【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-7

第7讲

双曲线

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.(2015· 西安调研)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3, 则双曲线的渐近线方程为 1 A.y=± 2x C.y=± 2x 解析 2 B.y=± 2 x D.y=± 2x ( )

因为 2b=2,所以 b=1,因为 2c=2 3,所以 c= 3,所以 a= c2-b2

b 2 = 2,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x = ± a 2 x,故选 B. 答案 B

x2 y2 2.(2014· 大纲全国卷)双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐 近线的距离为 3,则 C 的焦距等于 A.2 C.4 解析 B.2 2 D.4 2 c 1 3 由已知,得 e=a=2,所以 a=2c,故 b= c2-a2= 2 c,从而双曲线的 ( )

b 3c 渐近线方程为 y=± ax=± 3x,由焦点到渐近线的距离为 3,得 2 = 3,解 得 c=2,故 2c=4,故选 C. 答案 C
2

y2 3.设 F1,F2 是双曲线 x -24=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|= 4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于 ( )

A.4 2 C.24 解析

B.8 3 D.48

?|PF1|-|PF2|=2, ?|PF1|=8, 由? 可解得? ?3|PF1|=4|PF2|, ?|PF2|=6.

又由|F1F2|=10 可得△PF1F2 是直角三角形,

答案

C

x2 y2 x2 4. (2014· 山东卷)已知 a>b>0, 椭圆 C1 的方程为a2+b2=1, 双曲线 C2 的方程为a2- y2 3 2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 b 2 ,则 C2 的渐近线方程为 A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 解析 椭圆 C1 的离心率为 B. 2x± y=0 D.2x± y=0 a2-b2 a2+b2 ,双曲线 C 的离心率为 ,所以 2 a a ( )

a2-b2 a2+b2 3 4 4 3 4 · = ,所以 a - b =4a ,即 a4=4b4,所以 a= 2b,所以双 a a 2 1 曲线 C2 的渐近线方程是 y=± x,即 x± 2y=0. 2 答案 A

x2 y2 5.(2014· 重庆卷)设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲 9 线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|=4ab,则该双曲线的离心率 为 4 A.3 9 C.4 解析 5 B.3 D.3 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a, ( )

又 |PF1| + |PF2| = 3b , 所 以 (|PF1| + |PF2|)2 - (|PF1| - |PF2|)2 = 9b2 - 4a2 , 即 4|PF1|· |PF2|=9b2-4a2,

?b? 9b ?3b ??3b ? 又 4|PF1|· |PF2|=9ab, 因此 9b2-4a2=9ab, 即 9?a?2- a -4=0, 则? a +1?? a -4? ? ? ? ?? ? =0, 1 b 4?b ? 解得a=3?a=-3舍去?,则双曲线的离心率 e= ? ? 答案 B ?b? 5 1+?a?2=3. ? ?

二、填空题 y2 2 6.(2014· 北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 4 -x =1 具有相同渐近线,则 C 的方程为________;渐近线方程为________. 解析 y2 2 设 C 的方程为 4 -x =λ(λ≠0),把点(2,2)代入上式得 λ=-3,所以 C 的

x2 y2 方程为 3 -12=1,其渐近线方程为 y=± 2x. 答案 x2 y2 3 -12=1 y=± 2x

x2 y2 y2 x2 7.已知双曲线m-3m=1 的一个焦点是(0,2),椭圆 n - m=1 的焦距等于 4,则 n =________. 解析 - y2 因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在 y 轴上,所以双曲线的方程为 -3m

x2 =1,即 a2=-3m,b2=-m,所以 c2=-3m-m=-4m=4,解得 m= -m

y2 2 -1.所以椭圆方程为 n +x =1,且 n>0,椭圆的焦距为 4,所以 c2=n-1=4 或 1-n=4,解得 n=5 或-3(舍去). 答案 5

x2 y2 8.已知 F 为双曲线 C: 9 -16=1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于 虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 解析 x2 y2 由 9 -16=1,得 a=3,b=4,c=5.

∴|PQ|=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上,∴P,Q 在双曲线的右支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,

?|PF|-|PA|=2a=6, 由双曲线定义知? ∴|PF|+|QF|=28. ?|QF|-|QA|=2a=6, ∴△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 答案 44

三、解答题 x2 y2 9.已知椭圆 D:50+25=1 与圆 M:x2+(y-5)2=9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同 焦点,它的两条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 解 椭圆 D 的两个焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),

因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5. x2 y2 设双曲线 G 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0), ∴渐近线方程为 bx± ay=0 且 a2+b2=25, 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3. ∴ |5a| =3,得 a=3,b=4, b2+a2

x2 y2 ∴双曲线 G 的方程为 9 -16=1. y2 x2 10.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x+y=0,且顶点到 2 5 渐近线的距离为 5 . (1)求此双曲线的方程; (2)设 P 为双曲线上一点,A,B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、 → =PB → ,求△AOB 的面积. 二象限,若AP a ? ?b=2, (1)依题意得? |2×0+a| 2 5 ? ? 5 =5 , ?a=2, 解得? ?b=1,



y2 2 故双曲线的方程为 4 -x =1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m>0,

?m-n ? → → n>0,由AP=PB得点 P 的坐标为? ,m+n?. ? 2 ? y2 2 将点 P 的坐标代入 4 -x =1,整理得 mn=1. ?π ? 设∠AOB=2θ,∵tan?2-θ?=2, ? ? 1 4 则 tan θ=2,从而 sin 2θ=5. 又|OA|= 5m,|OB|= 5n, 1 ∴S△AOB= |OA||OB|sin 2θ=2mn=2. 2 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) x2 y2 11.过双曲线 C:a2-b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则 双曲线 C 的方程为 x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 解析 x2 y2 B. 7 - 9 =1 x2 y2 D.12- 4 =1 ( )

b 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为 y=ax,

因此可设点 A 的坐标为(a,b). 设右焦点为 F(c,0),由已知可知 c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有 c (c-a)2+b2=c2,又 c2=a2+b2,则 c=2a,即 a=2=2,所以 b2=c2-a2=42 x2 y2 -2 =12.故双曲线的方程为 - =1,故选 A. 4 12
2

答案

A

x2 y2 12.(2015· 石家庄模拟)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是 该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2) ( )

C.(1,1+ 2) 解析

D.(2,1+ 2)

b2 b2 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, a ),B(-c,- a ),E(a,0),

2 →· → >0,即EA →· → =(-c-a,b )· 因为△ABE 是锐角三角形,所以EA EB EB a (-c-a,

b2 - a )>0,整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. 答案 B

x2 y2 13.(2014· 惠州模拟)已知 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦 点,过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M, 若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 b b 如图所示,过点 F2(c,0)且与渐近线 y=ax 平行的直线为 y=a(x-c),与

b 另一条渐近线 y=-ax,

b y = ? ? a?x-c?, 联立得? b ? ?y=-ax, ∴|OM|=

c x = ? ? 2, 解得? bc ? ?y=-2a, ?b? 1+?a?2. ? ?

bc ? ?c 即点 M?2,-2a?. ? ?

?c ?2 ? bc?2 c ?2? +?-2a? = ? ? ? ? 2

∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,∴|OM|>c, c 即2 ?b? 1+?a?2>c,得 ? ? ?b ? 1+?a2?>2. ? ?

c ∴双曲线率心率 e=a=

?b? 1+?a?2>2. ? ?

故双曲线离心率的取值范围是(2,+∞). 答案 (2,+∞)

x2 y2 y2 x2 14.如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:a2-b2=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2:a2+b2= 1 1 2 2 ?2 3 ? 1(a2>b2>0)均过点 P? ,1?,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的 ? 3 ? 四边形是面积为 2 的正方形.

(1)求 C1,C2 的方程; → (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且|OA → |=|AB → |?证明你的结论. +OB 解 (1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而 a1=1,c2=1.因为

y2 ?2 3 ? ?2 3?2 1 2 ? ? - 2=1.故 b2 点 P? 在双曲线 x - 2=1 上,所以? , 1 1=3. b1 ? 3 ? ? 3 ? b1 由椭圆的定义知 2a2= ?2 3?2 ? ? +?1-1?2+ ? 3 ? ?2 3?2 ? ? +?1+1?2=2 3. ? 3 ?

2 2 于是 a2= 3,b2 =a2 2-c2=2,故 C1,C2 的方程分别为

y2 y2 x2 x - 3 =1, 3 + 2 =1.
2

(2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x = 2或 x=- 2. 当 x= 2时,易知 A( 2, 3),B( 2,- 3),所以

→ → → |OA+OB|=2 2,|AB|=2 3. → +OB → |≠|AB → |. 此时,|OA → +OB → |≠|AB → |. 当 x=- 2时,同理可知,|OA ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m. y=kx+m, ? ? 由? 2 y2 x - 3 =1, ? ? 得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程 的两个实根,从而 x1+x2= m2+3 2km , x x = . 3-k2 1 2 k2-3

3k2-3m2 于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 2 . k -3 y=kx+m, ? ? 由?y2 x2 + =1, ? ?3 2 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ=16k2m2-8(2k2+ 3)(m2-3)=0.
2 2 2 2 →· → =x x +y y =m +3+3k -3m =-k -3≠0, 化简, 得 2k2=m2-3, 因此OA OB 1 2 1 2 k2-3 k2-3 k2-3

→ 2+OB → 2+2OA →· → ≠OA → 2+OB → 2-2OA →· →, 于是OA OB OB → +OB → |2≠|OA → -OB → |2,故|OA → +OB → |≠|AB → |. 即|OA 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.


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