四川省攀枝花市第十五中学校2015-2016学年高一数学上学期期中试题

攀枝花市十五中高 2018 届高一上半期考试数学试题
总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题： （每小题只有一个正确答案，多选或少选不得分。每小题 5 分，共 60 分） 2 1．已知集合 A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x －x－2＝0}，则 A∩B＝( ) A．? C．{0} 2．已知函数 f ( x) ? ? A． 4 B．{2} D．{－2}

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

，则 , f ( f ( )) =（

1 9

） Ｄ． ?

Ｂ．

1 4

Ｃ．-4

1 4
)

3． 在下列各组函数中， f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是( A． f ( x) =1， g ( x) = x
0

B． y ? x 与 y ?

x2

C． y ? x 2 与 y ? ( x ? 1) 2
2

D． f ( x) =∣ x ∣， g ( x) = x 2 ) B．(－∞，1] D．(－∞，－1] ） （C） (1, 2) （D） (3, 4)

4．函数 y＝－x ＋2x－3(x＜0)的单调增区间是( A．(0，＋∞) C．(－∞，0) 5、方程 2
x ?1

? x ? 5 ? 0 的解所在的区间是（
（B） (2,3) ）
4 3

（A） (0,1)

6．下列各式中成立的一项是（

n A． ( )7 ? n7 m 7 m

1

B． ( ?3) ?
12

?3

4 C．

x ? y ? ( x ? y)
3 3

3 4

D.

3

9 ?3 3

7.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? 2x2 ? x ，则 f (2) ? （ ） A.6
a b

B. -6

C.10

D.-10

8．设 2 ? 5 ? m ，且

A. 10 D. 100 9．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )．

1 1 ? ? 2 ，则 m ? （ ） a b B. ? 10 C. 10

1

10、下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为（ ） A. y ? ln

1 | x|

B. y ? x3

C. y ? 2| x|

D. y ? ）

2x ?1 x

11．已知 f (x) = lgx，则 y = |f (1 – x)|的图象是下图中的（

12、设 a ? ln 2 ， b ? log3 2 ， c ? 5 （A） a ? b ? c

?

1 2

，则有（

） （C） c ? b ? a （D） b ? c ? a

（B） c ? a ? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷横线上) 13.幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是___________ 14、函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 的零点个数是_________. 15、 已知函数 f ( x) ?

2 kx ? 4kx ? k ? 3
2

的定义域为 R ， 则 k 的取值范围是__ ___________

1 ， 2 1 1 1 3 且 f ( ) ? 0 ，当 x ? 时， f ( x) ? 0 .给出以 下结论：① f (0) ? ? ；② f ( ?1) ? ? ； 2 2 2 2 1 ③ f ( x ) )为 R 上减函数；④ f ( x ) ? 为奇函数；⑤ f ( x) ? 1 为偶函数. 2
16、已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ，对任意实数 x， y 满足 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 其中正确结论的序号是

2

三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、 （本小题满分 10 分）
1

（1）已知 a 2 ? a

?

1 2

? 3 ，求下列各式的值.

(1)a ? a ?1?
7 9
0

(2)a 2 ? a?2 ;
?1

（2）计算 (2 ) ? (0.1) ? lg

1 1 ? lg 2 ? ( ) ?1?log7 5 的值． 50 7

18、 （本题满分 12 分） 已知全集 U ? R ，集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} ， B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1, a ? R} ． （Ⅰ）若 a ? 2 ，求 A ? (? U B) ； （Ⅱ）若 A ? B ? A ，求实数 a 的取值范围．

19、 （本题满分 10 分） 已知函数 f (x) ? a ? 4 ? a ? 2
x x ?1

? 2 在区间[-2，2]上的最大值为 3，求实数 a 的值．

3

20、 （本题满分 12 分） 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，

1 2 ? ?400 x ? x ,0 ? x ? 400 已知总收益满足函数： R ( x) ? ? ，其中 x 是仪器的月产量 2 ? ?80000, x ? 400
（1）将利润 f ( x) 表示为月产量 x 的函数 （2）当月产量 x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+ 利润）

21、 （本题满分 12 分） 已知奇函数 f ( x ) ? ax ?

b ?1 ） ? c 的图象经过点 A（1，1） ， B（2， ． x

（1）求函数 f ( x ) 的解析式； （2）求证：函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数； （3）若 | t ? 1 |? f ( x ) +2 对 x ? [?2, ? 1] ? [1, 2] 恒成立，求实数 t 的范围．

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx （ k ? R ）是偶函数． （Ⅰ）求实数 k 的值； （Ⅱ）证明：对任意的实数 b ，函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ? 共点； （Ⅲ）设 g ( x) ? log 4 (a ? 2 ?
x

3 x ? b 最多只有一个公 2

4 a) ，若 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点，求实数 a 3

的取值范围．

4

攀枝花市十五中高 2018 届高一上半期考试数学试题 答案 一、选择题: 1----12 题 二、填空题: 13. f ( x) ? 15. ?0,1? BBDCB DDADA AC

x ( x ? 0)
16.

14.

2

①②④

三.解答题: 17、(本小题满分 10 分) 解： （1）解： ）将 a ? a 得a?a 即a?a
?1 ?1

1 2

?

1 2

? 3 两边平方，

? 2 ? 9.
……3 分
2 ?2

? 7.

（2）将上式平方，有 a ? a

? 2 ? 49.
……5 分

? a 2 ? a ?2 ? 47.
（2）原式= 1 ? 10 ? 2 ?

7 52 ? (? 10.4) 5 5

……10 分

18、(本小题满分 12 分) B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1, a ? R} ? {x | a ? x ? a ? 2} 分

……2

? x? ， 4 }? （ Ⅰ ） 当 a ? 2 时 ， B ?{ x | 2 U B ? {x | x ? 2 或 x ? 4} ，

A ? (? U B) ? {x | ?1 ? x ? 2}；

……7 分

（Ⅱ）由 A ? B ? A ，得 B ? A ，所以 ?

?a ? ?1 ? ?1 ? a ? 1． ?a ? 2 ? 3

……12 分

2 1 9. 解：令 t ? 2 ，则 g (t ) ? at ? 2at ? 2 （
x

1 ? t ?4） 4
……3 分

当 a ? 0 时， g (t ) ? 2 ? 3 ，舍去 a=0；

5

当 a ? 0 时， g (t ) ? a(t ? 1) 2 ? 2 ? a ； 当 a>0 时， g (t ) max ? g (4) ? 8a ? 2 ? 3 ，∴ a ? 当 a<0 时， g (t ) max ? 2 ? a ? 3 ，∴ a ? ?1 ． 综上， a ?

1 ． 8

……6 分 ……9 分

1 或 a ? ?1 ． ……10 分 8 20. 解（1）当 0 ? x ? 400 时， 1 1 f ( x) ? 400 x ? x 2 ? 100 x ? 20000 = ? x 2 ? 300 x ? 20000 ； 2 2 当 x ? 400 时

（2）证明：设任意 x1，x2 ∈（0，+∞） ，且 x1<x2． ∴ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? (? x 1 ?

2 2 2 2 ) ? (? x 2 ? ) ? ( x 2 ? x 1 ) ? ? x1 x2 x1 x 2
6

? (x 2 ? x1 ) ?

2( x 2 ? x 1 ) x1x 2

?

( x 2 ? x 1 )(x 1 x 2 ? 2) . x1x 2

由 x1，x2∈（0，+∞） ，得 x1x2>0，x1x2+2>0． 由 x1<x2，得 x 2 ? x1 ? 0 ． ∴ f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? 0 ，即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ． ∴函数 f ( x ) ? ? x ?

2 在（0，+∞）上为减函数． x

……8 分

（3）由 f(x)为奇函数，知 f(x)在（ ? ?, 0 ）也为减函数． 当 x ? [?2, ? 1] 时， f (x) min ? f (?1) ? ?1 当 x ? [1, 2] 时， f (x) min ? f (2) ? ?1 综上， f ( x ) min ? ?1 ，从而 | t ? 1 |? 1 ∴0 ? t ? 2． ……12 分

22、 （本小题满分 14 分）

? 解 ：（ Ⅰ ） 由 函 数 f ( x ) 是 偶 函 数 可 知 f (? x)

f( x ) 成 立 ， 所 以 恒

k x )? 0 对一切 x? R 恒成立，故 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx ， 所 以 有 (1? 2
1 1 k ? ? ．从而 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? x ． 2 2
（Ⅱ）由题意可知，只要证明 y ? f ( x) ? 可． 证明：设 x1 , x2 ? R ，且 x1 ? x2 ，那么 ……4 分

3 x ? log 4 (4 x ? 1) ? x 在定义域 R 上是单调函数即 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? [log 4 (4 x1 ? 1) ? x1 ] ? [log 4 (4 x2 ? 1) ? x2 ] ? log 4

4 x1 ? 1 ? x1 ? x2 ， 4 x2 ? 1

因为 x1 ? x2 ，所以 0 ? 4 1 ? 4 2 ， x1 ? x2 ? 0 ， 0 ?
x x

4 x1 ? 1 4 x1 ? 1 log ? 0 ，所以 ? 1 ， 4 x2 4 ?1 4 x2 ? 1

7

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，故函数 y ? f ( x) ?

3 x 在定义域 R 上是单调函数． 2 3 对 任 意 的 实 数 b ， 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 直 线 y ? ? x ? b 最 多 只 有 一 个 公 共 2
……9 分

点．

（ Ⅲ ） 函 数 f ( x) 与 g ( x) 的 图 象 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 即 方 程

1 4 x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有 且 只 有 一 个 实 根 ， 化 简 得 方 程 2 3 1 4 2 x ? x ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根． 2 3 4 2 x 令t ? 2 （t ? 0） ，则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正实根． 3 3 (1) 当 a ? 1 时，解得 t ? ? ，不合题意； 4 3 (2) 当 a ? 1 时，由 ? ? 0 ，得 a ? 或 a ? ?3 ； 4 3 1 而当 a ? 时，解得 t ? ?2 不合题意；当 a ? ?3 时，解得 t ? ，满足题意． 4 2 综上所述，实数 a 的取值范围是 a ? ?3 ． ……14 分 log 4 (4 x ? 1) ?

8