高二数学总复习(11)选修圆锥曲线之椭圆专题讲义(12.5)

高二数学选修系列---圆锥曲线之椭圆专题
1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 ) 的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦 距。 ⑵第二定义:动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0 ? e ? 1) ,则动点 M 的轨迹叫做椭圆。 定点 F 是椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率。 说明:①若常数 2a 等于 2c ,则动点轨迹是线段 F1 F2 。 ②若常数 2a 小于 2c ,则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质:

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 a2 b2
心在原点,焦点在 x 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
中心在原点,焦点在 y 轴上

图形

范围

x ? a, ? b y
A1 ? ? a,? 、A2 ? a,? 0 0 B1 ? 0, b ? 、B2 ? 0,b ? ?

x ? b, ? a y
A1 ? 0, a ? 、A2 ? 0,a ? ? B1 ? ?b,? 、B2 ? b,? 0 0

顶点

对称轴

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

焦点 焦距 离心率

F1 ? ?c,?、F2 ? c,? 0 0

F1 ? 0, c ?、F2 ? 0,c ? ?

F1 F2 ? 2c(c ? 0)

F1 F2 ? 2c(c ? 0)

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (0 ? e ? 1) a

常考题型
1. 动点 M 到定点 F1 (?4, 0), F2 (4, 0) 的距离之和不小于 8 的常数, 则动点 M 的轨迹是 ( )

D. 不存在 5 3 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( 2 2
A.

A. 椭圆

B. 线段

C. 椭圆或线段



y2 x2 ? ?1 8 4

B.

y2 x2 ? ?1 10 6

C.

y2 x2 ? ?1 4 8

D.

x2 y2 ? ?1 10 6


3.到定点(2,0)与到定直线 x=8 的距离之比为

x2 y 2 ? ?1 16 12 2 2 C. x ? 2 y ? 8 x ? 56 ? 0
A.

2 的动点的轨迹方程是( 2 x2 y 2 B. ? ?1 12 16 2 2 D. 3x ? 2 y ? 8 x ? 63 ? 0

4.已知 F1, F2 是定点,| F1 F2|=8, 动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8,则点 M 的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 m?2 m?5

(A)(±7, 0) (B)(0, ±7) (C)(± 7 ,0) (D)(0, ± 7 ) 6.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么 k 等于(
2 2



A.

?1

B.

1

C.

5

D.

? 5

x2 y2 ? 7、 方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是 ( 则 25 - m 16 ? m

)
9 2

(A)-16<m<25 8、设椭圆的标准方程为 ( )

(B)-16<m<

9 2

(C)

9 <m<25 2

(D)m>

x2 y2 ? ? 1 ,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是 k ?3 5?k

(A)k>3
2 2

(B)3<k<5

(C)4<k<5
) 5 15 3

(D)3<k<4

x y 10 9 已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为 ( 5 m 5 A.3 B.3 或 25 3 C. 15

D. 15或

10、过点(3, -2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的方程是
x2 y 2 ?1 (A) ? 15 10 x2 y 2 ?1 (B) ? 5 10 x2 y 2 ?1 (C) ? 10 15 x2 y 2 ?1 (D) ? 25 10

11.点 P 为椭圆 点 P 的坐标是 (A)(±

x2 y 2 ? ? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1, F2 为顶点的三角形的面积为 1,则 5 4

15 15 15 15 , 1) (B)( , ±1) (C)( , 1) (D)(± , ±1) 2 2 2 2
x 2 ? ( y ? 3) 2 =10 为不含根式的形式是

2 2 12.化简方程 x ? ( y ? 3) ?

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 (A) ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 25 16 25 9 16 25 9 25
13.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于 ( A. )

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2
2 2

14, 【2012 高考上海 16】对于常数 m 、 n , mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1的曲线是椭 “ 圆”的( ) B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ) D.相同顶点

A、充分不必要条件 15.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? k (k ? 0) 具有( a2 b a b

A.相同长轴 B.相同焦点 C.相同离心率 2 2 16.方程 Ax +By =C 表示椭圆的条件是 (A)A, B 同号且 A≠B (B)A, B 同号且 C 与异号 (C)A, B, C 同号且 A≠B (D)不可能表示椭圆

x2 y 2 3a 17 高考新课标 4】 F1 F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 【 设 右焦点, 为直线 x ? P a b 2
上一点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

18.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 离心率为( A. ) B.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 a 2 b2

5 5

1 2

C.

2 5 5

D.

2 3

19(2013 年高考四川卷(文) 从椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰 a 2 b2

为左焦点 F1 , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且

AB / /OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是
A.





2 1 B. 4 2

C.

2 3 D. 2 2

x2 y2 ? 20. P 是椭圆 =1 上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为 M,则 PM 中点的轨迹 9 5
中点的轨迹方程为: ( ) A、

4 2 y2 x ? ?1 9 5

B、

x2 4 2 ? y ?1 9 5

C、

x2 y2 ? ?1 9 20

D、

x2 y2 ? =1 36 5

21,2010·福建高考·11)若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为 4 3

??? ??? ? ? 椭圆上的任意一点,则 OP ? FP 的最大值为(
A.2 B.3 C.6

) D.8

22.从集合{1,2,3,…,11}中的任意取两个元素作为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 方程中的 m 和 n , m2 n2

则能组成落在矩形区域 B ? ?? x, y ? | | x | ? 11, | y | ? 9? 内的椭圆的个数是 A.43
2

B.72

C.86

D.90

x2 y 23.点 P 在椭圆 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐 25 9
标是____________.

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 24.已知 F1,F2 为椭圆 25 9 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? .
25 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 一 点 M 到 焦 点 F1 的 距 离 为 2, N 是 MF1 的 中 点 ,则 ON ? 25 9

26.P 为椭圆 为 .

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2 的面积 100 64

27.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c, a2 b2
.

则椭圆的离心率为

28.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、 2, F1 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P, | PF2 | = F 过 则 4

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值, a ? 5) 的的左焦点为 F , 且 直线 x ? m a2 5 与椭圆相交于点 A 、 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
29, 2012 高考四川 15】 椭圆
30:

一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程?

31, 【30 题变式】: 动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离的比等于 2(即

| PA | ,求动点 P 的轨迹方程? ? 2) | PB |

32.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

33:已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0) (4,0) , ,C 为动点,且满足

sin B ? sin A ?

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4

34.求过点 P(3, 0)且与圆 x2+6x+y2-91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程。

?x 35,已知动圆 P 过定点 A?? 3,? ,且在定圆 B: ? 3? ? y ? 64 的内部与其相内切, 0
2 2

求动圆圆心 P 的轨迹方程.


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