广东省佛山一中2012-2013学年高一下学期期末数学试题

2012 学年度下学期期末考试高一级数学科试题
参考公式: 回归直线方程

y ? bx ? a 中,

b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
?

?

?

? ( xi ? x ) 2
i ?1

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

?nx y
?2

? ?

, a ? y? b x ;

?

?

? xi ? n x
2

?i
i ?1

n

2

?

n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请把正确填涂在答题卡上.
1.如图所示程序框图,能判断任意输入的数 x 的奇 偶性.其中判断框内的条件是 A. ( C. ) (第 1 题图) D. m ? 1 ( )

m?0

B.

x?0

x ?1

2. 设 a ? b,

c ? d ,则下列不等式中一定成立的是
B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d

A. a ? c ? b ? d 3. △ ABC 中,若 c

D. a ? c ? b ? d ( )

? 2a cos B ,则△ ABC 的形状为
B.等腰三角形 C.等边三角形

A.直角三角形

D.不等边三角形 ( )

4. 在等差数列 {a n } 中,若前 5 项和 S 5 ? 20 ,则 a 3 等于 A 4 B -4 C2 ( D-2 )

5.下列关于数列的命题中,正确的是 A.若数列 ? an ? 是等差数列,且 B.若数列

p ? q ? r ( p, q, r ? N * ) a p ? aq ? ar ,则

?an ? 满足 an?1 ? 2an ,则 ?an ? 是公比为 2 的等比数列

C. -2 和-8 的等比中项为±4 D. 已知等差数列 ? an ? 的通项公式为 an ? f (n) ,则 f (n) 是关于 n 的一次函数 6.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 A.b = 10,A = 45°,B = 70° C.a = 7,b = 5,A = 80° ( )

B.a = 60,c = 48,B = 100° D.a = 14,b = 16,A = 45°

7.已知

x, y

?y ? x 满 足 约 束 条 件 ?x ? y ? 1 , 则 ? ? y ? ?1 ?
) C.3 D.5

z ? 2 x ? y 的最大值为 (
A.

3 2

B.

5 2

8. 某程序框图如图所示, 该程序运行后 输出的 S 的值为 A.63 C. 127 ( B.100 D.128 )

9.设 ?an ? 是等比数列, S n 为其前 n 项和, ( n ? N * ), 下列语句中, 错误的是 ( .. A.数列 ? 1 ? 是等比数列 ? ?
? an ?
2

) (第 8 题图)

? ? 是等比数列 C.数列 ?lg a ?是等差数列
B.数列 an
n

D. S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n 是等比数列 10. 有下列四句话: ① 如果 x1 , x 2 是方程 ax 那么不等式 ax ② 当 Δ= b ③ 不等式
2

2

? bx ? c ? 0 的两个实根,

且 x1

? x2 ,

2

? 4ac ? 0 时,关于 x 的二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?

? bx ? c ? 0 的解集为 ?x x1 ? x ? x2 ?;

;

x?a ? 0 与不等式 ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集相同; x ?b

④ 不等式 ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集为 x a ? x ? b . 其中可以判断为正确的语句的个数是 .. A.3 B.2 C.1 ( ) D.0

?

?

二、填空题.本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答卷相应的 横线上.
11. 某公司有 1000 名员工, 其中, 高层管理人员占 5%, 中层管理人员占 15%, 一般员工占 80%, 为了了解该公司的某种情况,现用分层抽样的方法抽取 120 人进行调查,则一般员工应抽 取 人.

12.若 0 ? x ? 6 ,则 x(6 ? x) 的最大值为 13. 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ?100 14 . 已 知 数 列

。 (用数字作答) .

?

? an ? 中 , a

1

? 1, an ? 3an ?1 ? 4 (n ? N * 且n ? 2) , 则 数 列 ?an ? 通 项 公 式 是

an =______________.
三、解答题.本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.
15. (12 分) 在等差数列 (1) 求数列

?a n ?中, a

1

? 25, a6 ? 15 ,

?a n ?的通项公式; (2) 当 n 为何值时, 数列 ?a n ?的前 n 项之和 S

n

最大? 并求此最大值.

16. (12 分)如图四边形 ABCD 中,已知 AC= 5(3 ? 3 ) ,

D A

?DAC ? 45 o , ?DCA ? ?ACB ? 30 o ,BC= 20 3
(1) 求线段 CD 的长度; (2) 求线段 BD 的长度.

B
(第 16 题图)

C

17.(14 分)假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料: x(年) y 万元) ( 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)回归直线方程; (2)根据回归直线方程, 估计使用年限为 10 年时,当年维修费用约是多少? [参考数据:2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3] 18.(14 分)设函数 f (x) 的定义域为 R, f (x) 既是奇函数又是增函数. 是否存在实数 m ,使

? f (cos 2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? 0 对所有的? ? [0, ] 均成立?
2

若存在,求 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

19.(14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S 2 ? 5 , (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 Tn ?

an?1 ?a n ?2n ? 1 ,( n ? N * ),

1 1 1 ? ? ? ? ,求证: nTn ? 2n ? 1 . a1 a2 an

(3) 若数列 ?bn ? 满足: bn ? nan ,请写出 ?bn ? 的前 n 项和 U n 的公式(只要结果,不须推导) , 并据此求出 U19 的值.

20.(14 分) 如图,两个工厂 A,B 相距 2 km,点 O 为 AB 的中点,现要在以 O 为圆心,2 km 为半径的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼,其中 MA⊥AB,NB⊥AB.据测算此办公楼受 工厂 A 的“噪音影响度”与距离 AP 的平方成反比,比例系数是 1,办公楼受工厂 B 的“噪音 影响度”与距离 BP 的平方也成反比, 比例系数是 4, 办公楼受 A, 两厂的“总噪音影响度”y B 等于受 A,B 两厂“噪音影响度”的和,设 AP 为 x km . (1) 求“总噪音影响度”y 关于 x 的函数关系式, 并求出该函数的定义域; (2) 当 AP 为多少时,“总噪音影响度”最小?

N

P

M

B

(第 20 题图)

O

A

2012 学年度下学期期末考试高一级数学科试题答卷
座位号:

二、填空题
11.________ 试室号: 12._________ 13._______________ 14._______________

三、解答题
15..



姓名:



D
16.

A

B
班级:

C

线

考号:

17.

18.

19.

20.

N

P

M

B

O

A

2012 学年度下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 二、填空题。

A C B A C

D C C D D 14. 3 ? 2 .
n

11.

96 .

12. 9

.

13. 333300

三、解答题。
15. 解: (1)

?a n ?是等差数列.

?d ?

a6 ? a1 ? ?2 ………………………………………………………………………4 分 6 ?1

? an ? 25 ? (n ? 1) ? (?2) ? ?2n ? 27 ………………………………………………….6 分
(2)由(1)得 S n ? 25n ?

n(n ? 1) ? (?2) ? ?(n ? 13) 2 ? 169 ………………………………..9 分 2

故当 n=13 时, 前 n 项之和 S n 最大, 最大值是 169 .………………………………….12 分

16. 解: (1)由题意知 AC= 5(3 ? 3 ) ,

D A

?DCA ? 30 o , ?DAC ? 45 o
? ?ADC ? 180 o ? (45 o ? 30 o ) ? 105 o ……………..2 分
在 ?DAC 中,由正弦定理得,

B
……………………………………4 分

C

DC AC ? sin ?DAC sin ?ADC

? CD ?

AC sin ?DAC 5(3 ? 3 ) sin 45 o 5(3 ? 3 ) sin 45 o ? ? sin ?ADC sin105 o sin 45 o cos 60 o ? cos 45 o sin 60 o

?

5 3 ( 3 ? 1) 1? 3 2

? 10 3

………………………………………………………………6 分

o (2) ?DCB ? ?DCA ? ?ACB ? 60 , BC= 20 3

在 ?DBC 中, 由余弦定理, 得

BD 2 ? CD 2 ? BC 2 ? 2CD ? BC ? cos ?DCB

………………………………8 分 …………………………………………11 分

? 300 ? 1200 ? 2 ? 10 3 ? 20 3 ?

1 ? 900 2

? BD ? 30
17.解:(1) X

………………………………………………………………………………12 分

? 4, Y ? 5
5

???????????????????????2 分

?X
i ?1

5

2 i

? 90 ,

? X Y ? 112.3
i ?1 i i

??????????????????????

4分

??????????????

8分

????????????????????? ∴回归直线方程为 (2)当 x=10 时,

10 分 11 分

y ? 1.23x ? 0.08

???????????????????

y ? 1.23 ?10 ? 0.08 ? 12.38 (万元)

?????????? 13 分 14 分

答: 使用年限为 10 年时,当年维修费用约是 12.38 万元????????????

18.解: ∵

f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (cos 2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? 0 ,
?????2 分

∴ f (cos 2? ? 3) ? ? f (4m ? 2m cos? ) ? f (2m cos? ? 4m) , ∵ ∴ ∴ 即

f (x) 在 R 上是增函数,

cos 2? ? 3 ? 2m cos? ? 4m ,
2 cos2 ? ? 4 ? 2m cos? ? 4m , cos2 ? ? m cos? ? 2m ? 2 ? 0

??????????????????? 4 分

?????????????

6分

于是题设不等式 ? 在?0,1?上,t 2 ? mt ? 2m ? 2 ? 0恒成立, ????8 分
?m ? m ? ? ? 0 ? 1 ? ?2 2 0?2 ? 4 ?? m ( m ) 或 或 2 ? ?????11 分 ∴ ? ? 0? mm ? 2 ? ? ? ? 0 m 1 2 2 ? ? 2
2

? ?? 令 cos? ? t, ? ? ?0, ?, ? 0 ? t ? 1. ? ? 2?

???????????????

7分

故? ? 2 m4 2 .

??????????????????????????? 13 分

4 2 因此,满足条件的实数 m 存在, m 的取值范围为 ( ?
19.解: (1)由 ? ∵

2 ? ). ?????14 分 , ?

?a2 ? a1 ? 3 ,得 a1 ? 1 , ?a1 ? a2 ? 5


???????????????????1 分

an?1 ?a n ?2n ? 1 ,

an?1 ?a n ? 2n ? 1

于是,当 n ? 2 时, a2 累加之,得 an ∴ 而 ∴

?a1? 3 , a3 ?a 2 ? 5 , ?, an ? an?1 ? 2n ? 1 ,
???????????????????????4 分

? a1 ? n 2 ? 1 ,

a n ? n2

??????????????????????????5 分

a1 ? 1 ? 12 ,即 a1 也满足上式,

a n ? n2

( n ? N * ) ???????????????????????? 6 分 .

(2)当 n ? 1 时, T1 ? 当 n ? 2 时,

1 ? 1 ,∴ 1T1 ? 2 ? 1 ? 1 ; a1

?????????????? 7 分

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ... ? ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ? 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n a1 a 2 an 1 2 n

???? 9 分

1? 1 ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 2 ? ,?????????????? 11 分 n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?
∴ nTn ? 2n ? 1 .
3

??????????????????????????12 分
2

? n(n ? 1) ? (3) bn ? nan ? n , U n ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? , ?????????13 分 ? 2 ? ?
3 3 3

?19 ? 20 ? U19 ? ? 0 ? ? 3 6 1 0. ? 2 ?

2

??????????????????????14 分

π 2π 20.解:(1)连结 OP,设∠AOP=α,则 ≤α≤ . 3 3

?????????1 分

在△AOP 中,由余弦定理得 x2=12+22-2×1×2×cosα=5-4cosα. 在△BOP 中,由余弦定理得 BP2=12+22-2×1×2×cos(π-α)=5+4cosα. 1 4 1 4 ∴ BP2=10-x2.则 y= 2+ 2= 2+ . ?????????5 分 AP BP x 10-x2 ∴ π 2π 1 1 ≤α≤ .∴- ≤cosα≤ . 3 3 2 2

N

P

M

∴ 3≤5-4cosα≤7, 即有 3≤x≤ 7.

α

B
1 4 1 1 4 (2) 由(1)得 y= 2+ )[x2+(10-x2)] 2= ( 2+ x 10-x 10 x 10-x2
2

O

A

1 4 ∴ y= 2+ ,定义域为 {x| 3≤x≤ 7}.?????????7 分 x 10-x2 ??9 分

10-x 1 4x2 = (5+ + ) ?????????????????10 分 10 x2 10-x2 1 ≥ (5+2 10 当且仅当 10-x2 4x2 9 · ?= . x2 10-x2 10 ????????????11 分

10-x2 4x2 2 10 = 时取等号,???????12 分 2 2,即 x = x 3 10-x 30 ∈ [ 3, 7 ] 3 ???????????13 分

此时 x=

答:当 AP 为

30 km 时,“总噪音影响度”最小.??????? 14 分 3


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