2019-2020年高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明数学归纳法课时训练理

2019-2020 年高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第 4 节

直接证明与间接证明数学归纳法课时训练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

综合法

3,5,8,12

分析法

10,11

反证法

1,2,4,9

数学归纳法

6,7,13

基础对点练(时间:30 分钟)

1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设是( B )

(A)自然数 a,b,c 中至少有两个偶数

(B)自然数 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数

(C)自然数 a,b,c 都是奇数

(D)自然数 a,b,c 都是偶数

解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选 B.

2.设 x,y,z>0,则三个数+,+,+( C )

(A)都大于 2

(B)至少有一个大于 2

(C)至少有一个不小于 2 (D)至少有一个不大于 2

解析:假设三个数都小于 2,

则+++++<6,

由于+++++=(+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,所以假设不成立,

所以+,+,+中至少有一个不小于 2.故选 C.

3.设 a=-,b=-,c=-,则 a,b,c 的大小顺序是( A )

(A)a>b>c (B)b>c>a (C)c>a>b (D)a>c>b

解析:因为 a=-=,

b=-=,

c=-=,

又因为+>+>+>0,

所以 a>b>c.

4.(xx 高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”

时,要做的假设是( A )

(A)方程 x3+ax+b=0 没有实根

(B)方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根

(C)方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根

(D)方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根

解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x3+ax+b=0 没有实根”.故

选 A.

5.(xx 成都模拟)已知函数 f(x)=()x,a,b 是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则 A,B,C 的大小关系

为( A )

(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B

(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A

解析:因为≥≥,

又 f(x)=()x 在 R 上是减函数,

所以 f()≤f()≤f(),

即 A≤B≤C.故选 A.

6.用数学归纳法证明++…+>时,由 k 到 k+1,不等式左边的变化是( C )

(A)增加项

(B)增加和两项

(C)增加和两项同时减少项

(D)以上结论都不对

解析:n=k 时,左边=++…+

n=k+1 时,左边=++…+,

由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是+-.

7.设 a>b>0,m=-,n=,则 m,n 的大小关系是

.

解析:法一 取 a=2,b=1,得 m<n.

法二 -<?+>?a<b+2·+a-b?2·>0,显然成立,故 m<n.

答案:m<n

8.已知点 An(n,an)为函数 y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点,其中 n∈N*,设

cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为

.

解析:由条件得 cn=an-bn=-n=,

所以 cn 随 n 的增大而减小.

所以 cn+1<cn.

答案:cn+1<cn 9.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a,b,c 中至少

有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是

.

解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.

答案:假设 a,b,c 都不是偶数

10.已知 a>0,用分析法证明-≥a+-2.

证明:要证-≥a+-2,

只需证≥(a+)-(2-).

因为 a>0,

所以(a+)-(2-)>0,

所以只需证()2≥[(a+)-(2-)]2,

即 2(2-)(a+)≥8-4,

只需证 a+≥2.

因为 a>0,a+≥2 显然成立(a==1 时等号成立),

所以要证的不等式成立.

能力提升练(时间:15 分钟)

11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证<a”索的因应是

(C)

(A)a-b>0

(B)a-c>0

(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0

解析:由 a>b>c,且 a+b+c=0

可得 b=-a-c,a>0,c<0.

要证<a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证 a2-ac+a2-c2>0,

即证 a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,

即证 a(a-c)-b(a-c)>0,

即证(a-c)(a-b)>0.

故求证“<a”索的因应是(a-c)(a-b)>0.

12.对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称 f(x)为

“可构造三角形函数”.以下说法正确的是( D )

(A)f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数”

(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数

(C)f(x)=(x∈R)是“可构造三角形函数”

(D)若定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[,e](e 为自然对数的底数),则 f(x)一定是“可构造

三角形函数”

解析:对于 A 选项,由题设所给的定义知,? a,b,c∈R,f(a),f (b),f(c)都是某一正三角形的

三边长,是“可构造三角形函数”,故 A 选项错误;

对于 B 选项,由 A 选项判断过程知,B 选项错误;

对于 C 选项,当 a=0,b=3,c=3 时,f(a)=1>f(b)+f(c)=,不构成三角形,故 C 错误;

对于 D 选项,由于+>e,可知,定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[,e](e 为自然对数的底数),

则 f(x)一定是“可构造三角形函数”.

13.设 a>0,f(x)=,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N*.

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的结论.

(1)解:因为 a1=1,所以 a2=f(a1)=f(1)=;

a3=f(a2)=;a4=f(a3)=. 猜想 an=(n∈N*).

(2)证明:①易知,n=1 时,猜想正确.

②假设 n=k 时猜想正确,

即 ak=,

则 ak+1=f(ak)=

=

==.

这说明,n=k+1 时猜想正确.

由①②知,对于任何 n∈N*,都有 an=.

精彩 5 分钟

1.已知三个不等式①ab>0;②>;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成

个正确命题.

解题关键:-=.

解析:此题共可组成三个命题即①② ? ③;①③? ②;②③? ①.若 ab>0,>,则-=>0,得

bc-ad>0,即可得命题①②? ③正确;若 ab>0,bc>ad,则=->0,得>,即命题①③? ②正确;若

bc>ad,>,则-=>0,得 ab>0,即命题②③? ①正确.综上可得正确的命题有三个.

答案:三

2.凸函数的性质定理为如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意

x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin

B+sin C 的最大值为

.

解题关键:利用所给凸函数的性质求解.

解析:因为 f(x)=sin x 在区间(0,π )上是凸函数,

且 A,B,C∈(0,π ),

所以≤f()=f(),

即 sin A+sin B+sin C≤3sin =,

所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为.

答案:

3.(xx 洛阳模拟)下面有 4 个命题:

①当 x>0 时,2x+的最小值为 2;

②若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=x,且其一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重

合,则双曲线的离心率为 2;

③将函数 y=sin 2x 的图象向右平移个单位,可以得到函数 y=sin(2x-)的图象;

④在 Rt△ABC 中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径 r=;

类比到空间,若三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,且长度分别为 a,b,c,则三

棱锥 SABC 的外接球的半径 R=.

其中错误命题的序号为

.

解题关键:对四个命题的真假性逐一作出判断.

解析:对于①,2x+取得最小值为 2 的条件是 x=0,这与 x>0 相矛盾;对于③,将函数 y=sin 2x

的图象向右平移个单位,可以得到函数 y=sin[2(x-)]=sin(2x-)的图象;易证②成立;对于④,

可将该三棱锥补成长方体,其外接球的直径恰好是长方体的体对角线.

答案:①③

2019-2020 年高三数学一轮复习第十五篇几何证明选讲第 1 节相似三 角形的判定及有关性质课时训练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

平行线截割定理及应用

4

相似三角形的判定与性质

1,3

直角三角形的射影定理

2

1.如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 交于点 F,DE=CD.

(1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 的面积. (1)证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以∠A=∠C,AB∥CD. 所以∠ABF=∠CEB. 所以△ABF∽△CEB. (2)解:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD∥BC,AB∥CD. 所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 因为 DE=CD, 所以==,

==. 因为 S△DEF=2, 所以 S△CEB=18,S△ABF=8. 所以 S 四边形 BCDF=S△CEB-S△DEF=16. 所以 S 平行四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24. 2.已知 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D,DF⊥AC,垂足为 F,DE⊥AB,垂足 为 E.
求证:(1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF. 证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC, 所以∠BAC=∠ADB, 又因为∠B=∠B, 所以△ABD∽△CBA, 所以=, 即 AB·AC=AD·BC. (2)由题 AD2=BD·DC, 所以 AD4=BD2·DC2 =BE·BA·CF·CA =BE·CF·AD·BC, 所以 AD3=BC·BE·CF. 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,连接 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE= ∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD; (2)若∠BAE=30°,AD=3,求 BF 的长. (1)证明:因为 AB∥CD, 所以∠BAF=∠AED. 又因为∠BFE=∠C, ∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA, 所以∠BFA=∠ADE. 所以△ABF∽△EAD. (2)解:因为∠BAE=30°, 所以∠AEB=60°, 所以=sin 60°=, 又=, 所以 BF=·AD=. 4.如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF∥AD.

(1)求证:OE=OF; (2)求:+的值; (3)求证:+=. (1)证明:因为 EF∥AD,AD∥BC, 所以 EF∥AD∥BC. 因为 EF∥BC, 所以=,=. 因为 EF∥AD∥BC,
所以=. 所以=,所以 OE=OF. (2)解:因为 OE∥AD, 所以=. 由(1)知=, 所以+=+==1. (3)证明:由(2)知+=1, 所以+=2.又 EF=2OE,所以+=2, 所以+=.


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