课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用

第 1 页 共 8 页

课时跟踪检测(二十四)
一、专练高考真题

正弦定理和余弦定理的应用

1.(2014· 四川高考)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两 岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河 流的宽度 BC 等于( A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 解析:选 C ∵tan 15°=tan (60°-45°)= 60tan 60°-60tan 15°=120( 3-1)(m),故选 C. 2.(2014· 浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训 练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确 瞄准目标点 P, 需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成 角).若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则 tan θ 的最大值是( ) tan 60°-tan 45° =2- 3,∴BC= 1+tan 60°tan 45° )

A.

30 5

B.

30 10

4 3 C. 9

5 3 D. 9

AB 15 解析: 选 D 由题意, 在 Rt△ABC 中, sin∠ACB=AC= = 25 3 4 ,则 cos∠ACB= . 5 5 作 PH⊥BC,垂足为 H,连接 AH,如图所示. 设 PH=x,则 CH= 3x, 在△ACH 中,由余弦定理得 AH= AC2+CH2-2AC· CH· cos∠ACB = 625+3x2-40 3x,

第 2 页 共 8 页

tan∠PAH=

PH = AH

1

625 40 3 - x +3 x2

?1>0?, ?x ?

1 4 3 5 3 故当x= 时,tan θ 取得最大值,最大值为 . 125 9 3.(2014· 全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一 座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点 测得∠ MCA = 60°,已知山高 BC = 100 m ,则山高 MN = ________m. MA AC 解析:在△ABC 中,AC=100 2 m,在△MAC 中,由正弦定理得 = , sin 45° sin 60° 解得 MA=100 3 m,在△MNA 中,MN=MA· sin 60°=150 m.即山高 MN 为 150 m. 答案:150 4. (2015· 湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正 西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰 角为 30°,则此山的高度 CD=________m. 解析:由题意,在△ABC 中,∠BAC=30°, ∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又 AB=600 m,故由正弦定理得 BC 600 = ,解得 BC=300 2 m. sin 45° sin 30° 3 =100 3 6(m).

在 Rt△BCD 中,CD=BC· tan 30°=300 2× 答案:100 6

5.(2013· 江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索 道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速 步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从

B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1 260 m, 经测量,
cos A= 12 3 ,cos C= . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内?

第 3 页 共 8 页

12 3 解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 所以 sin A= 5 4 ,sin C= . 13 5

从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C = 5 3 12 4 63 × + × = . 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理 = , sin C sin B AC 1 260 4 得 AB= ×sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× 因为 0≤t≤ 12 =200(37t2-70t+50), 13

1 040 35 ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 130 37

BC AC (3)由正弦定理 = , sin A sin B AC 1 260 5 得 BC= ×sin A= × =500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min, 由题意得-3≤ 500 710 1 250 625 - ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14 1 250 , 43

所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在 625 (单位:m/min)范围内. 14

二、专练经典模拟
1.(2016· 宜宾模拟)一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方 向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南 偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2 海里 B.10 3 海里 )

第 4 页 共 8 页

C.20 3 海里

D.20 2 海里

解析:选 A 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里, BC AB ∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 2.(2015· 大连联考)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的 水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h, AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60°,即 h2+50h -5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3.(2016· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 其中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( π? A.? ?0,2? π π? C.? ? 6 ,3 ? 解析:选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2, 即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 则 cos A= >0, 2bc π ∵0<A<π,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3 π π? 因此得角 A 的取值范围是? ? 3 ,2? . 4. (2015· 宁夏吴忠联考)如图, 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发,沿北偏东 60°方向进行海面巡逻,当航行半小时到达 B 处时,发现北偏西 45°方向有一艘船 C,若船 C 位于 A 的北偏东 30°方 向上,则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是( A.5( 6+ 2)km C.10( 6- 2)km 解析:选 C ) B.5( 6- 2)km D.10( 6+ 2)km π π? B.? ? 4 ,2 ? π π? D.? ? 3 ,2 ? )

由题意,知∠BAC=60°-30°=30°,∠ABC=30°+45°=75°,

第 5 页 共 8 页

1 ∠ACB=180°-75°-30°=75°,∴AC=AB=40× = 20(km).由余弦定理,得 BC2 2 =AC2+AB2-2AC· AB· cos∠BAC=202+202-2×20×20×cos 30°=800-400 3=400(2 - 3), ∴BC= 400?2- 3?= 200? 3-1?2=10 2( 3-1)=10( 6- 2)km.故选 C. 5.(2016· 德州检测)某货轮在 A 处看灯塔 S 在北偏东 30°方向,它向正北方向航行 24 海里到达 B 处, 看灯塔 S 在北偏东 75°方向. 则此时货轮到灯塔 S 的距离为________海里. 解析:根据题意知,在△ABS 中,AB=24,∠BAS=30°,∠ASB=45°,由正弦定 BS 24 12 理,得 = ,∴BS= =12 2,故货轮到灯塔 S 的距离为 12 2海里. sin 30° sin 45° 2 2 答案:12 2 6.(2016· 潍坊一中月考)校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为 15°的 看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面 上.若国歌时长为 50 s,升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.

解析:依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC= 180°-45°-105°=30°. 由正弦定理可知 CE AC = , sin∠EAC sin∠CEA

CE ∴AC= · sin∠CEA=20 3 m. sin∠EAC ∴在 Rt△ABC 中,AB=AC· sin∠ACB=20 3× 30 ∵国歌时长为 50 s,∴升旗速度为 =0.6 m/s. 50 答案:0.6 7.(2015· 温州模拟)某高速公路旁边 B 处有一栋楼房,某人在距地面 100 米的 32 楼阳 台 A 处,用望远镜观测路上的车辆,上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15°方向上,且 俯角为 30°的 C 处,10 秒后测得该客车位于楼房北偏西 75°方向上,且俯角为 45°的 D 处.(假设客车匀速行驶) 3 =30 m. 2

第 6 页 共 8 页

(1)如果此高速路段限速 80 千米/时,试问该客车是否超速? (2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向 E 处,问此时客车距离楼房多远? 解:(1)在 Rt△ABC 中,∠BAC=60°,AB=100 米, 则 BC=100 3米. 在 Rt△ABD 中,∠BAD=45°,AB=100 米,则 BD=100 米. 在△BCD 中,∠DBC=75°+15°=90°, 则 DC= BD2+BC2=200 米, CD 所以客车的速度 v= =20 米/秒=72 千米/时,所以该客车没有超速. 10 (2)在 Rt△BCD 中,∠BCD=30°, 又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°, 所以∠CEB=45°. 在△BCE 中,由正弦定理可知 EB BC = , sin 30° sin 45°

所以 EB=

BCsin 30° =50 6米, sin 45°

即此时客车距楼房 50 6米. 8.(2016· 威海模拟)在某海域 A 处正东方向相距 80 海里的 B 处有一艘客轮遇险,在原 地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 40 海里的 C 处的救援船, 救援船立即朝北偏东 θ 角的方向沿直线 CB 前往 B 处救援. (1)若救援船的航行速度为 60 海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置的时间. (2)求 tan θ 的值. 解:(1)由题意画出示意图如图所示, 在△ABC 中,AB=80,AC=40,∠CAB=120°, 故由余弦定理得 BC = 402+802-2×40×80×cos 120° 40 7, 40 7 2 7 故救援船到达客轮遇险位置的时间为 = 小时. 60 3 (2)过 C 点作 CD⊥BA 的延长线于 D, 由题意得 θ=∠BCD, 又由∠ACD=30°, 故 AD=20, BD=100, CD=40× 3 =20 3, 2 =

第 7 页 共 8 页

BD 100 5 3 在 Rt△BDC 中, tan θ=CD= = . 3 20 3

三、专练思维规范
1.已知在东西方向上有 M,N 两座小山,山顶各有一个发射塔 A, B,塔顶 A,B 的海拔高度分别为 AM=100 米和 BN=200 米,一测量 车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30°, 该测 量车向北偏西 60°方向行驶了 100 3米后到达点 Q,在点 Q 处测得发 射塔顶 B 处的仰角为 θ,且∠BQA=θ,经测量 tan θ=2,求两发射塔顶 A,B 之间的距离. 解:在 Rt△AMP 中,∠APM=30°,AM=100,∴PM=100 3,连接 QM,在△PQM 中,∠QPM=60°,又 PQ=100 3, ∴△PQM 为等边三角形, ∴QM=100 3. 在 Rt△AMQ 中,由 AQ2=AM2+QM2,得 AQ=200. 在 Rt△BNQ 中,tan θ=2,BN=200, ∴BQ=100 5,cos θ= 5 . 5

在△BQA 中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ· AQcos θ=(100 5)2, ∴BA=100 5. 即两发射塔顶 A,B 之间的距离是 100 5米. 2.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸 边设置两个观察点 A, B, 且 AB 长为 80 米, 当航模在 C 处时, 测得∠ABC=105°和∠BAC =30°,经过 20 秒后,航模直线航行到 D 处,测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根 据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)

解:在△ABD 中, ∵∠BAD=90°,∠ABD=45°, ∴∠ADB=45°, ∴AD=AB=80, ∴BD=80 2. BC AB 在△ABC 中, = , sin 30° sin 45°

第 8 页 共 8 页

ABsin 30° ∴BC= = sin 45°

80× 2 2

1 2

=40 2.

在△DBC 中,DC2=DB2+BC2-2DB· BCcos 60° 1 =(80 2)2+(40 2)2-2×80 2×40 2× =9 600. 2 40 6 ∴DC=40 6,航模的速度 v= =2 6米/秒. 20 故航模的速度为 2 6米/秒.


相关文档

课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用课案
【三维设计】2013高考数学总复习课时跟踪检测24正弦定理和余弦定理的应用
高考文科数学练习测试题课时跟踪检测二十四 正弦定理和余弦定理的应用
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用(普通高中、重点高中共用)
高考数学总复习课时跟踪检测24正弦定理和余弦定理的应用
2014届高考数学 课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用课件
【三维设计】高考数学总复习 课时跟踪检测24 正弦定理和余弦定理的应用
高考数学大一轮复习课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用文(含解析)
高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用 文 新人教A版
电脑版