 的值为________ _. ?x

16.如图所示:一个边长为

2 的正方形上连接着等腰直角三角形, 2

等腰直角三角形的边上再连接正方形,?,如此继续.若共得到 255 个正方形,则最小正方形的边长为_________.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 某校羽毛球小组有男学生 A , B , C 和女学生 X , Y , Z 共 6 人,其所属年级如下: 一年级 二年级 三年级 男生 C A B 女生 X Y Z 现从这 6 名学生中随机选出 2 人参加羽毛球比赛(每人被选到的可能性相同) . (1)共有几种不同的选法?用表中字母列举出来; (2)设 M 为事件“选出的 2 人性别相同” ,求事件 M 发生的概率.

18. (本小题满分 12 分) (1)已知命题 p : y ? (a ? 2) x ? 1 是增函数,命题 q : 关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 恒成立,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围; (2 )已知 p :| x ? 1 |? 2 , q : ( x ? 1)(x ? m) ? 0 ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的 取值范围.
2

19. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 2 x3. ? ax2 ? bx ? 1的导函数为 f ?( x ) ,若 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? ? 且 f ?(1) ? 0 . (1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极值.

1 对称, 2

3

20. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年居民人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)设 y 关于 t 的线性回归方程为 y ? bt ? a ,求 b, a 的值; (2)利用(1)中的回归方程,预测该地区 2016 年居民人均纯收入.
n ? ? ti ? t ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ? 参考公式:b ? , a ? y ? bt n 2 ? ? ti ? t ? ? ? i ?1 ?

? ? ? ? ? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 且 | AB |?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点与上顶点分别为点 A 、 B , a 2 b2

5 | BF | . 2 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过点 (0, 2) 斜率为 2 的直线 l 交椭圆 C 于 P 、 Q ,且 OP ? OQ ,求椭圆 C 的方程.

22. (本小题满分 12 分)

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3 (1)若 y ? f ( x) 在 ?3, ??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? (2)若 a ? ?

1 (1 ? x)3 b ,设 g ( x) ? ln(1 ? x) ? f ( x) ,且方程 g (1 ? x) ? ? 有实根, 2 3 x

求实数 b 的最大值.

4

高安二中、樟树中学 2017 届高二上学期期末联考数学参考答案(文科) 1-10.CACD BDBD ACAB 13.

17.解: (1)从 6 名学生中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为 ?A, B?, ?A, C?,

? 6

14.2.8

15.1

16.

1 16

15 5 a ? ? 2 p 18.解: (1)若命题 为真,则 , 若命题 q 为真,则 ? 4 ? a ? 0 ,
当 p 真 q 假时, ?

?A, X ?, ?A, Y ?, ?A, Z ?, ?B, C?, ?B, X ?, ?B, Y ?, ?B, Z ?, ?C, X ?, ?C, Y ?, ?C, Z?, ?X , Y ?, ?X , Z ?, ?Y , Z ?共 15 种. ????5 分 (2)选出的 2 人性别相同的所有可能结果为 ?A, B?, ?A, C?, ?B, C? ?X , Y ?, ?X , Z ?, ? Y , Z ?共 6 种. 6 2 ? 因此事件 M 发生的概率为 P ?M ? ? ????10 分

? a ? ?2 ?a ? 0 ?a ? ?4或a ? 0 ? a ? ?2 ? ?4 ? a ? ?2 当 p 假 q 真时, ? ?? 4 ? a ? 0 综上, a 的取值范围为 {a | ?4 ? a ? ?2或a ? 0} ????6 分 (2) 由题意,得命题 p 对应的数集为 A ? ?? 3,1?,命题 q 对应的数集为 B ; ∵ p 是 q 的必要不充分条件,∴ B ? A , 利用数轴分析可得得 ? 3 ? m ? 1 . ??12 分 ? 3 2 19.解: (1)因 f ( x) ? 2x ? ax ? bx ? 1, 故f ?( x) ? 6x2 ? 2ax ? b.
a 2 a2 a ) ? b ? , 即 y ? f ?( x) 关于直线 x ? ? 对称, 6 6 6 a 1 从而由题设条件知 ? ? ? , 解得a ? 3. 6 2 又由于 f ?(1) ? 0,即6 ? 2a ? b ? 0, 解得b ? ?12. ????6 分 3 2 2 (2)由(1)知 f ( x) ? 2x ? 3x ? 12x ? 1, f ?( x) ? 6x ? 6x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2). 令 f ?( x) ? 0,即6( x ? 1)( x ? 2) ? 0.解得x1 ? ?2, x2 ? 1. 当 x ? (??, ?2)时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ?2) 上为增函数; 当 x ? (?2,1)时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(?2,1) 上为减函数; 当 x ? (1, ??)时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(1, ??) 上为增函数; ∴函数 f ( x ) 极大值为 f (?2) ? 21 ,极小值为 f (1) ? ?6. ????12 分 1? 2 ? ? ? 7 2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 ? 4, y ? ? 4.3 , 20.解: (1)? t ? 7 7 设回归方程为 y ? bt ? a ,代入公式,经计算可得 3 ?1.4 ? 2 ? 0.7 ? 0 ? 0.5 ? 1.8 ? 4.8 14 1 b? ? ? ? 0.5 , (9 ? 4 ? 1) ? 2 14 ? 2 2 1 a ? y ? bt ? 4.3 ? ? 4 ? 2.3 , ∴ y 关于 t 的回归方程为 y ? 0.5t ? 2.3 . ????8 分 2 (2)∵ y ? 0.5 ?10 ? 2.3 ? 7.3 (千元),
从而 f ?( x) ? 6( x ? ∴预计到 2015 年,该区人均纯收入约 7300 元左右. ????12 分

5

21.解: (1)由已知 | AB |?

5 5 | BF | ,即 a 2 ? b 2 ? a , 4a 2 ? 4b2 ? 5a 2 , 2 2 c 3 . ????4 分 4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,∴ e ? ? a 2

(2)由(1)知 a 2 ? 4b2 ,∴ 椭圆 C :

直线 l 的 方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .

x2 y2 ? ? 1 .设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , 4b 2 b 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 由 ? x2 ? x 2 ? 4(2 x ? 2) 2 ? 4b 2 ? 0 , y2 ? ? 1 ? 2 b2 ? 4b
即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b 2 ? 0 .

? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ?

2 17 . 17

16 ? 4b 2 32 , x1 x2 ? . ????8 分 17 17 ??? ? ???? ∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?

从而

5(16 ? 4b 2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17
????12 分

x2 ? y 2 ? 1. 4 22.解: (1)∵ f ( x ) 在区间 ?3, ??? 上为增函数,
∴ 椭圆 C 的方程为 ∵在 ?3, ??? 内 x2 ? 2 x ? 3 (2)方程 g (1 ? x) ? ∴ 2a ? 3 即 a ?

∴ f '( x) ? x2 ? 2x ? 2a ? 0 即 2a ? x 2 ? 2 x 在区间 ?3, ??? 上恒成立.

3 2

????4 分

b (1 ? x)3 b 2 ? 可化为 ln x ? x ? x ? . x 3 x 2 ∴条件转化为 b ? x(ln x ? x ? x ) 在 ? 0, ??? 上有解,
令 p( x) ? x(ln x ? x ? x2 ) ,∴即求函数 p( x) ? x(ln x ? x ? x2 ) 在 ? 0, ??? 上的值域. 令 h( x) ? ln x ? x ? x2 ,

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ?1? 2x ? , x x ∴当 0 ? x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ? 0,1? 上为增函数,
则 h '( x) ? 当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函数, 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 又∵ x ? 0 ,故 p( x) ? x ? h( x) ? 0 , ∴b ? 0 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0.

????12 分

6


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