2.二圆内切

相切的二圆 1. 如图,AB 是⊙O 的弦,CD 且⊙O 于点 C,且 CD//AB,求证: C D C 为 AB 弧的中点。 证明:如图,连 AC、BC。 A B ∵CD//AB ,CD 是切线, ∴∠CBA=∠BCD=∠CAB。 ∴弧 AC 与弧 BC 相等,即 C 是 AB 弧的中点。 2. 如图,⊙O 与⊙O′ 内切于点 P,过 P 任作线分别交⊙O、⊙O′于 A、B,求证: (1) PA 过 A、B 所做的⊙O 与⊙O′切线平行; (2) ? 常数。 PB 证明:如图,过 P 作⊙O 与⊙O′的公切线 PE,连 POO′,OA,O′B,设⊙O 与⊙O′的半 径分别为 r 与 r′。 C B (1)∵ ∠DAP{=∠EPA=∠CBP, E ∴ BC//AD,即过 A、B 所做的⊙O 与⊙O′切线平行。 A D (2)∵ Δ AOP 与Δ BO′P 都是等腰三角形, P O O' ∴ Δ AOP∽Δ BO′P, ∴ PA OA r ? ? ,即 PA ? 常数。 PB OB r ? PB 评注:(i) 根据结论(2)可知,⊙O 与⊙O′是位似图形,P 是(外)位似中心。 (ii) 对于外切、相离、相含的两圆,有类似的性质吗? 3. 如图,⊙O 与⊙O′ 内切于点 P,⊙O′的弦 AB 切⊙O 于 C,直线 PC 交⊙O′于另一点 M。求证:M 是弧 AB 的中点。 M A C 证明:如图,由第 2 题(1)的证明知 M 处的切线与 AB P 平行,那么由第 1 题知 M 是弧 AB 的中点。 O O' B 4. 如图,⊙O1 与⊙O2 外切,又分别与⊙O 内切于点 P、Q, ⊙O 的弦 AB 分别切⊙O1 与⊙O2 于 C、D。求证: (1)C、D、Q、P 四点共圆; (2)CP、 DQ、⊙O1 与⊙O2 的内公切线,三线共点。 M A 证明:如图,由第 3 题的结论知 PC 过弧 AB 的中点, C QD 过弧 AB 的中点。 D P O O 1 B 又 ∠PQM =∠PQA +∠AQM =∠PMA +∠APM O2 =∠PMA +∠AMB =∠MCB , Q 所以 C、D、Q、P 四点共圆,从而 M 是⊙O1 与⊙O2 的一个等幂点,故 M 在⊙O1 与⊙O2 的根轴上。 但⊙O1 与⊙O2 的根轴为其内公切线,故 CP、DQ、⊙O1 与⊙O2 的内公切线,三线共点。 5. 如图,⊙O1、⊙O2 在⊙O 内滚动且始终保持与⊙O 内切,切点为 P、Q,MN 是⊙O1 与⊙O2 的外 公切线,PQ 与⊙O2 交于另一点 U。已知⊙O1、⊙O2、⊙O 的半径分别为 r1、r2、R。求证: (1)UN//PM; (2)PQ、MN、O1O2 三线共点。 证明: (1)由第 4 题的证明可知,Q、N、M、P 四点共圆,故∠QUN=∠QNR =∠QPM,所以 UN//PM。 (2)设 r, r1, r2 分别为⊙O、⊙O1 和⊙O2 的半径, S O1O2 与 MN 的交点为 R,则 R 为⊙O1、⊙O2 的外位似中心。 对Δ OO1O2 及其边上的点 P、Q、R,有 P O1 M O U Q O2 N T R L 1 OP O1 R O2 Q r r r ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ?1 PO1 RO2 QO r1 r2 r 根据梅涅劳斯定理知 P、Q、R 三点共线,即 PQ、MN、O1O2 三线共点。 6. 设⊙O1、⊙O2 分别与⊙O 外切于点 A、B,求证:⊙O1、⊙O2 的外公切线,O1O2, AB 三线共点。 证明:因为 S 是⊙O1、⊙O2 的外公切线与连心线的交点, 所以 O1 S r ?? 1 。 SO2 r2 S O1 A O B O2 考察Δ OO1O2 及其边上的点 S、A、B,因为 OA O1 S O2 B ? ? ? ?1 , AO1 SO2 BO 那么由梅涅劳斯定理知 S、A、B 三点共线,即⊙O1、⊙O2 的外公切线,O1O2,AB 三线共 点。 7. 设⊙O1、⊙O3 内切于点 P,⊙O1、⊙O2 外切于点 Q,求证:⊙O2、⊙O3 的内公切线、 PQ、O2O3 共点。 证明:考察Δ O3O1O2 及其边上的点 P、S、Q,有 O3 P O1Q O2 S r r O S ? ? ?? 3 ? 1 ? 2 , PO1 QO2 SO3 r1 r2 SO3 O S r 因为 AB 是⊙O2、⊙O3 的内公切线,故 2 ? 2 ,所以 SO3 r3 O3 P O1Q O2 S ? ? ? ?1 , PO1 QO2 SO3 B P O3 S A O1 Q O2 那么由梅涅劳斯定理知 S、P、Q 三点共线,即⊙O2、⊙O3 的内公切线、PQ、O2O3 共点。 8. 如图,等腰Δ ABC 内接于⊙O,⊙O′与⊙O 内切于 P,且分别与 AB、AC 切于点 E、 F。求证:EF 通过Δ ABC 的内心。 (曼海姆定理) T A 证明:如图,由第 3 题结论知 M 是弧 AB 的中点,N 是弧 AC M N 的中点,从而 BN 与 CM 的交点 I 是Δ ABC 的内心。 O E I F 考察圆内接六边形 PMCABN,根据巴斯卡定理可得 O' PM 与 AB 的交点 E,MC 与 BN 的交点 I,CA 与 NP 的交点 F, C B P 三点共线,即 EF 通过Δ ABC 的内心。 评注: (1)P 是⊙O′与⊙O 的位似中心,从而从过的⊙O 的出发,可得很多平行的线段, 如 MN//EF。 (2) P 只用于确定 M、N 分别是弧 AB 和弧 AC 的中点。从而只要已知 M、N 分别 是弧 AB 和弧 AC 的中点,则无论 P 在 BC 上如何变化,总有 PM 与 AB 的交点 E,PN 与 AC 的交点F,Δ ABC 的内心三点共线。如下面的第 9 题。 9. 如图,Δ ABC 内接于⊙O,D、E、F 分别是弧 BC、弧 CA、弧 AB 的

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