1.4.2 全称命题与特称命题的否定


含有一个量词的命题的否定

温故知新
全称量词: “所有的”, “任意一个”, “一切” ,
“每一个”, “任给”……常用符号“"”表示.

全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.

全称命题格式为: 对M中任意一个x,有p(x)成立.
符号语言表示为: "x∈M,p(x).

温故知新
存在量词:“存在一个”, “至少有一个”,“有
些”, “有一个”, “对某个”, “有的” …… 常用符号“$”表示. 特称命题:含有存在量词的命题叫做特称命题 .

特称命题格式为: 存在M中的元素x0 ,有p(x0)成立.

符号语言表示为: $x0∈M , p(x0).

全称命题的否定

下列命题的否定在形式上有什么变化?
写出下列命题的否定. (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每个素数都是奇数; (3)?x∈R, x2-2x+1≥0.

写出下列命题的否定:
(1) p:所有的矩形都是平行四边形;

? p:存在一个矩形不是平行四边形.
(2) p:每个素数都是奇数;

? p:存在一个素数不是奇数. (3) p:?x∈R, x2-2x+1≥0.
2 ? p : $x 0 ? R , x 0 - 2x + 1 < 0

全称命题的否定
全称命题: 注意事项: 三变:更换量词,否定结论,给元素加下标;

p : " x ? M , p( x )

全称命题的否定: ? p :$ x0 ? M , ? p( x0 );

一不变:元素的性质不变.

全称命题的否定
练习:写出下列命题的否定 . (1) p: 所有能被3整除的数都是奇数; (2) p: 每个四边形的四个顶点共圆;

(3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数不等于3.
注意: 全称命题的否定是特称命题.

写出下列命题的否定:
(1) p: 所有能被3整除的数都是奇数;

? p:存在一个能被3整除的数不是奇数.
(2) p: 每个四边形的四个顶点共圆;

? p:存在一个四边形的四个顶点不共圆.
(3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数不等于3. ? p:$x0∈Z, x02的个位数等于3.

特称命题的否定
下列命题的否定在形式上有什么变化? 写出下列命题的否定 . (1) 有些实数的绝对值是正数; (2) 某些平行四边形是菱形;

( 3 ) $x 0 ? R , x + 1 < 0 .
2 0

写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;

? p:任意实数的绝对值都不是正数.
(2) 某些平行四边形是菱形;

? p:每一个平行四边形都不是菱形.

( 3)$x0 ? R, x + 1 < 0 .
2 0

? p : "x ? R , x 2 + 1 ? 0 .

特称命题的否定
特称命题: p: $x0∈M , p(x0) ﹁ p: "x∈M , ﹁ p(x) 特称命题的否定: 注意事项:

三变:更换量词,否定结论,给元素去下标;
一不变:元素的性质不变.

练习: 写出下列命题的否定 . (1) p: $x0∈R, x02 + 2x0 + 2 ≤ 0; (2) p: 有的三角形是等边三角形; (3) p: 有一个素数含三个正因数 . 注意: 特称命题的否定是全称命题.

写出下列命题的否定:
(1) p: ?x0∈R , x02 + 2x0 + 2 ≤ 0;
? p : "x ? R , x 2 + 2 x + 2 > 0 .

(2) p: 有的三角形是等边三角形;
? p:每一个三角形都不是等边三角形.

(3) p: 有一个素数含三个正因数 .
? p:每一个素数都不含三个正因数.

练习:写出下列命题的否定.
(1)二次项系数大于零的二次函数图象开口向上. (2)等圆的周长相等,面积相等. 注:无量词的全称命题要先补回量词再否定. 【解析】 (1) 存在一个二次项系数大于零的二次函数 图象开口不向上. (2) 存在两个全等的圆,但这两个圆的周长不 相等,或面积不相等.

全称命题、特称命题的应用

例3 已知对于 "x∈(-∞,1],不等式1+2x+(a-

a2)· 4x>0恒成立,求a的取值范围.

小结:含有一个量词的量命题词及否定
命题 全称命题p 全称命题 的否定? p 特称命题p 特称命题 的否定? p 命题的表述 x∈M,p(x) ?x0∈M,? p(x0) ?x0∈M,p(x0)

?x∈M,? p(x)

课堂小结
1、全称量词、全称命题的定义. 2、全称命题的符号记法. 3、判断全称命题真假性的方法. 4、存在量词、特称命题的定义. 5、特称命题的符号记法. 6、判断特称命题真假性的方法. 7、含有一个量词的否定.

课堂作业
课时作业

高考鉴赏:

纵观近几年的高考试题,我们可以发现 《常用逻辑用语》也是必考知识之一,尤其 是充分必要条件的内容几乎年年必考一个选 择题,近年来增加了 “量词”方面的考查, 例如2009.2010年就多次考查了这方面的知识, 下面举例说明如下:

1.(2009年海南)有四个关于三角函数的命题:
p1 : $x ? R, sin 2 p2 x x 1 + cos 2 ? 2 2 2 : $x, y ? R, sin( x - y ) ? sin x - sin y

p3 : "x ? ? 0, ?

?,

1 - cos 2 x ? sin x 2

p4 : sin x ? cos y ? x + y ?

?

2

其中的假命题是(

A)
B. p2 , p4

A. p1, p4

C. p1 , p3

D. p2 , p3

2.(2009年天津(理)3)命题“存在 x0 ? R, 2
( )

x0

?0

”的否定D

A.不存在x0 ? R, 2x0 >0

B存在 . x0 ? R, 2x0 ? 0

C.对任意的x ? R,2 ? 0
x

D对任意的 . x ? R, 2x >0
a (a ? R), 则下列结论正确的是 x

2 3.(2009年浙江(文)8) 若函数 f ( x) ? x +



c



A."a ? R, f ( x)在(0,+?)上是增函数

B."a ? R, f ( x)在(0, + ?)上是减函数

C.$a ? R, f ( x)是偶函数
D.$a ? R, f ( x)是奇函数

4.(2009年辽宁(文)11)下列4个命题:
1 x 1 x p1 : $x ? (0,+?),( ) < ? ? ; 2 3
p2 : $x ? ? 0,1? ,log 1 x > log 1 x;
2 3

1 p3 : "x ? ? 0, +? ? , ( ) x > log 1 x; 2 2

1 1 x p4 : "x ? (0, ), ( ) < log 1 x. 3 2 3
其中的真命题是( D )

A. p1 , p2,B. p1, p4,

C. p2 , p3, D. p2 , p4 .

5. (2010 年高考天津卷文科 5)下列命题中,真命题是 (A) $m ? R,使函数f(x)=x2 + mx(x ? R)是偶函数 (B) $m ? R,使函数f(x)=x2 + mx(x ? R)是奇函数 (C) "m ? R,使函数f(x)=x + mx(x ? R)都是偶函数
2

(D) "m ? R,使函数f(x)=x + mx(x ? R)都是奇函数
2

5. (2010 年高考天津卷文科 5)下列命题中,真命题是 (A) $m ? R,使函数f(x)=x2 + mx(x ? R)是偶函数 (B) $m ? R,使函数f(x)=x2 + mx(x ? R)是奇函数 (C) "m ? R,使函数f(x)=x + mx(x ? R)都是偶函数
2

(D) "m ? R,使函数f(x)=x + mx(x ? R)都是奇函数
2

6.(2010 年高考辽宁卷文科 4)已知 a > 0 , 函数 f ( x) ? ax2 + bx + c , 若 x0 满足关于 x 的方程 2ax + b ? 0 , 则下列选项的命题中为假命题的是 (A) $x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) "x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (B) $x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) "x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

7.(2010 年高考湖南卷文科 2)下列命题中的假命题 是 ... A. $x ? R, lg x ? 0 C. B. $x ? R, tan x ? 1 D. "x ? R, 2x > 0

"x ? R, x3 > 0


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