高中数学人教A版选修2-2课件:1-5-1-1-5-2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程_图文

1.5 定积分的概念 -1- 1.5.1 1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 -2- 首页 课前预习案 课堂探究案 学 习 目 标 思 维 脉 络 分割 1.了解什么是连续函数. 曲边梯形的面积 近似代替 2.了解定积分的实际背景. 步骤 3.掌握求曲边梯形面积和汽车行 汽车行驶的路程 求和 驶路程的方法及其步骤. 取极限 首页 课前预习案 课堂探究案 1.连续函数 如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么 就把它称为区间I上的连续函数. 做一做1 下列函数中不是连续函数的为( ) A.y=x2 B.y=sin x C.y=lg(x-1) D.y=x0 1, > 0, 解析:因为y=x = 1, < 0, 所以函数y=x0的图象不是连续不断的曲 线,不是连续函数. 答案:D 0 首页 课前预习案 课堂探究案 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形 称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些 小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代 替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值; ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,所有小曲边梯形的面 积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 首页 课前预习案 课堂探究案 首页 课前预习案 课堂探究案 做一做2 在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的 图形面积时,若将区间[-1,1]进行n等分,则每个小区间的长度 为 . 解析: 每个小区间长度为 答案: 2 1-(-1) = . 2 首页 课前预习案 课堂探究案 3.求变速直线运动的路程 如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么它在时间t所在的 区间[a,b]内的路程(或位移)也可以运用(1)分割;(2)近似代替;(3)求 和;(4)取极限的方法求得. 首页 课前预习案 课堂探究案 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)曲边梯形中,其每一条边都不是直线段. ( × ) (2)在求曲边梯形面积的第一步“分割”中,必须对给定区间进行等 分. ( × ) (3)在求曲边梯形面积第二步“近似代替”中,可以用该小区间内任 意一点的函数值代替近似值. ( √ ) (4)求曲边梯形面积的方法不适合于求直边图形的面积. ( × ) (5)用“分割、近似代替、求和、取极限”方法求得的曲边梯形的 面积不是近似值,而是真实值. ( √ ) 首页 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 课前预习案 课堂探究案 求曲边梯形的面积 【例1】 求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=2x-x2围成的图形面积. 分析:先画出图形,确定曲边梯形的形状,然后按照“分割—近似代 替—求和—取极限”的步骤进行求解. 解: (1)分割. 在区间[0,2]上等间隔地插入 n-1 个点, 将区间[0,2]等分成 n 个小区间: 0, 记第 i 个区间为 其长度为 2 , 2 4 , ,…, 2(-1) ,2 . 分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,从而得到 n 个小曲边梯形, 它们的面积分别记作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,显然,小曲边梯形的面积和 Sn= ∑ ΔSi. =1 2(-1) 2 , (i=1,2,…,n), 2 2(-1) 2 Δx= ? = . 首页 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 课前预习案 课堂探究案 (2)近似代替. 因为 y=2x-x2,当 n 很大,即 Δx 很小时,在区间 2(i-1) 2i , n n (i=1,2,…,n) 2 上,可以认为函数 y=2x-x2 的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨 2(i-1) 2(i-1) 2(i-1) 认为它近似地等于左端点 处的函数值 2 ? ,这样, n n n 2(i-1) 2i 在区间 , 上,用小矩形的面积 ΔSi'近似地代替 ΔSi,即在局部小 n n 范围内“以直代曲”,则有 ΔSi=ΔSi'= 2 2(i-1) n - 2(i-1) n 2 ·Δx= 2 2(i-1) n - 2(i-1) n 2 2 ·. n 首页 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 课前预习案 课堂探究案 (3)求和. 小曲边梯形的面积和 Sn= ∑ ΔSi= ∑ 2 i=1 =1 n 2(-1) - 2(-1) 2 · 2 -1 -1 2 8 = ∑ 4· · 1·= 3 ∑ [n(i-1)-(i-1)2] =1 =1 8 8 = 2[0+1+2+…+(n-1)]- 3[02+12+22+…+(n-1)2] 8 (-1) 8 (-1)(2-1) 4(-1) 4(-1)(2-1) = 2· ? 3· = ? . 2 6 32 (4)取极限. 当分割无限变细,即 Δx 趋向于 0 时,n 趋向于∞,从而有 4(-1) 4(-1)(2-1) S= lim Sn= lim 32 →∞ →∞ = 4 . 3 2 所以由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y=2x-x 4 围成的图形面积为 . 3 首页 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 课前预习案 课堂探究案 变式训练1 求由直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x2围成的图形面 积. 解: (1)分割. 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1

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