基本不等式的证明 作业 (1) 高中数学 必修5 苏教版 含答案

第 3 章 不等式 3.4 a+ b 基本不等式 ab≤ (a≥0,b≥0) 2 3.4. 基本不等式的证明 A级 一、选择题 基础巩固 a b 1. 如果 a、 b 为绝对值不相等的非零实数, 那么 + 的值是( b a A.大于 2 C.小于等于 2 B.小于-2 或大于 2 D.大于-2 或小于 2 ) 解析:a,b 同号时大于 2,a,b 异号时小于-2. 答案:B 2.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( A.lg(x2+1)≥lg(2x) 1 C. 2 ≤1 x +1 B.x2+1>2x 1 D.x+ ≥2 x ) 解析:对于 A,当 x≤0 时,无意义,故 A 不恒成立;对于 B, 当 x=1 时, x2+1=2x, 故 B 不成立; 对于 D, 当 x<0 时, 不成立. 对 于 C,x2+1≥1,所以 答案:C 3.给出下面四个推导过程: 1 ≤1 成立.故选 C. x +1 2 b a ①因为 a,b∈R+,所以 + ≥2 a b b a · =2; a b ②因为 x,y∈R+,所以 lg x+lg y≥2 lg x·lg y; 4 ③因为 a∈R,a≠0,所以 +a≥2 a x y ④因为 x,y∈R,xy<0,所以 + = y x ?? x? ? y ?? -??-y ?+?-x??≤-2 ?? ? ? ?? ? x? ? y ? ?- ?· ?- ?=-2. ? y ? ? x? 4 ·a=4; a 其中正确的推导为( A.①② ) D.①④ B.②③ C.③④ b a 解析:①由于 a,b∈R+,所以 , ∈R+,符合基本不等式的条 a b 件,故①推导正确; ②虽然 x,y∈R+,但当 x∈(0,1)和 y∈(0,1)时,lg x 和 lg y 都是负数,所以②的推导过程是错误的; ③由 a∈R,不符合基本不等式的条件, 4 所以 +a≥2 a 4 ·a=4 是错误的; a x y x y ④由 xy<0,得 , 均为负数,但在推导过程中将整体 + 提出 y x y x ? x? ? y ? 负号后,?-y ?,?-x?均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正 ? ? ? ? 确. 答案:D t2-4t+1 4.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为( t A.-2 B. 1 C.1 D.2 2 ) t2-4t+1 1 解析:因为 t>0,y= =t+ -4≥2 t t 1 且仅当 t= ,即 t=1 时,等号成立. t 答案:A 1 t· -4=-2,当 t 5.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等 (a+b)2 比数列,则 的最小值为( cd A.0 B.1 C.2 D.4 ? ?a+b=x+y, (a+b)2 (x+y)2 解析: 由题意,知 ? 所以 = = cd xy ?cd=xy, ? ) x2+y2+2xy x2+y2 = +2≥2+2=4,当且仅当 x=y 时,等号成立. xy xy 答案:D 二、填空题 6.某工厂第一年的产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的 增长率为 b,这两年的平均增长率为 x,则 x 与 ________. 解析:因为 A(1+x)2=A(1+a)(1+b)≤ ?1+a+1+b? ? a+b a+b? ? =A?1+ ? ,所以 x≤ A? . 2 2 2 ? ? ? ? 2 2 a+b 的大小关系是 2 答案:x≤ a+b 2 1 2 7.(2015· 湖南卷改编)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最 a b 小值为________. 1 2 b+2a 解析:法一:由已知得 + = = ab,且 a>0,b>0,所以 a b ab ab ab=b+2a≥2 2ab,所以 ab≥2 2. 1 2 法二:由题设易知 a>0,b>0,所以 ab= + ≥ a b 2 2 ,即 ab≥2 2. ab 答案:2 2 8.下列命题正确的是________(填序号). 4 ①若 x≠kπ,k∈Z 则 sin2 x+ 2 ≥4; sin x 4 ②若 a<0,则 a+ ≥-4; a ③若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥2 lg a·lg b; b a ④若 a<0,b<0,则 + ≥2. a b 解析:对于①,x≠kπ,k∈Z,则 sin2x∈(0,1]. 令 t=sin2x, 4 则 y=t+ ,函数 y 在(0,1]上单调递减,所以 y≥5, t 4 即 sin2x+ 2 ≥5,当 sin2x=1 时等号成立.故①错误; sin x 4 对于②,若 a<0,则-a>0,- >0. a ? ? 4?? 4 所以 a+ =-?(-a)+?-a??≤-4, a ? ? ?? 4 当且仅当 a= ,即 a=-2 时等号成立.故②错误; a 对于③,若 a∈(0,1)或 b∈(0,1), 则 lg a<0 或 lg b<0,不等式不成立.故③错误; b a 对于④,a<0,b<0,则 >0, >0, a b b a 所以 + ≥2 a b b a · =2, a b b a 当且仅当 = ,即 a=b 时等号成立.故④正确. a b 答案:④ 三、解答题 ad+bc bc+ad 9.已知 a>0,b>0,c>0,d>0,求证: + ≥4. bd ac 证明: 4, 当且仅当 a=b 且 c=d 时取“=”号, 所以 ad+bc bc+ad + ≥4. bd ac ad+bc bc+ad a c b d ?a b? ?c d? + = + + + =?b+a?+?d+c ?≥2+2= bd ac b d a c ? ? ? ? 10.求下列函数的最值: 1 (1)已知函数 y=x+ ,x∈(-∞,0),求此函数的最大值; x 12 (2)已知 x>0,求 f(x)= +3x 的最小值. x 1 解:(1)因为 x

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