高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角5ppt课件_图文

2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会 进行平面向量数量积的坐标运算. 2.掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐 标表示、模的坐标表示及平面两点间的距离 公式. 一、复习引入 1、数量积的定义: a ? b ?| a || b | cos ? B 2、投影: | b | cos ? 叫做 b O θ B1 b在a方向上的投影 a A | b | cos ? 3.数量积的性质 (1) a ? b ? a ? b ? _______ . 0 证明向量 垂直的依据 | a || b | ; (2) 若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ |a| a ? a ? _____ . | a |? (4) cos? ? _________ a b a ?b 2 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ ? | a || b | ; a?a ≤ (3) | a ? b | ____ | a || b | .( 填 ? 或 ?) 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相 应的坐标来运算,那么怎样用 a和b 的坐标表示a ? b呢? 二、探究解疑 1、平面向量数量积的坐标表示 问题1、如图, 是xi 轴上的单位向量, 的单位向量, j 1. i ?i ? j ? j ?1 . B(x2,y2) b 是y轴上 y A(x1,y1) a i i ? j ? j ? i ?0 . j o x 问题2 已知两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x 2,y2 ) 设, i j分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量,则 a ? x1 i ? j表示? b ? x2 i ? y2 j a 、 b如何用与 i y1 j ?a ? b ? (x1 i ? y1 j ) ( ? x 2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j 2 2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 例1 设a = (5, ?7),b = (?6, ?4), ? ? ? ? 求a ·b及|a|的值 ? a b =5 ? ? -6 ? + ? -7 ? ? ? -4 ? a 2 =-2 = a a = ?5,-7? ?5,-7? =5 ? 5+ ? -7? ? ? -7? =74 a = 74 思考:在求 a 问题中,能否推广到一般情况? 2.向量的长度(模) 设a =(x,y),则 |a|2= x ? y 或|a |= _______ 2 2 x ?y 2 2 思考:知道向量的起点和终点坐标,如何表示 a ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= ___________ 2 2 平面内两点间的距离公式 3、向量平行和垂直的坐标表示式 设两个非零向量a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a⊥ b a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 a· b=0 x1x2+y1y2=0 4、两向量夹角余弦的坐标运算 两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2) ,夹 角 为 ? a?b cos ? ? | a || b | ? x1 x2 ? y1 y2 x ?y 2 1 2 1 x ?y 2 2 2 2 例题2、已知a = 1, 3 ,b= ? ? ? 3+1, 3-1 ,求a与b 的夹角 ? 设a与b 的夹角为?, cos ? = a b a b = ? 1 +? 3? ? 1? 2 2 ? 3+1 + 3 ? 3+1 ? 2 3-1 ? ? 2 ? +? 3-1 2 = 2 ? =45 变式:已知a= ? x,-2 ? ,b= ? 3,5? ,且向量a与b 的夹角是钝角, 求x的取值范围。 10 6 x? , 且x ? ? 3 5 三、典例分析 例3已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 向量的数量积是否 C(-2,5) ?2 ?1,3 ? 2? ? ?1,1? 为零,是判断相应 的两条线段或直线 B(2,3) 是否垂直的重要方 法之一 试判断?ABC的形状,并给出证明. 证明:方 法1 ? AB ? y ? AB ? AC ? 1? ?? 3? ? 1? 3 ? 0 ? AB ? AC ∴ △ABC是直角三角形 AC ? ? ?2 ? 1, 5 ? 2 ? ? ? ?3, 3 ? A(1,2) 0 x 方法2: AB = ?1,1?, AC = ? -3,3?, BC = ? -4,2 ? | AB |? 2 2,|AC |? 3 2,|BC |? 2 5 2 2 | AB | ? |AC | ?| BC | ,?ABC是直角三角形 变式练习:已知?ABC是直角三角形, AC ? ? 3,2 ?, BC = ? k ,1?,求k的值。 11 2 3 ? 13 k= ,k =- ,k = 3 3 2 四、当堂检测 《课时练》P.60随堂练习1,2,3,4; 小结: 1.平面向量数量积的坐标表示. 2.判断两个向量垂直的方法. 3.平面向量的模公式. 4.平面向量的夹角公式. 谢谢观看! 作 业 习题2.4 A组10,11

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