2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积模拟演练文

2018 版高考数学一轮总复习 第 7 章 立体几何 7.2 空间几何体的表 面积和体积模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间:40 分钟)

1. [2016·全国卷Ⅰ]如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 28π 垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( 3 A.17π B.18π C.20π D.28π 答案 A )

解析 1 7 4 3 由三视图知该几何体为球去掉了 所剩的几何体(如图),设球的半径为 R,则 × π R = 8 8 3 28π 7 3 2 2 ,故 R=2,从而它的表面积 S= ×4π R + ×π R =17π .故选 A. 3 8 4

1

2.[2017·江西南昌联考]已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体 积是( )
3 3

A.108 cm B.100 cm C.92 cm D.84 cm 答案 B
3 3

解析 由三视图可知原几何体是一个长、 宽、 高分别为 6,3,6 的长方体切去一个三棱锥, 1 1 3 因此该几何体的体积=6×3×6- ×4× ×4×3=108-8=100(cm ),故选 B. 3 2 3. 某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆), 则该几何体的表面积为( )

A.92+14π

B.82+14π
2

C.92+24π 答案 A

D.82+24π

解析 由三视图可知,此几何体上半部分是半个圆柱,圆柱的底面半径为 2,高为 5,下 半部分是一个长方体,长、宽、高分别为 5、4、4,故此几何体的表面积为 4×4×2+4×5×3 + 4π ×5 +4π =92+14π ,故选 A. 2 4.[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

A.2+ 5 C.2+2 5 答案 C

B.4+ 5 D.5

解析

由三视图还原几何体如图.故 S

表面积

1 1 =S△BCD+2S△ACD+S△ABC= ×2×2+2× × 5 2 2

3

1 ×1+ ×2× 5=2+ 5+ 5=2+2 5. 2 5.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为 16π 2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为 ,则此三棱柱的侧面积为( 3 A. 3 C.8 答案 D B. 3 2 )

D.6

解析 如图,根据球的表面积可得球的半径为 r=

4 ,设三棱柱的底面边长为 x,则 3

? ? ?

4?2 2 ? 3 ?2 ? =x +? x? ,解得 x=1,故该三棱柱的侧面积为 3×1×2=6. 3? ?3 ? 6. [2016·天津高考]已知一个四棱锥的底面是平行四边形, 该四棱锥的三视图如图所示
3

(单位:m),则该四棱锥的体积为________m .

4

答案 2 解析 四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其底面积为 2×1=2 (m ),四棱锥的 1 3 高为 3 m,所以四棱锥的体积 V= ×2×3=2 (m ). 3
2

7. [2017·江苏模拟]某几何体的三视图如图所示, 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是________. 答案 2(π + 3) 解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积即俯视图的面积为 2 3;侧 面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为 2,底面半径为 1,所以侧面积为 2π . 两部分加起来即为几何体的表面积,为 2(π + 3). 8.[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 ________cm ,体积是________cm .
2 3

5

答案 72 32

解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的 长方体组合而成, 其中 AB=BC=2 cm, BD=4 cm, ∴该几何体的体积 V=2×2×4×2=32 (cm ), 表面积 S=(2×2×3+2×4×3)×2=36×2=72 (cm ). 9. [2016·南宁二模]一个空间几何体的三视图如图所示, 求该几何体的外接球的表面积.
2 3

6



依题意,题中的几何体是三棱锥 A-BCD,如图所示.

其中底面△BCD 是等腰直角三角形,BC=CD= 2,AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,AB= 2,BD =2,AC⊥CD. 取 AD 的中点 M,连接 BM,CM, 1 1 则有 BM=CM= AD= 2 2 2 +? 2? = 6 , 2
2 2

6 , 2

该几何体的外接球的半径是

该几何体的外接球的表面积为 4π ×?

? 6? 2 ? =6π . ?2?

10.如图,△ABC 中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面 ABC,且 AE∥FC∥BD,BD=3,

FC=4,AE=5.求此几何体的体积.

7



解法一:如图,取 CM=AN=BD,连接 DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成

一个直三棱柱和一个四棱锥. 所以 V 几何体=V 三棱柱+V 四棱锥. 1 由题知三棱柱 ABC-NDM 的体积为 V1= ×8×6×3=72. 2 四棱锥 D-MNEF 的体积为: 1 3 1 1 3 2

V2= ×S 梯形 MNEF×DN= × ×(1+2)×6×8=24,

则几何体的体积为:V=V1+V2=72+24=96. 解法二:用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使 AA′=BB′=CC′=8,所以 V
8

几何体

1 1 1 = V 三棱柱= ×S△ABC×AA′= ×24×8=96. 2 2 2 [B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.[2016·全国卷Ⅲ]如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体

的三视图,则该多面体的表面积为(

)

A.18+36 5 C.90 答案 B

B.54+18 5 D.81

解析 由三视图可知,该几何体的底面是边长为 3 的正方形,高为 6,侧棱长为 3 5的 平行六面体,则该几何体的表面积 S=2×3 +2×3×3 5+2×3×6=54+18 5,故选 B. 12.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
2

9

A.

3 3

2 3 B. 3

4 3 C. 3

5 3 D. 3

答案 C

解析 如图所示, 由题意知该几何体为四棱锥 P-ABCD, 底面面积 S=2×2=4, 高 h= 3 , 1 1 4 3 故体积 VP-ABCD= Sh= ×4× 3= . 3 3 3 13.一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是 全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为________.

答案 9π

10

解析 该三棱锥的直观图如图所示,其中底面 ABC 为以 C 为直角顶点的等腰直角三角形,侧面

PAB⊥底面 ABC, 顶点 P 在底面上的射影为 AB 的中点 O′.该三棱锥的外接球的球心一定在 PO′
上,且满足 OP=OA=r.在 Rt△OO′A 中,O′A= 1 2 2 +2 = 2,OO′=2-r,所以 r =2+(2-r) ,
2 2 2 2

3 ?3?2 解得 r= ,所以其外接球的表面积为 4π ×? ? =9π . 2 ?2?

14. [2016·江苏高考]现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥

P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高 O1O 是
正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大? 解 (1)由 PO1=2 知,O1O=4PO1=8. 因为 A1B1=AB=6, 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积
2 3 V 锥= ·A1B2 1·PO1= ×6 ×2=24(m ).

1 3

1 3

11

正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积

V 柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312(m ).
3

(2)设 A1B1=a m,PO1=h m, 则 0<h<6,O1O=4h. 如图,连接 O1B1. 因为在 Rt△PO1B1 中,O1B1+PO1=PB1, 所以?
2 2 2 2

? 2 ?2 2 a? +h =36, ?2 ?
2

即 a =2(36-h ). 于是仓库的容积 1 3 13 3 26 3 26 3

V=V 柱+V 锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3),0<h<6,从而 V′= (36-3h2)=
26(12-h ). 令 V′=0,得 h=2 3或 h=-2 3(舍). 当 0<h<2 3时,V′>0,V 是单调递增函数; 当 2 3<h<6 时,V′<0,V 是单调递减函数. 故 h=2 3时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当 PO1=2 3 m 时,仓库的容积最大.
2

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