2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.13导数的应用(二)

课时跟踪检测(十六) 导数的应用(二)

1.函数 f(x)=xe x,x∈[0,4]的最大值是( A.0 4 C. 4 e



) 1 B. e 2 D. 2 e

2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a, b,若 a<b,则必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) ) B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

3.(2012· 山西适应性训练)若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式 y =-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( A.1 百万件 C.3 百万件 B.2 百万件 D.4 百万件 )

4.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去 的正方形的边长为________. 5.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图像有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 6.已知函数 f(x)=x2+ln x. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 1 (2)求证:当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图像在 g(x)= x3+ x2 的下方. 3 2

1 7. (2012· 北京东城区综合练习)定义在 R 上的函数 f(x)= ax3+bx2+cx+2 同时满足以下 3 条件: ①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数; ③f(x)在 x=0 处的切线与直线 y=x+2 垂直. (1)求函数 f(x)的解析式; 1 3 (2)设 g(x)=?3x -f?x??·x,求函数 g(x)在[m,m+1]上的最小值. ? ?e

8.某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2- 10x3(单位:万元),成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元),又在经济学中,函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值-成本) (2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么.

1.(2012· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2). (1)当 t<1 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 f(-2)=m,f(t)=n,求证:m<n.

2.(2012· 济南模拟)已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (1)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值;

(3)当 a=-1 时,试推断方程|f(x)|=

ln x 1 + 是否有实数解. x 2





课时跟踪检测(十六) A级 1.选 B f′(x)=e x-x· x=e x(1-x), e
- - -

令 f′(x)=0,∴x=1. 4 1 - 又 f(0)=0,f(4)= 4,f(1)=e 1= ,∴f(1)为最大值. e e 2.选 A ∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, ∴? xf′?x?-f?x? -2f?x? f?x?? ′= ≤ 2 ≤0. x ? x2 x ?

f?x? f?a? f?b? 则函数 在(0,+∞)上是单调递减的,由于 0<a<b,则 ≥ . x a b 即 af(b)≤bf(a). 3.选 C 依题意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当 0<x<3 时,y′>0;当 x>3 时,y′<0.因此,当 x=3 时,该商品的年利润最大. 4. 解析: 设截去的正方形的边长为 x, 则容积 V=(48-2x)2x=4(x3-48x2+242x)(0<x<24), V′=4(3x2-96x+242)=12(x2-32x+8×24)=12(x-8)(x-24),易知当 x=8 时,V 取最大 值,因此 x=8 cm 时,所做的铁盒容积最大. 答案:8 cm 5.解析:令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,可得极大值为 f(-1)=2, 极小值为 f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 答案:(-2,2) 6.解:(1)∵f(x)=x2+ln x, 1 ∴f′(x)=2x+ . x ∵x>1 时,f′(x)>0,故 f(x)在[1,e]上是增函数, ∴f(x)的最小值是 f(1)=1,最大值是 f(e)=1+e2. 1 2 (2)证明:令 F(x)=f(x)-g(x)= x2- x3+ln x, 2 3
2 3 1 x -2x +1 ∴F′(x)=x-2x2+ = x x



x2-x3-x3+1 ?1-x??2x2+x+1? = . x x

∵x>1,∴F′(x)<0. ∴F(x)在(1,+∞)上是减函数.

1 2 1 ∴F(x)<F(1)= - =- <0, 2 3 6 即 f(x)<g(x). ∴当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图像总在 g(x)的图像的下方. 7.解:(1)f′(x)=ax2+2bx+c,

?f′?1?=0, ? 由题意知?2b=0, ?f′?0?=-1, ? ?a+2b+c=0, ? 即?b=0, ?c=-1, ? ?a=1, ? 解得?b=0, ?c=-1. ?

1 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)= x3-x+2. 3 1 3 (2)g(x)=?3x -f?x??·x=(x-2)ex. ? ?e g′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex. 令 g′(x)=0,解得 x=1.当 x<1 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0,所以函数 g(x)在(- ∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 当 m≥1 时,在[m,m+1]上, g(x)单调递增,g(x)min=g(m)=(m-2)em; 当 m<1<m+1,即 0<m<1 时,g(x)在[m,1)上单调递减,在(1,m+1]上单调递增,g(x)min =g(1)=-e; 当 m+1≤1,即 m≤0 时,在[m,m+1]上,g(x)单调递减,g(x)min=g(m+1)=(m-1)em
+1

. 综上,函数 g(x)在[m,m+1]上的最小值

??m-2?e ,m≥1, ? g(x)min=?-e,0<m<1, ??m-1?em+1,m≤0. ?
m

8.解:(1)由题意知,P(x)=R(x)-C(x)=-10x3 +45x2 +x3 240x-5 000(x∈N,且 1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275(x∈N,且 1≤x≤19). (2)由(1)可得,P′(x)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴P′(x)=0 时,x=12, 当 0<x<12 时,P′(x)>0,当 x>12 时, P′(x)<0, ∴x=12 时,P(x)有最大值.

即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)由(1)知,MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. ∴当 x≥1 时,MP(x)单调递减,∴边际利润函数 MP(x)的单调递减区间为[1,19],且 x ∈N+. MP(x)是减函数的实际意义是: 随着产量的增加, 每艘船的利润与前一艘船的利润相比, 利润在减少. B级 1.解:(1)f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1), ①当-2<t≤0,x∈[-2,t]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增. ②当 0<t<1,x∈[-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x∈(0,t]时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上,当-2<t≤0 时,y=f(x)的单调递增区间为[-2,t]; 当 0<t<1 时,y=f(x)的单调递增区间为[-2,0),单调递减区间为(0,t]. (2)证明:依题意得 m=f(-2)=13e 2, n=f(t)=(t2-3t+3)et, 设 h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e 2,t>-2, h′(t)=(2t-3)et+et(t2-3t+3)=ett(t-1)(t>-2). 故 h(t),h′(t)随 t 的变化情况如下表: t h′(t) h(t) (-2,0) + ? 0 0 极大值 (0,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?
- -

3 13 e -13 由上表可知 h(t)的极小值为 h(1)=e- 2 = 2 >0,又 h(-2)=0,故当 t>-2 时, e e

h(t)>h(-2)=0,即 h(t)>0, 因此,n-m>0,即 m<n. 1 1-x 2.解:(1)∵当 a=-1 时,f(x)=-x+ln x,f′(x)=-1+ = . x x 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, ∴f(x)max=f(1)=-1. 1 (2)∵f′(x)=a+ ,x∈(0,e], x 1 ?1 ∈ ,+∞?. ? x ?e

1 ①若 a≥- ,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上是增加的, e ∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意. 1 ②若 a<- ,则由 f′(x)>0 e 1 得 a+ >0, x 1 即 0<x<- , a 1 1 由 f′(x)<0 得 a+ <0,即- <x≤e. x a 1 1 从而 f(x)在?0,-a?上是增加的,在?-a,e?上是减少的. ? ? ? ? 1 1 ∴f(x)max=f?-a?=-1+ln?-a?. ? ? ? ? 1 1 令-1+ln?-a?=-3,则 ln?-a?=-2, ? ? ? ? 1 - 1 ∴- =e 2,即 a=-e2.∵-e2<- ,∴a=-e2 为所求. a e (3)由(1)知,当 a=-1 时, f(x)max=f(1)=-1, ∴|f(x)|≥1. 1-ln x ln x 1 又令 g(x)= + ,则 g′(x)= ,令 g′(x)=0,得 x=e, x 2 x2 当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增; 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)上单调递减. 1 1 ∴g(x)max=g(e)= + <1. e 2 ∴g(x)<1. ∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|> ln x 1 + . x 2 ln x 1 + 没有实数解. x 2

∴当 a=-1 时,方程|f(x)|=


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