陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 类比推理典例导航课件 北师大版选修1-2_图文

1 已知在 Rt△ABC 中, AB⊥AC, AD⊥BC 于 D, 有 2 AD 1 1 =AB2+AC2成立.那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论, 你能得到怎样的猜想,试说明理由.

[解题过程] 猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想 四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD. 1 1 1 1 则AE2=AB2+AC2+AD2. 如右图,连接 BE,并延长交 CD 与 F,连接 AF.

∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF. 1 1 1 ∴AE2=AB2+AF2 ∵在 Rt△ACD 中,AF⊥CD. 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2. AF AC AD 1 1 1 1 ∴AE2=AB2+AC2+AD2,故猜想正确.

1.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=

1,试在立体几何中,给出四面体性质的猜想.
解析: 如下图,在 Rt△ABC 中,
2 2 ?b? ?a? a + b cos2A+cos2B=?c ?2+?c ?2= c2 =1. ? ? ? ?

于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜 想:三棱锥P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′、PB′C′、 PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α,β, γ,则cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1.

一个等差数列{an},其中a10=0,则有a1+a2
+…+an=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19,n∈N+).一个

等比数列{bn},其中b15=1,类比等差数列{an},{bn}有
何结论?

[解题过程]

∵在等差数列{an}中,a10=0,

∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,
即a19-n+an+1=0,

a18-n+an+2=0,
a17-n+an+3=0,

……

∴a1+a2+…+an

=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n.
∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1, 即b29-nbn+1=b28-nbn+2=…=b14b16=1. ∴有b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).

2.已知命题:“若数列{an}是等比数列,且 an>0,则数 列 bn= a1a2?an(n∈N*)也是等比数列”类比这一性质,你 能得到关于等差数列的一个什么性质?
解析: 若 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 则 数 列 bn =

n

a1+a2+…+an 是等差数列. n

通过计算可得下列等式: 23-13=3×12+3×1+1; 33-23=3×22+3×2+1; 43-33=3×32+3×3+1; ? (n+1)3-n3=3×n2+3×n+1. 将以上各等式两边分别相加,得 (n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+ n)+ n,

1 即 1 +2 +3 +?+n = n(n+1)(2n+1). 6
2 2 2 2

类比上述求法,请你求出 13+23+33+?+n3 的值.

由题目可获取以下主要信息: ①给出了求前n个正整数平方和的方法; ②类比此法写出求前n个正整数的立方和. 解答本题可类比所给求 12 + 22 + 32 + … + n3 的和 的解法,将n个等式分别相加即可求得.

[解题过程]

∵24-14=4×13+6×12+4×1+1,

34-24=4×23+6×22+4×2+1, 44-34=4×33+6×32+4×3+1, ?

(n+1)4-n4=4×n3+6×n2+4×n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)4-14

=4×(13+23+…+n3)+6×(12+22+…+n2)+
4×(1+2+…+n)+n

∴13+23+?+n3
? n?n+1? 1? 1 ? ? 4 4 = ??n+1? -1 -6× n?n+1?· ? 2 n + 1 ? - 4 × - n ? 4? 6 2 ?

1 2 = n (n+1)2. 4

1 3.设 f(x)= x , 类比课本中推导等差数列前 n 项和公 2+ 2 式的方法,求 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值. 1 解析: ∵f(x)= x , 2+ 2
1 1 ∴f(x)+f(1-x)= x + 2 + 2 21-x+ 2 2+2x 1 2x 1 2 = x + = = = . 2 + 2 2+ 2· 2x 2?2x+ 2? 2 2 令 S=f(-5)+f(-4)+?+f(5)+f(6) 则 S=f(6)+f(5)+?+f(-4)+f(-5)

∴2S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+?+[f(5)+ f(-4)]+[f(6)+f(-5)] 2 =12× =6 2. 2 ∴S=3 2.


相关文档

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 数学证明典例导航课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理典例导航课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 综合法典例导航课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 分析法典例导航课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 类比推理名师点拨课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 类比推理学案 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 反证法典例导航课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 类比推理课件 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 类比推理五角度拓展资料素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 高考中的类比推理拓展资料素材 北师大版选修1-2
电脑版