高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角4ppt课件_图文

2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角 一、复习引入 (1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 2 或a ? a ? a; a ?b a ? b . a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ? 练习 已知a ? (?1, 3), b ? (1, 0), 求a与b 的夹角? . 二.创设教学情境 变式练习已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), a与b的夹角, 求cos? . 同样是已知两向量的坐标,为什么练习题中的夹角易求,而变式 练习中的夹角的余弦值不易求? 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样 用 a和b 的坐标表示a ? b呢? 三、新课学习 1、平面向量数量积的坐标表示 i 如图, 是 x轴上的单位向量, 向量, cos ? 由于 a ? b ? a ? b 所以 j ? j ?1 . j 是y轴上的单位 y B(x2,y2) b j A(x1,y1) 1. i ?i ? a i ? j ? j ?i ?0 . o i x 下面研究怎样用 设两个非零向量 a和b 的坐标表示a ? b. =(x1a ,y1), =(x2,y2),b 则 a ? x1 i ? y1 j 2 b ? x2 i ? y2 j, 2 a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2 故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。即 y A(x ,y ) 1 1 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . B(x2,y2) b j a i o x 根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的 运算可转化为向量的坐标运算。 2、向量的模和两点间的距离公式 (1) a ? a ? a 2 或a ? a ? a; (1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a 2 ? x ? y ,或 a ? 2 2 x ? y ; 2 2 (2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y 2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y 2 ) 2 2 3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ?b ? 0 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (2)平行 四、基本技能的形成与巩固 例 1 (1) 已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), a与b 的 夹角? , 求a ? b , a ? b, .cos ? a?b ? 3 ?1 , cos ? ? a ?b a ?b ? a ?b ?2 2 6? 4 2 . (2)已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b ) ( ? a ?b ) ? . 法一: a ? b ? (0, 7), a ? b ? (4, ?1) ? (a ? b ) ( ? a ?b ) ? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7. 法二:(a ? b ) ( ? a ?b ) ? a ?b ? a 2 2 2 ? b 2 ? 13 ? 20 ? ?7 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明.(2)求sinB (1) C(-2,5) y 证明 : ?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1) AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3) ?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0 B(2,3) A(1,2) 0 ? AB ? AC ??ABC是直角三角形. x 思考:还有其他 证明方法吗? 变题1 已知A(0,0),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. 变题2 已知A(0,3),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. 例3:已知?ABC为直角三角形, AB=(1,3), AC=(2,k),求k. 2 解:若?A ? 90 ,则AB ? AC,? AB AC=0,1 ? 2+3k=0,? k=- . 3 8 若?B ? 90 ,则BA ? BC,? BA BC=0,-1 ? 1+(-3)(k-3)=0,? k= . 3 若?C ? 90 ,则CA ? CB,? CA CB=0,-2 ? (?1)+(-k)(3-k)=0, ? k=1或2. 五、小结 ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? a ? AB ? ? x1 x2 ? y1 y2 2 x1 2 ? ? y1 , b ? 2 2 x2 ? y2 . A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 2 2 A、B两点间的距离公式:已知 (1) cos ? ? (2) (3) ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) , x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 2 2 a // b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 六、课后练习 1 、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB , BC ? AB ,则点C的坐标为 29 C ( ?3, ) 3 2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、

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