简单复合函数求导法则


第二章

变化率与导数

§5 简单复合函数的求导法则

明目标、知重点
1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导
法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经 学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅 限于形如f(ax+b)的导数).

填要点、记疑点
1. 复合函数的概念 2. 复合函数的求导法则

1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给 定 x的一个值,就得到了 u的值,进而确定了 y的值, 这样y可以表示成 x的函数 ,我们称这个函数为函数y =f(u)和u=φ(x)的 复合函数 ,记作y=f(φ(x)) ,其中u

为中间变量.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

2.复合函数的求导法则
复合函数 y= f(φ(x))的导数和函数 y = f(u) , u = φ(x) 的 ux′ 导数间的关系为yx′= yu′· .即y对x的导数是 y对u 的导数与u对x的导数的乘积 .

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探要点、究所然
探究点一 探究点二 探究点三 复合函数的定义 复合函数导数的求解 复合函数导数的应用

探究点一
思考1

复合函数的定义

观察函数y=2xcos x及y=ln(x+2)的结构特点,

说明它们分别是由哪些基本函数组成的?

答 y=2xcos x是由u=2x及v=cos x相乘得到的;
而y=ln(x+2)是由u=x+2与y=ln u(x>-2)经过“复

合”得到的,
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.

所以y=ln(x+2)称为复合函数.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点一
思考2 答

复合函数的定义

对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系?

复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的

函数的过程 . 在分析时可以从外向里出发,先根据最
外层的主体函数结构找出y=f(u); 再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y =f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)).
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点一

复合函数的定义

思考 3

在复合函数中,内层函数的值域 A 与外层函

数的定义域B有何关系? 答 A?B.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点一

复合函数的定义

小结

要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,

对于复合函数,要掌握引入中间变量,将其分拆成几
个基本初等函数的方法.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点一

复合函数的定义

例1 指出下列函数是怎样复合而成的:

(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos 3x.
解 (1)y= (3+ 5x)2是由函数 y = u2, u= 3+ 5x复合而

成的;
(2)y = log3(x2 - 2x + 5) 是由函数 y = log3u , u = x2 - 2x

+5复合而成的;
(3)y=cos 3x是由函数y=cos u,u=3x复合而成的.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点一

复合函数的定义

反思与感悟

分析函数的复合过程主要是设出中间变

量u,分别找出y和u的函数关系,u和x的函数关系.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点一

复合函数的定义

跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成: (1)y=ln x;(2)y=esin x;(3)y=cos ( 3x+1).

解 (1)y=ln u, u= x;

(2)y=eu,u=sin x;
(3)y=cos u, u= 3x+1.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解

思考 如何求复合函数的导数? 答 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分 解 —— 求导 —— 回代”,即: (1) 弄清复合关系,将

复合函数分解成基本初等函数形式;
(2)利用求导法则分层求导;

(3) 最终结果要将中间变量换成自变量 .注意不要漏掉
第(3)步回代的过程.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解

例 2 求下列函数的导数: 1 4 (1)y=(2x-1) ;(2)y= ; 1-2x π 2x+ 3 (3)y=sin(-2x+ );(4)y=10 . 3 解 (1)原函数可看作y=u4,u=2x-1的复合函数,

则yx′=yu′· ux′=(u4)′· (2x-1)′=4u3· 2 =8(2x-1)3.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解
可看作 y= , u=1-2x 的

1 (2)y= = 1-2x 复合函数,
则 yx′=yu′· ux′= 1 = ; ?1-2x? 1-2x

· (- 2)=

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解

π (3)原函数可看作 y=sin u, u=-2x+ 的复合函数, 3 π 则 yx′=yu′· ux′=cos u· (- 2)=-2cos(-2x+ ) 3 π =-2cos(2x- ). 3
(4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数, 则yx′=yu′· ux′=102x+3· ln 10· 2=(ln 100)102x+3.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解
分析复合函数的结构,找准中间变量是

反思与感悟

求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个 整体,并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再 写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由

外及内逐层求导.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解

跟踪训练2 求下列函数的导数: (1)y=(2x+3)2;(2)y=e-0.05x+1;(3)y=sin(πx+φ). 解 (1)函数y=(2x+3)2可以看成函数y=u2,u=2x+

3的复合函数. ∴yx′= yu′· ux′ = (u2)′· (2x+ 3)′= 2u· 2 = 4(2x+ 3) =8x+12.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解

(2)函数y=e-0.05x+1可以看成函数y=eu和函数
u=-0.05x+1的复合函数.

∴yx′ = yu′· ux′ = (eu)′· ( - 0.05x + 1)′ =- 0.05eu
=-0.05 e-0.05x+1.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点二

复合函数导数的求解

(3)函数 y= sin(πx+ φ) 可以看成函数 y= sin u , u = πx
+φ的复合函数.

∴yx′=yu′· ux′=(sin u)′·(πx+φ)′=cos u·π
=π cos(πx+φ).

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点三

复合函数导数的应用
2x+ 1

1 例 3 求曲线 y=e 在点(- ,1)处的切线方程. 2 解 ∵y′=e2x+1· (2x+1)′=2e2x+1,
∴y′ = 2,
2x+ 1

∴曲线 y=e

1 在点(- ,1)处的切线方程为 2

1 y- 1=2(x+ ), 2 即2x-y+2=0.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点三

复合函数导数的应用

反思与感悟

求曲线切线的关键是正确求复合函数的

导数,要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线” 两种不同的说法.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点三

复合函数导数的应用

跟踪训练 3 曲线 y=esin x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行, 且与 l 的距离为 2,求直线 l 的方程. 解 设u=sin x,则y′=(esin x)′=(eu)′(sin x)′.

=cos xesin x.
y′|x=0=1.

则切线方程为y-1=x-0,
即x-y+1=0.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

探究点三

复合函数导数的应用

若直线l与切线平行可设直线l的方程为x-y+c=0. |c-1| 两平行线间的距离d = = 2 ?c=3或c=-1. 2 故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

当堂测、查疑缺
1 2 3 4

1
1.函数y=(3x-2)2的导数为( A.2(3x-2) C.6x(3x-2) B.6x D.6(3x-2)

2

3

4

D

)

解析 y′=2(3x-2)· (3x-2)′=6(3x-2).

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

1

2

3

4

2.若函数y=sin2x,则y′等于(

A

)

A.sin 2x
C.sin xcos x 解析

B.2sin x
D.cos2x

y′=2sin x· (sin x)′=2sin x· cos x=sin 2x.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

1
3.若y=f(x2),则y′等于(

2

3

4

A

)

A.2xf′(x2)
C.4x2f(x)

B.2xf′(x)
D.f′(x2)

解析 设x2=u,则y′=f′(u)· ux′

=f′(x2)· (x2)′=2xf′(x2).
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

1

2

3

4

4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0
垂直,则a=________. 2

解析 由题意知y′|x=0=aeax|x=0=a=2.

明目标、知重点

填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

呈重点、现规律
求简单复合函数f(ax+b)的导数 求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单 复合函数转化为常见函数y=f(u),u=ax+b的形式,然后 再分别对y=f(u)与u=ax+b分别求导,并把所得结果相乘. 灵活应用整体思想把函数化为y=f(u),u=ax+b的形式是 关键.
明目标、知重点 填要点、记疑点

探要点、究所然

当堂测、查疑缺

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