【成才之路】高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

成才之路 ·数学 人教版 ·必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第四章 圆的方程 第四章 4.2 4.2.1 直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系 1 优 效 预 习 3 当 堂 检 测 2 高 效 课 堂 4 课后强化作业 优效预习 ●知识衔接 1.直线与圆的位置关系有三种: 两 个公共点; (1)直线与圆相交?直线与圆有_______ 一 个公共点; (2)直线与圆相切?直线与圆有______ 没有 (3)直线与圆相离?直线与圆________ 公共点. 2.点到直线的距离公式: |Ax0+By0+C| 2 2 A + B 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=__________. 3.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为( A.(4,-6),r=16 C.(-2,3),r=4 [答案] C B.(2,-3),r=4 D.(2,-3),r=16 ) [解析] 由圆的一般式方程可知圆心坐标为(-2,3),半径 r 1 2 =2 4 +?-6?2+12=4. 4.点P(1,-2)到直线y=2x+1的距离为 |2+2+1| d= 2 2= 5 1 +2 ___________________________. ●自主预习 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及 判断 位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直线的距 |Aa+Bb+C| 离d= A2+B2 代数法:由 ? ?Ax+By+C=0 ? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r 消元得到一元二次方程的判 别式Δ 相交 两 个 ____ 相切 ___ 一个 相离 ___ 0 个 d___ > r < r d___ = r d____ 判 定 方 法 > Δ___0 = Δ___0 < Δ____0 ●预习自测 1. 直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系 是( ) A.过圆心 C.相离 [答案] D [解析] 圆心C(1,-1),半径r=3,C到直线3x+4y+12 |3-4+12| 11 =0的距离d= 2 2 = 5 <r=3.所以直线与圆相交. 3 +4 B.相切 D.相交 2.(2015·安徽卷)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1= 0相切,则b=( A.-2或12 C.-2或-12 [答案] D [解析] ∵直线3x+4y=b与圆心为(1,1),半径为1的圆相 |3+4-b| 切,∴ 2 2 =1?b=2或12,故选D. 3 +4 ) B.2或-12 D.2或12 3 .直线 l : 3x - 4y - 5 = 0 被圆 x2 + y2 = 5 所截得的弦长为 ________. [答案] 4 4 . 过 点 ( - 3,4) 且 与 圆 x2 + y2 = 25 相 切 的 直 线 方 程 为 ________. [答案] 3x-4y+25=0 高效课堂 ●互动探究 直线与圆的位置关系 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+ y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? [探究] 直线与圆有两个公共点 ?直线与圆相交;直线与 圆只有一个公共点?直线与圆相切;直线与圆没有公共点?直 线与圆相离. [解析] 方法1:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化 简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当Δ>0,即m>0或m<- 3 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; 4 当Δ=0,即m=0或m=- 3 时,直线与圆相切,即直线与 圆只有一个公共点; 4 当Δ<0,即- 3 <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没 有公共点. 方法2:已知圆的方程可化为 (x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径长r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = 2 2. 1+m 1+m 4 (1)当d<2,即m>0或m<- 3 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; 4 (2)当d=2,即m=0或m=- 3 时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; 4 (3)当d>2,即- 3 <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆 没有公共点. 规律总结: 解决此类问题的关键是搞清直线与圆的 位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系.在处理直线与 圆的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距离和半 径长的大小,而不用联立方程. (2015·山西太原五中月考试题)若直线x-y+1=0与圆(x- a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( ) A.[-3,-1] C.[-3,1] [答案] C [ 分析 ] 系? B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 直线和圆有公共点说明直线和圆是什么位置关 [解析] 圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0 |a+1| 的距离为d,则d≤r= 2? ≤ 2?|a+1|≤2?-3≤a≤1. 2 弦长问题 直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相 交截得的弦长为4 5,求l的方程. [探究] 先讨论直线斜率不存在的情况,可知不合题意, 则可直接设出直线的点斜式方程,再根据弦长|AB|=4 长、圆心到直线的距离d之间的关系求解. 5 求 解.可以利用弦长公式,也可以利用几何法,由半径、半弦 [解析] 若直线l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切, 不合题意,所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y-5=k(x-5)与圆C相交于A(x1,y1), B(x2,y2), ? ?y-5=k?x-5?, 方法1:

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