2017年春季学期苏教版高中数学选修2-3教案:2.5 离散型随机变量的均值与方差3

§2.5.1 离散型随机变量的均值 教学目标 1.了解离散型随机变量的期望的意义, 2.会根据离散型随机变量的分布列求出期望. 3.能计算简单离散型随机变量均值,并能解决一些实际问题. 教学重点:离散型随机变量的期望的概念. 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出期望. 教学过程 一、自学导航 1.情景: 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的,我们把这样的随机变量称为离散型随机变量.这 样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢? 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格品数分 别用 X1 , X 2 表示, X1 , X 2 的概率分布如下. X1 0 0.7 1 2 3 0.1 3 pk X2 0.1 1 0.1 2 0 0.5 pk 2.问题: 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术? 3.学生活动 ⑴直接比较两个人生产 100 件产品时所出的废品数.从分布列来看,甲出 0 件废品的概率比乙 大,似乎甲的技术比乙好;但甲出 3 件废品的概率也比乙大,似乎甲的技术又不如乙好.这样 比较,很难得出合理的结论. ⑵学生联想到“平均数” , ,如何计算甲和乙出的废品的“平均数”? ⑶引导学生回顾《数学 3(必修) 》中样本的平均值的计算方法. ①如果有 n 个数 x1,x2,? ,xn,那么 ②如果 n 个数中 x1,x2 ? xk 分别出现 f1,f2 ? ,fk 次(f1+ f2+? + fk=n)则 ③某人射击 10 次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数 是多少? ④某射手射击的环数ξ 的分布列为: 则他射击 n 次,射击环数的平均值 ξ 7 0.3 8 0.4 9 0.2 10 0.1 为 . P 那么,再回到前面的情境问题中来,如何来比较两工人的技术呢? 二、探究新知 1.定义 在《数学 3(必修) 》 “统计”一章中,我们曾用公式 x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn 计算样本的平均 值,其中 pi 为取值为 xi 的频率值. 类似地,若离散型随机变量 X 的分布列或概率分布如下: X P x1 x2 p2 ? ? xn pn p1 其中, pi ? 0, i ? 1, 2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1 , 则称 x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn 为随机变量 X 的 均值或 X 的数学期望,记为 E ( X ) 或 ? .它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.性质 (1) E (c) ? c ; (2) E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b . ( a, b, c 为常数) 三、例题精讲 例 1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个小口袋中装有 10 个红球,20 个白球, 这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出 5 个球,其中红球的个数为 X ,求 X 的数 学期望. 分析:从口袋中摸出 5 个球相当于抽取 n ? 5 个产品,随机变量 X 为 5 个球中的红球的个数, 则 X 服从超几何分布 H (5,10,30) . 解:由 2.2 节例 1 可知,随机变量 X 的概率分布如表所示: X P 从而 0 1 2 3 4 5 2584 23751 8075 23751 8550 23751 3800 23751 700 23751 42 23751 E( X ) ? 0 ? 2584 8075 8550 3800 700 42 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? 23751 23751 23751 23751 23751 23751 5 ? ? 1.6667 3 的数学期望约为 1.6667 . r n ?r r? CM CN M ?M 说明:一般地,根据超几何分布的定义,可以得到 E ( X ) ? ? ? n? . n CN N r ?0 n 答:X 例 2 从批量较大的成品中随机取出 10 件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为 0.05 ,随机变量 X 表示这 10 件产品中不合格品数,求随机变量 X 的数学期望 E ( X ) . 解:由于批量较大,可以认为随机变量 X ~ B(10, 0.05) , k P( X ? k ) ? pk ? C10 pk (1 ? p)10?k , k ? 0,1, 2,...,10 ,随机变量 X 的概率分布如表所示: X 0 0 0 C10 p (1 ? p)10 1 1 1 C10 p (1? p)9 2 2 2 C10 p (1? p)8 3 3 3 C10 p (1? p)7 4 4 4 C10 p (1? p)6 5 5 5 C10 p (1? p)5 pk X 6 6 6 C10 p (1 ? p)4 10 7 7 7 C10 p (1? p)3 8 8 8 C10 p (1? p)2 9 9 9 C10 p (1? p)1 10 10 10 C10 p (1 ? p)0 pk 故 E( X ) ? ? kp k ?0 k ? 0.5 即抽 10 件产品出现不合格品的平均件数为 0.5 件. 说明:例 2 中随机变量 X 服从二项分布,根据二项分布的定义,可以得到: 当 X ~ B(n, p) 时, E ( X ) ? np . 例 3 设篮球队 A 与 B 进行比赛,每场比赛均有一队胜,若有一队胜 4 场则比赛宣告结束,假 定 A, B 在每场比赛中获胜的概率都是 分析:先由题意求出分布列,然后求期望 解: (1)事件“ X ? 4 ”表示, A 胜 4 场或 B 胜 4 场(即 B 负 4 场 或 A 负 4 场) , 且两两互斥. P( X ? 4) ? C4 ? ( ) ? (

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