2020届高考数学(文)总复习课堂测试:正弦定理和余弦定理(二)

课时跟踪检测(三十) 正弦定理和余弦定理(二)

A 级——保大分专练 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos 2A=sin A,bc=2,则 △ABC 的面积为( )

A.12 C.1

B.14 D.2

解析:选 A 由 cos 2A=sin A,得 1-2sin2A=sin A,解得 sin A=12(负值舍去),由 bc

=2,可得△ABC 的面积 S=12bcsin A=12×2×12=12.

2.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若(2a+c)cos B+bcos C=0,

则角 B 的大小为( )

π

π

A.6

B.3

2π C. 3

5π D. 6

解析:选 C 由已知条件和正弦定理,得(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0.化简,得

2sin Acos B+sin A=0.因为角 A 为三角形的内角,所以 sin A≠0,所以 cos B=-12,所以 B

=23π.

3.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A=2 3 2,a=3,

S△ABC=2 2,则 b 的值为( ) A.6 C.2

B.3 D.2 或 3

解析:选 D 因为 S△ABC=12bcsin A=2 2,所以 bc=6,

又因为 sin A=23 2,A∈??0,π2??,

所以 cos A=13,因为 a=3, 所以由余弦定理得 9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得 b=2 或 b=3.

4.(2018·昆明检测)在△ABC 中,已知 AB= 2,AC= 5,tan∠BAC=-3,则 BC 边 上的高等于( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解析:选 A 法一:因为 tan∠BAC=-3,所以 sin∠BAC= 3 ,cos∠BAC=- 1 .

10

10

由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=5+2-2× 5× 2×??- 110??=9,

所以 BC=3,所以 S△ABC=12AB·ACsin∠BAC=12× 2× 5× 310=32,所以 BC 边上的高 h

=2SB△CABC=2×3 23=1.

法二:在△ABC 中,因为 tan∠BAC=-3<0,所以∠BAC 为钝角,因此 BC 边上的高

小于 2,结合选项可知选 A. 5.(2018·重庆九校联考)已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 asin B

= 3bcos A,当 b+c=4 时,△ABC 面积的最大值为( )

3 A. 3 C. 3

3 B. 2 D.2 3

解析:选 C 由 asin B= 3bcos A,得 sin Asin B= 3sin Bcos A,∴tan A= 3,∵0<A<π,

∴A=π3,故 S△ABC=12bcsin A= 43bc≤ 43??b+2 c??2= 3(当且仅当 b=c=2 时取等号),故选

C. 6.(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

bc=1,b+2ccos A=0,则当角 B 取得最大值时,△ABC 的周长为( )

A.2+ 3

B.2+ 2

C.3

D.3+ 2

解析:选 A 由 b+2ccos A=0,得 b+2c·b2+2cb2c-a2=0,整理得 2b2=a2-c2.由余弦定

理,得 cos B=a2+2ca2c-b2=a2+4a3cc2≥2 4a3cac= 23,当且仅当 a= 3c 时等号成立,此时角 B

取得最大值,将 a= 3c 代入 2b2=a2-c2 可得 b=c.又因为 bc=1,所以 b=c=1,a= 3,

故△ABC 的周长为 2+ 3. 7.在△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 解析:由余弦定理知 72=52+BC2-2×5×BC×cos 120°, 即 49=25+BC2+5BC,解得 BC=3(负值舍去).



S△ABC=12AB·BCsin

B=12×5×3×

23=154

3 .

答案:154 3

8.(2019·长春质量检测)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 12bcos A=sin B,且 a=2 3,b+c=6,则△ABC 的面积为________.
解析:由题意可知co2s A=sinb B=sina A,因为 a=2 3,所以 tan A= 3,因为 0<A<π, 所以 A=π3,由余弦定理得 12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又因为 b+c=6,所以 bc=8, 从而△ABC 的面积为12bcsin A=12×8×sinπ3=2 3.
答案:2 3 9.已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠BAC=π2,点 D 在边 BC 上,AD=1,且 BD=2DC,∠BAD=2∠DAC,则ssiinn CB=________. 解析:由∠BAC=π2及∠BAD=2∠DAC,可得∠BAD=π3,∠DAC=π6.由 BD=2DC, 令 DC=x,则 BD=2x.因为 AD=1,在△ADC 中,由正弦定理得sin1 C= xπ,所以 sin C=
sin6

π

3

21x,在△ABD

中,sin

B=si2nx3= 4x3,所以ssiinn

BC=

4x 1



3 2.

2x

答案:

3 2

10.(2018·河南新乡二模)如图所示,在△ABC 中,C=π3,BC=4,点 D

在边 AC 上,AD=DB,DE⊥AB,E 为垂足,若 DE=2 2,则 cos A=________.

解析:∵AD=DB,∴∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A.设 AD=DB=x,

∴在△BCD

中,sin∠BCBDC=sDinBC,可得sin42A=sinx

π.① 3

在△AED 中,sDinEA=sin∠ADAED,可得s2in 2A=x1.②

22

联立①②可得2sin

4 Acos

A=sin3A,解得

cos

A=

6 4.

2

答案:

6 4

11.(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c(1

+cos B)=b(2-cos C).

(1)求证:2b=a+c;

(2)若 B=π3,△ABC 的面积为 4 3,求 b. 解:(1)证明:∵c(1+cos B)=b(2-cos C), ∴由正弦定理可得 sin C+sin Ccos B=2sin B-sin Bcos C, 即 sin Ccos B+sin Bcos C+sin C=sin(B+C)+sin C=2sin B,∴sin A+sin C=2sin B, ∴a+c=2b.

(2)∵B=π3,∴△ABC 的面积 S=12acsin B= 43ac=4 3,∴ac=16. 由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac. ∵a+c=2b,∴b2=4b2-3×16,解得 b=4.

12.在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4. (1)求 AB 的长;

(2)求 cos??A-π6??的值.

解:(1)因为 cos B=45,0<B<π,所以 sin B=35.

由正弦定理得siAnCB=siAnBC,所以

AB=ACsi·nsiBn

C=6×3

2 2 =5

2.

5

(2)在△ABC 中,因为 A+B+C=π,所以 A=π-(B+C),

又因为 cos B=45,sin B=35,

所以 cos

A=-cos(B+C)=-cos??B+π4??=-cos

Bcosπ4+sin

Bsinπ4=-45×

22+35×

2 2

=-

2 10 .

因为 0<A<π,所以 sin A= 1-cos2A=7102.

因此,cos??A-π6??=cos Acosπ6+sin Asinπ6=-102× 23+7102×12=7

2- 20

6 .

B 级——创高分自选

1.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 B=2A,则 a2b的 取值范围是( )

A.( 2,2)

B.(2, 6)

C.( 2, 3)

D.( 6,4)

解析:选 B ∵B=2A,∴sin B=sin 2A=2sin Acos A,∴ba=2cos A.又 C=π-3A,

C 为锐角,∴0<π-3A<π2?π6<A<π3,又 B=2A,B 为锐角,∴0<2A<π2?0<A<π4,∴π6<A<π4,

22<cos A< 23,∴

b 2<a<

3,∴2<

2b a<

6.

2.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A=2a,

则角 A 的取值范围是________.

解析:由已知及正弦定理得 sin2Asin B+sin Bcos2A=2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)=

2sin A,∴sin B=2sin A,∴b=2a,由余弦定理得 cos A=b2+2cb2c-a2=4a2+4acc2-a2=3a42+acc2

≥2 4a3cac= 23,当且仅当 c= 3a 时取等号.∵A 为三角形的内角,且 y=cos x 在(0,π)上

是减函数,∴0<A≤π6,则角 A 的取值范围是??0,π6??.

答案:??0,π6 ??
3.(2018·昆明质检)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AB=2,

BD= 5,∠BCD=2∠ABD,△ABD 的面积为 2. (1)求 AD 的长; (2)求△CBD 的面积.

解:(1)由已知 S△ABD=12AB·BD·sin∠ABD=12×2× 5×sin∠ABD=2,可得 sin∠ABD

=2 5 5,又∠BCD=2∠ABD,所以∠ABD∈??0,π2??,所以

cos∠ABD=

5 5.

在△ABD 中,由余弦定理 AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD,可得 AD2=5,所以

AD= 5.

(2)由 AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=π2,

所以

sin∠CBD=cos∠ABD=

5 5.

又∠BCD=2∠ABD,

所以 sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=45,

∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π-??π2-∠ABD??-2∠ABD=π2-∠ABD=∠CBD,
所以△CBD 为等腰三角形,即 CB=CD.

在△CBD 中,由正弦定理sin∠BDBCD=sin∠CDCBD,

得 CD=BDsi·ns∠in∠BCCDBD=

5× 4

5 5 =54,

5

所以 S△CBD=12CB·CD·sin∠BCD=12×54×54×45=58.


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