【全国百强校】河北省邯郸市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题

邯郸市一中高三年级第二次模拟考试试题
年级 高三 科 目 文科数学 命题人 张东旭 审核人 贾立平
第 I 卷(选择题 共 60 分) [来源:学科网]
一、选择题;本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合要求的。 1.设集合U ? {1,2,3,4,5,6,7,8}, A ? {1,2,3} , B ? {3,5},则 (CU A) ? B ? ( ) A.{1,2,3,4} B.{3,5} C.{5} D.{1,2,3,4,5}

ab

iz

2. 新定义运算: = ad ? bc ,则满足

= ? 2 的复数 z 是( )

cd

?1 z

A.1? i B. 1? i C. ?1? i D. ?1? i

3.甲乙两人有三个不同的学习小组 A,B,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,

则两人参加同一个小组的概率为( )

1
A.
3

2
B.
3

1
C.
6

5
D.
6

? ? 4.已知 an 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S9 ? ( )

A. 24

B. 27

C. 15

D. 54

5.已知

F1

、F2

是双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1?a ? 0,b ? 0? 的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正三角形

MF1F2 ,

若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

开始

A. 4 ? 2 3

B. 3 ?1 C. 3 ?1 2

D. 3 ?1

6.执行如图所示 的程序框图,若输出的结果为 2,则可输入的实数 x 值的个数为(

输入x

x ? 2? 是

)

否 y ? x2 ?1

y ? log2 x

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

7.已知定义在 R 上的函数

f

? x? ? 2x?m

?1?m? R? 为偶函数.记 a

?

f

? ? log1

? 4? ,

? 3?

输出y 结束

b ? f ?log2 5? , c ? f ?2m? ,则 a,b, c 的大小关系为( )

A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. c ? b ? a

8. 某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为 1 个单位),其中俯视图为扇形,则该几何体的体

积为( )

A. 2? 3

B. 4? C. 14? D. 16?

3

3

9

9.函数 f(x)=-(cos x)lg|x|的部分图像是( )

10. 如 图 , 已 知 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 , A 的 半 径 为 1 , PQ 为 A 的 任 一 条 直 径 , 则 BP ?CQ ? AP ?CB 的值为( ) A. ?1 B.1 C. 2 D. ?2
11.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 MN⊥AM, 若 AB=2 ,则此正三棱锥外接球的体积是( )
A.12π B. 4 3? C. π D.12 π

12.设函数 f(x)=

,若方程 4f(x)+x﹣m=0 有且仅有两个实数根,

则实数 m 的取值范围是( )

A. m ? 1 B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1

4

4

第 II 卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? y ? 3 ? 0, 13.若平面区域 ??2x ? y ? 3 ? 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最
??x ? 2 y ? 3 ? 0

小值是

14. 已知函 数

,若 的图象向左平移 个单位所得的图象与 的图

象向右平移 个单位所得 的图象重合,则 的最小值为

15.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0,b ? 0) ,始终平分圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周 长,则 1 ? 2 ab

的最小 值为

? ? ? ? 16.数列

an

满足

a1

?

a2

?

1 ,an

?

an?1

?

an?2

?

cos

2n? 3

(n ?

N?)

,若数列

an

的前 n 项和为 Sn ,

则 S2012 的值为

三、解答题:本大题共 6 小题。共 70 分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b ,c. 已 知

? ? ? ? m ? s i nC, b2 ? a2 ? c2 , n ? 2sin A ? sin C, c2 ? a2 ? b2 且 m // n ;

(1)求角 B 的大小;

(2)设 T ? sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ,求 T 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与 逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B,C, D, E 五个等级.某考场考生的两科考试成 绩数据统计如下图所示,其中“数学与逻 辑”科目的成绩为 B 的考生有10 人. (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中 成绩为 A的人 数; (2)若等级 A, B,C, D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分,1分,求该考场考生“数学与 逻辑” 科目的平均分; (3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A .在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A
A1 的概率.

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,B1B ? B1A ? AB ? BC ? 2 ,?B1BC ? 90? , D 为

B1 A

AC AB ? B D 的中点,



1

[来源:学科网]

B

(1)求证:平面 ABB1A1 ? 平面 ABC ;

C1
D C

(2)求三棱锥 C ? BB1D 的体 积.

2

2

? x ? y ? 1 20. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 :



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43

左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F1 、 F2 分 别作两条平行直 线 AB 、 CD 交椭圆 ? 于点 A 、 B 、 C 、 D . (1)求证:| AB |?| CD |;

(2)求四边形 ABCD面积的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x? ? ln x ? ? x ? a?2 , a 为常数.

(1)若当 x ?1时, f ? x? 取得极值,求 a 的值,并求出 f ? x? 的单调增区间;

f ? x? a ln e (2)若
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存在极值,求 的 取值范围,并证明所有极值之和大于 .

2

[来源:学科网]

22. (本小题满分 10 分)4-1 :几何证明选讲如图,在

?ABC 中,CD 是 ?ACB 的平分线,?ACD 的外接圆交

BC

于点 E , AB ? 2AC .

(1)求证: BE ? 2AD ;

(2)当 AC ?1, EC ? 2 时,求 AD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方

程为

?x

? ?

y

? ?

2 ? 2cos? 2 sin ?

(?

为参数),在极坐标系(与直角坐标系

xOy

取相同的长度单位,且以原点

O

为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中, 直线 l 的方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 2 . 4

(1)求曲线 C 在极坐标系中的方程;(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | x | ?2 . (1)解不等式 f (x) ? 0;

(2)若存在实数 x ,使得 f (x) ?| x | ?a ,求实数 a 的 取值范围.
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邯郸市一中高三年级第二次模拟考试试题

一、选择题 1-5 CCABD 6-10 ABBAB 二、填空题

文科数学答案
11-12 BB

13. 2 14.4 15. 3 ? 2 2 16.672

三、解答题

17.

解:(1)

2

sin C sin A ? sin

C

? b2 ? a2 ? c2 c2 ? a2 ? b2

?

?2ac ?2ab

cos cos

B C

?

c cosB b cos C

,……1 分 ?

sin sin

C B

cos B cos C

[来源:Z+xx+k.Com]

因为 sinC ? 0 ,所以 sin BcosC ? 2sin Acos B ? sinCcos B , ……2 分

所以 2sin Acos B ? sin BcosC ? sinC cos B ? sin(B ? C) ? sin A ,……4 分

因为 sin

A?

0 ,所以 cos B

?

1 2

,因为 0

?

B

?

π

,所以

B

?

π 3

;……6



(Ⅱ) T ? sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 1 (1? cos 2A) ? 3 ? 1 (1? cos 2C) ……7 分

2

42

? ? ?

7 4

?

1 2

(cos

2

A

?

cos

2C

)

?

7 4

?

1 2

???cos

2

A

?

cos

4π 3

? 2A

? ??

……8 分

? ? ? ? ? 7 ? 1 1 cos 2A ? 3 sin 2A ? 7 ? 1 cos 2A ? π ……9 分

4 22

2

42

3

因为

0

?

A

?

2π 3

,所以

0

?

2A

?

4π 3

,故

π 3

?

2A

?

π 3

?

5π 3

,……10



? ? 因此 ?1≤ cos

2A? π 3

?

1 2

,所以

3 2

?

T



9 4

……12 分

18.解:(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,所以该考场有10 ? 0.25 ? 40 人

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3,

(Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1? 0.2 ? 2? 0.1? 3? 0.375 ? 4? 0.25 ? 5? 0.075 ? 2.9
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A,所以还有 2 人只有一个科目得分为 A,设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则
在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为 ? ? { {甲,乙},{甲, 丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}} ,有 6 个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈,这

P(B) ? 1

两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个则

6.

19. 解:(Ⅰ)取 AB中点为 O ,连结 OD , OB1 .

A1

因为 B1B ? B1A ,所以 OB1 ? AB .

Ziy uanku.com

B1

C1

又 AB ? B1D , OB1 ? B1D ? B1 , 所以 AB ?平面 B1OD ,

A O

因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .…3 分 B

D C

由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC ,

所以
资*源%库

OD

?

BB1 ,因为

AB

?

BB1

?

B



所以 OD ?平面 ABB1 A1.又 OD ? 平面 ABC ,

所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 .

………………6 分

(Ⅱ)三棱锥 C ? BB1D 的体积=三棱锥 B1 ? BCD 的体积

由(Ⅰ)知,平面 ABC ? 平面 ABB1A1 ,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ? AB ,

OB1 ? AB , OB1 ? 平面 ABB1 A1 所以 OB1 ? 平面ABC ,即 OB1 ? 平面BCD ,

资*源%库 B1O 即点 B1 到 平面BCD 的距离, B1O ? 3

S ?BCD

?

1 2 S?ABC

?1

所以 VC ? BB1D

? VB1?BCD

?

1 ?1? 3

3?

3 3

…………………………9 分 ………………………… 11 分
………………………… 12 分[来源:Z+xx+k.Com]

20. 解:(1)设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) , lAB : x ? my ?1.

? x2 y2

联立

? ?

4

?

3

? 1, 得 (3m2 ? 4) y2 ? 6my ? 9 ? 0 .

??x ? my ?1,



y1

?

y2

?

6m 3m2 ?

4



y1 y2

?

?

9 3m2 ?

4



设 C(x3, y3 ) , D(x4 , y4 ) ,由 AB / /CD ,得 lCD : x ? my ?1.

? x2

联立

? ?

4

?

y2 3

? 1, 得 (3m2

? 4) y2

? 6my ? 9

? 0.

??x ? my ?1,



y3

?

y4

?

?

6m 3m2 ?

4



y3

y4

?

?

9 3m2 ?

4



∴ y1 ? y2 ? ?( y3 ? y4 ) , y1 y2 ? y3 y4 .∴ | y1 ? y2 |?| y3 ? y4 | .[来源:Zxxk.Com]

而| AB |? 1? m2 | y1 ? y2 | ,| CD |? 1? m2 | y3 ? y4 | ,∴| AB |?| CD |.

(2)由(1)知 四边形 ABCD 为平行四边形,S

ABCD

? 4S?AOB ,且 S?AOB

?

1 2

|

OF

|

?

|

y1

?

y2

|

.∴

S ABCD ? 4S?ABO ? 2 | y1 ? y2 | ? 2 ( y1? y2) 2?4 y1y2

?2

(

6m 3m2 ?

)2 4

?

4

?

(?

9 3m2 ?

) 4

? 24

m2 ?1 (3m2 ? 4)2

? 24

1



9(m2

? 1)

?

1 m2 ?1

?

6



f

(t)

? 9t ? 1 ( t t

? 1),

f

'(t) ? 9 ?

1 t2

?

9t2 ?1 t2

?0,

∴ f (t) 在[1, ??) 上单调递增,∴ f (t)min ? f (1) ? 10 .

故 S ABCD 的最大值为 6,此时 m ? 0 .

21. 解:(1) f ?? x? ? 1 ? 2? x ? a? ? 2x2 ? 2ax ?1 ,

x

x

∵ x ?1 时 , f ? x? 取 得 极 值 , f ??1? ? 0 , 3? 2a ? 0a, ?3 . f ?? x? ? 2x2 ? 3x ?1? x ? 0? ,

2

x

f ??x? ? 0 ? 2x2 ?3x ?1? 0?x ? 0? ,

x

?1或0

?

x

?

1, 2

f

?

x?

的单调增

区间为

? ??

0,

1 2

???、?1, ???



(2) f ?? x? ? 2x2 ? 2ax ?1 (x ? 0) ,令 f ?? x? ? 0,
x
? ? 则 2x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 ?0, ??? 上有解,但没有等根, ? ? 4a2 ? 8 ? 4 a2 ? 2

①当 ? 2 ? a ? 2 时, ? ? 0 ,则 2x2 ? 2ax ?1 ? 0 恒成立,即 f ?? x? ? 0 , f ? x? 在 ?0, ???上单调递 增, f ? x? 无极值,

②当 a ? 2 时, 2x2 ? 2 2x ?1 ? 0, x ? 2 , 2

? x ???? 0,

2 2

? ???

,

x

?

? ???

2 2

,

? ?? ???

时,

f

??x?

?

0 恒成立,

f

?

x?

在 ?0, ??? 上无极值,

同理当 a ? ? 2 时, f ? x? 在 ?0, ???上无极值,

③当 a ? ? 2 或 a ? 2 时, ? ? 0 ,方程有二个解,

a?

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x1

?

a2 2

?

2

,

x2

?

a

?

a2 2

?2

,且 x1 ? x2

? a, x1

x2

?

1 2



①当 a ? ? 2 时, x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 , x1, x2 均为负根,
∴ x??0, ??? 有 f ?? x? ? 0,所以 f ? x? 在 ?0, ???上单调递增.

∴ f ? x? 无极值点,

②当 a ? 2 时, x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,∴ x1 x2 ??0, ??? ;

x ?0, x1 ? x1 ? x1, x2 ? x2 ? x2, ???

f ?x? +

0

-

0

+

f ??x?

递增 极大值

递减

极小值

递增 [来源:学*科*网]

∴ f ? x? 在 x1 处有极大值,在 x2 处有极小值,
? ? ∴ a 的取值范围是 2, ?? ,

∵ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? x1 ? a?2 ? ? x2 ? a?2

? ? ? ? ? ln x1x2 ?

x12 ? x22

?

2a ? x1

?

x2

?

?

2a2

?

ln

1 2

?

x12 ? x22

? 2a a ? 2a2

?

ln

1 2

? 2x1x2

?

ln

1 2

?1?

ln

e, [来源:Zxxk.Com]
2



x1

?

x2

,∴

f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

?

ln

e 2

.....12



22.解:(1)如图所示,

连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, ?BDE ? ?BCA ,[来源:Z*xx*k.Com] 又 ?DBE ? ?CBA, 所以 ?DBE ~ ?CBA , 即 有 BE ? DE .
BA CA 又 AB ? 2AC , 所以, BE ? 2DE , 又 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2AD . (2)因为 AC ?1, EC ? 2 ,所以 AB ? 2AC ? 2 , 设 AD ? t ,根据割线定理得, BD? BA ? BE ? BC ,
即 (AB ? AD) ? BA ? 2AD ? (2AD ? CE) ,

所以 (2 ? t) ? 2 ? 2t(2t ? 2) ,

即 2t2 ? 3t ? 2 ? 0 ,

解得 t ? 1 或 t ? ?2 (舍去),即 AD ? 1 .

2

2

23.解:(1)曲线 C 的普通方程为 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 ,



x2

?

y2

?

4x

?

0

,将

?x

? ?

y

? ?

? ?

cos? sin?

代入方程

x2

?

y2

?

4x

?

0

化简得

?

?

4 cos?

.

所以,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .

(2)∵直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,



?x2 ?

?

y2

?

4x

?

0

得直线

l

与曲线

C

的交点坐标为

(2,

2),

(4,

0)



?x ? y ?4 ? 0

所以弦长| OA |? 2 2 .

24.(1)①当 x ? ? 1 时, ?1? 2x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2

②当 ? 1 ? x ? 0 时, 2x ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ,所以为? [来源:Zxxk.Com]

2

3

③当 x ? 0 时, x ?1? 2 ? x ?1,所以 x ?1

综合①②③不等式的解集为 (??, ?3] [1, ??) .

(2)即| 2x ?1| ?2 | x |? 2 ? a ?| x+ 1 | ?| x|?1 ? a

2

2

由绝对值的几何意义 ,只需 ? 1 ? 1? a ? a ? ?3 . 22


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