6.2.3 等差、等比数列及其前n项和_图文

6.2.3

等差、等比数列及其前n项和
(2课时)

复习建议:把等差、等比整合起来进行复习 重点: 1、等差、等比数列的判断与证明 2、灵活运用通项公式、前n项和公式及性质进 行等差、等比数列的基本量计算。 3、等差、等比数列的综合问题

限时作业28:第9题选做,其余必做。 限时作业29:12题选做,其余必做。
知识梳理的一、二、三,建议学生先进行对比整理,老师补充。

?基础自测(77页)?
2.(2011广东佛山一模)在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d
≠0.若ak=a1+a2+…+a7,则k=( A ). A.22 B.23 C.24 D.25

C

5.已知等差数列{an}其前n项和为Sn,且S10=10,S20=

30,则S30=

60

.

?基础自测(79页)?
2.在等比数列{an}中,若a4=8,q=-2,则a7的值为(

A ).

A.-64

B.64

C.-48

D.48

3.在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三

个数分别是

___________ .

?知识梳理:一、等差、等比数列的相关概念?
相关名称 等差数列 等比数列
an ? q(q为常数,n ? 2) an ?1
*

定义
中项(等 差、等比 中项) 通项公式

an-an-1=d(n≥2)
an-an-1= an-1 -an-2(n≥3,n∈N )
如果a,A,b成等差数列,那 么 叫做a与b的等 差中项且2A=a+b

an a ? n ?1 (n ? N * , n ? 3) an ?1 an ?2

如果三个数a,G,b组成 等比数列,则G叫做a和b 2 的等比中项,且 G =ab

an= a1+(n-1)d=nd+ a1-d an =am+(n-m)d
sn ? n(a1 ? an ) (已知首项a1 , 末项an ) 2

an=

a1· q

n-1

an=am· q

n- m

,

前n项和 公式

n(n ? 1)d sn ? na1 ? (已知首项a1和公差d) 2

      na1 ,(q ? 1), Sn= ? ? n
a1 (1 ? q ) ,( q ? 1) ?       1? q

sn ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 2 2

二、等差、等比数列与函数的关系
相关名称 等差数列 等比数列

通项公式

an= a1+(n-1)d=nd+ a1-d
当d≠0时, an是关于n的一次函数, 则(n, an)是一次函数图象上的一群 孤立的点,斜率为d. a ?a a ?a d? n 1? n m n ?1 n?m

an=

a1· q

n-1

a1 n ? q q

,

前n项和 公式

d 2 d sn ? n ? (a1 ? )n 2 2
当d≠0时,Sn是关于n的且常数项 为0的二次函数,则(n,Sn)是二次函 数图象上的一群孤立的点,由此 可得:当d>0时,Sn有最小值;当d<0 时,Sn有最大值.
n

S n =k · q -k(k为常数 且k≠0,q≠0,1)

三、等差、等比数列的相关性质
等差数列 1 若{an}为等差数列,且 * k+l=m+n(k,l,m,n∈N ), 则 . ak+al=am+an 等比数列 若{an}为等比数列,且 * k+l=m+n(k,l,m,n∈N ), al=am· an 则 . ak ·

2

3

4

若{an}是等差数列,公差为d,则 若{an}是等比数列,公比为q,则 {a2n}也是 等差数列,公差 {a2n}也是 等比数列 ,公差 q2 为 2d, 为 , 若{an},{bn}是等差数列,则 若{an},{bn}是等比数列,则 {pan+qbn}也是__________ {pan+qbn}也是__________ 等比数列 等差数列 若Sn 是等差数列{an}的前n项 若Sn 是等比数列{an}的前n项 和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n组成新 和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n组成新 的 的 n

等差数列,公差为nd

等比数列,公差为q

等比数列 5 若{an}是等差数列,则{ean}是_______________ 等差数列 若{bn}是等比数列,则{lgbn}________________

问题:等差、等比数列的判定与证明

【优化设计77页例1】

【1.2】证:(1)由a1=1,Sn+1=4an+2得a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3.
【优化设计79页例1】

由Sn+1=4an+2,? ① 则当n≥2时,有Sn=4an-1+2.? ② ①-②得an+1=4an-4an-1, 又∵bn=an+1-2an. ∴an+1-2an=2(an-2an-1).

∴bn=2bn-1.

∴数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

?

方法提炼等差数列的判定方法
*

(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;

(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立;
(3)通项公式法:验证an=pn+q; (4)前n项和公式法:验证Sn=An +Bn.
2

类比等差数列,那么等比数列的判定方法??

等差、等比数列的基本运算

【2.1】 设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,
它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列.求公

差d的值和数列{an}的通项公式.
【2.2】设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和

为36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项
数n及a9+a10;

【2.1】 设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前1
0项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列.求公差d的值和数列{ an}的通项公式.
【优化设计77页例2】

【2-2】 (1)设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36, Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n及a9+a10;

【优化设计77页例3-1】

【优化设计77页例3-2】

等差、等比数列的基本运算及性质
【3.1】在等比数列{an}的前n项中,a1最小,且a1+an=66,a2

an-1=128,前n项和Sn=126,求n和公比q.

【3.1】在等比数列{an}的前n项中,a1最小,且a1+an=66,a2
an-1=128,前n项和Sn=126,求n和公比q.

【优化设计80页例3-2】

方法提炼:等差、等比数列的通项公式及前n项和公式中

,共涉及五个量,知三可求二,如果已知两个条件,就可以列
出方程组解之,体现了用方程思想解决问题的方法.如果

利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.

n=19

解:由已知得,{an}是首项为正,公差为负的递减等差数列,

请做[针对训练]2

请做[针对训练]2


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