2009年福建省宁德市普通高中毕业班质量检查 (理数,五月word版)

福建省宁德市普通高中毕业班质量检查 2009 年福建省宁德市普通高中毕业班质量检查

数学(理科)试卷 理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时,将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳酸笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答案题卡上把所选题目对应的题号 涂黑。 5.保持答题卡卡面的清楚,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式:

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S = 4π r , V = π r ,其中 r 为球的半径。 3
锥体的体积公式: V =

第 I 卷(选择题 共 50 分)
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 是符合题目要求的。 1.已知集合 A = {x | x 2 ? 4 < 0}, B = {x | x( x ? 2) > 0}, 则 A I B = A. {x | ?2 < x < 0} 2. i 为虚数单位,则复数 z = B. {x | 0 < x < 2} C. {x | x < 0} D.R

i 在复平面内对应的点位于 1+ i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在等比数列 {an } 中,若 a1 = 1, a4 = 8 ,则该数列的前 6 项和为 A.56 B.63 C.127 4.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结 果为 0 时,输入的 x 的值为 A.—1 或 1 B.—2 或 0 C.—2 或 1 D.—1 或 0 D.255

x2 y 2 5.若抛物线 y = 2 px 的焦点与双曲线 ? = 1的 6 3 右焦点重合,则 p 的值为
2

A.3

B.6

C. 3

D. 2 3

1

6.设 a 为直线 l 的方向向量, n 为平面 α 的法向量, 则 a ? n = 0 是 l // α 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 7.右图是一个多面体的三视图,则其全面积为 A. 3 C. 3 + 6 B.

3 +6 2 D. 3 + 4 r

8.设函数 f ( x ) = sin(ω x + ? )(ω > 0, 0 < ? < 如图所示,直线 x = 的解析式为 A. f ( x ) = sin( x +

π
2

) 的部分图象

π
6

是它的一条对称轴,则函数 f ( x )

π
3

) )

B. f ( x ) = sin(2 x ? D. f ( x ) = sin(2 x +

π
6

)

) 6 9.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 x > 0 时, f ( x) = 2 x ? x ? 1 ,则函数 f ( x) 的零点个数 3


C. f ( x ) = sin(4 x +

π

π

uuur uuu r 10.已知四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD = 3OA ,点 P 为 ?BCD 内(含边界)的动点, uuu r uuur uuur 设 OP = xOC + yOD ( x, y ∈ R ) ,则 x + y 的最大值等于 4 A.1 B.2 C.3 D. 3

A.1

B.2

C.3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

小题, 把答案填写在答题卡的相应位置。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填写在答题卡的相应位置。 填空题: 11.计算: ∫1 ( x + ) dx = ___________
2

1 x

12.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方 法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上学期使 用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如下: 据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体进行教学次数在

[15, 25) 内的人数为_____________。

3? ? 13. ? x ? ? 的展开式中各项系数和为 64,则展开式的常数项为____________。 x? ? 14.直线 3 x + 4 y ? 12 = 0 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点, O 为原点,在 ?OAB 中随机取一 点 P ( a, b) ,则取出的点满足 a ≥ 4b 的概率为_______________。
2

n

15.已知 f ( x ) = 2 x ? 1, g ( x ) = ?2 x ,数列 {an }( n ∈ N ) 的各项都为整数,其前 n 项和为 Sn ,若 ...... 点 ( a2 n ?1 , a2 n ) 在 函 数 y = f ( x) 或 y = g ( x) 的 图 象 上 , 且 当 n 为 偶 数 时 , an =

?

n ,则 2

S80 =______________。
小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 解答题: 16.(本小题满分 13 分) 袋中装有标号分别为 1、2、3、4、5、6 的卡片各 1 张,从中任取两张卡片,其标号分别记为 x 、 y (其中 x > y )。 (I)求这两张卡片的标号之和为偶数的概率; (Ⅱ)设 ξ = x ? y ,求随机变量 ξ 的概率分布列与数学期望。

17.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PD ⊥ 平面 ABCD ,

PD = AD = 2, ∠BAD = 60o , E 、 F 分别为 BC 、 PA 的中点。 (I)求证: ED ⊥ 平面 PAD ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? DEF 的体积; (Ⅲ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值。

18.(本小题满分 13 分) 如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠 墙的三角形露天活动室,已知已有两面墙的夹角为 60°(即

∠C = 60° ),现有可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面墙的
长均大于 6 米),为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三 角形露天活动室尽可能大,记 ∠ABC = θ ,问当 θ 为多少时,所 建造的三角形露天活动室的面积最大?

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

2 ? 1 ,离心率为 e =

2 。 2

使 MP ? MQ 为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。
3

uuur uuuu r

(I)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P 、 Q 两点,试问:在 x 轴上是否存在一个定点 M ,

20.(本小题满分 14 分) 2 ?x 已知函数 f ( x) = ( ax + bx + c)e 的图象过点 (0, 2a ) ,且在该点处切线的倾斜角为 45° (I)使用 a 表示 b, c ; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [2, +∞) 上为单调递增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a =

1 ?n ? 时,设 an = f ( n) ? f '( n) ? 2ne ,若存在 n ∈ N ,使得 m ≤ an ,试求 2

m 的取值范围。

21.本题有(1)、( )、( )三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如 .本题有( )、( )、(3)三个选答题, )、(2)、( 题作答, 果多做,则按所做的前两题记分。 果多做,则按所做的前两题记分。 (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2;矩阵与变换选做题 直角坐标系 xoy 中,点(2,-2)在矩阵 M = ?

?0 1 ? ? 对应变换作用下得到点(-2,4), ? a 0?

曲线 C : x 2 + y 2 = 1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C ' ,求曲线 C ' 的方程。

(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ = 4 cos(θ ? 直线 l 的距离。

π
6

) ,直线 l : θ =

π
3

( ρ ∈ R) ,求圆心 C 到

(3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲选做题 已知正实数 u , v , w 满足 u + v + w = 8 ,求
2 2 2

u 4 v 4 w4 + + 的最小值。 9 16 25

4

2009 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 选择题:本涂考察基础知识和基本运算, 一、选择题:本涂考察基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分。 1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D 9.C 10.D 填空题:本题考察基础知识和基本运算, 二、填空题:本题考察基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分。 11.

3 + ln 2 2

12.60

13.-540

14.

1 4

15.820

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 解答题: 16.本小题主要考察概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算 能力。满分 13 分。 (I) x 、 y 同奇的取法有 C3 种,同偶的取法有 C3 ··················································· 2 分
2 2

2C32 2 = ············································································································· 5 分 C62 5 5 1 4 4 (Ⅱ) P (ξ = 1) = 2 = , P (ξ = 2) = 2 = , C6 3 C6 15 3 1 2 2 1 1 P (ξ = 3) = 2 = , P (ξ = 4) = 2 = , P (ξ = 5) = 2 = ································ 10 分 C6 5 C6 15 C6 15 ∴P =
其分布列为

ξ
P

1

2

3

4

5

1 4 1 2 1 3 15 5 15 15 5 4 3 2 1 7 ∴ Eξ = × 1 + × 2 + × 3 + × 4 + × 5 = ·················································· 13 分 15 15 15 15 15 3
17.本小题主要考察直线与平面的位置关系,二面角的大小,体积的计算等知识,考察空间 想象能力、逻辑思维能力和运算能力,满分 13 分。 (I)连结 BD,由已知得 BD=2,在正三角形 BCD 中,BE=EC, ∴ DE ⊥ BC ,又 AD // BC ,∴ DE ⊥ AD …………………2 分 又 PD ⊥ 平面 ABCD ,∴ PD ⊥ DE ,……………………3 分 AD I PD = D ,∴ DE ⊥ 平面 PAD。……………………4 分

5

1 1 1 ? S ?PDA = × × 22 = 1 ,且 DE = 3 , ····································· 5 分 2 2 2 1 1 3 ∴VP ? DEF = VE ? PDF = ? S ?PDF ? DE = × 1× 3 = ··············································· 8 分 3 3 3 (Ⅲ)证法一:如图建立空间直角坐标系 D ? AEP , ur 则由(I)知平面 PAD 的一个法向量为 n1 = (0,1, 0)
(Ⅱ)Q S ?PDF =

Q B (1, 3, 0), C (?1, 3, 0), P (0, 0, 2) , uuu r uuu r ∴ CB = (2, 0, 0), PB = (1, 3, ?2) uu r 设平面 PBC 的法向量为 n2 = ( x, y, z ) , uu uuu r r ?x = 0 ?n2 ? CB = 0 ? ? 由 ? uu uuu ,∴ ? r r 3 y n2 ? PB = 0 ? z = ? ? ? 2 uu r 取 y = 2 得 n2 = (0, 2, 3) ····························································································· 11 分 ur uu r ur uu r n1 ? n2 2 2 7 ∴ cos n1 , n2 = ur uu = = ····································································· 12 分 r 7 n1 ? n2 1 ? 7
∴ 平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为
证法二:由(I)知 DE ⊥ 平面 PAD, DE ? 平面 PDE ,

2 7 ······························· 13 分 7

∴ 平面 PAD ⊥ 平面 PDE ····························································································· 9 分 又 BC ⊥ DE , BC ⊥ PD ∴ BC ⊥ 平面 PDE , 又Q BC ? 平面 PBC ∴ 平面 PBC ⊥ 平面 PDE ····························································································· 10 分 ∴∠DPE 就是平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角 ······································ 11 分 3 2 2 7 ∴ 在 Rt?PDE 中, PE = 22 + × 22 = 7 ∴ cos ∠DPE = = ··············· 13 分 4 7 7
18.本小题主要考察两角和差公式,二倍角公式,同角三角函数关系,解斜三角形的基本知 识以及推理能力、运算能力和应用能力,满分 13 分。 解:在 ?ABC 中,

AC AB BC = = ·························································· 2 分 π π sin θ sin sin(θ + ) 3 3 BC = 4 3 ? sin(θ + ) ····································· 4 分 3

化简得: AC = 4 3 ? sin θ 所以 S ?ABC =

π

1 π AC ? BC ? sin 2 3

π 1 3 = 12 3 ? sin θ ? sin(θ + ) = 12 3 sin θ ? ( sin θ + cos θ ) ·································· 6 分 3 2 2

6

1 ? cos 2θ 3 = 6 3(sin 2 θ + 3 sin θ ? cos θ ) = 6 3( + sin 2θ ) ···························· 8 分 2 2 1 π = 6 3 ? [ + sin(2θ ? )] 2 6
即 S ?ABC = 6 3 ? sin(2θ ? 所以当 2θ ?

π

时, ( S ?ABC ) max = 9 3 ·················································· 12 分 6 2 3 ° 答:当 θ = 60 时,所建造的三角形露天活动室的面积最大。 ··································· 13 分

π

=

π

6

) + 3 3 ············································································· 10 分

, 即θ =

π

19.本题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识,考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性 定量的基本方法,考查运算能力、探究能力和综合解题能力,满分 13 分。 解:(I)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 + = 1 由已知得: a2 b2
3分

?a ? c = 2 ? 1 ? ?c 2 ? = 2 ?a

?a = 2 x2 ? 2 2 2 2 分∴ ? ∴ b = a ? c = 1 ∴ 椭圆 E 的方程为 + y 2 = 1 2 ?c = 1 ?

(Ⅱ)法一:假设存在符合条件的点 M (m, 0) ,又设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则:

uuur uuuu r MP = ( x1 ? m, y1 ), MQ = ( x2 ? m, y2 ) uuur uuuu r MP ? MQ = ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) + y1 y2

= x1 x2 ? m( x1 + x2 ) + m 2 + y1 y2 ·································································· 5 分

? x2 2 ? + y =1 ①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y = k ( x ? 1) ,则由 ? 2 ? y = k ( x ? 1) ?
得 x 2 + 2k 2 ( x ? 1) 2 ? 2 = 0 (2k 2 + 1) x 2 ? 4k 2 x + (2k 2 ? 2) = 0

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 ? x2 = 2 ············································································· 7 分 2k 2 + 1 2k + 1 k2 y1 y2 = k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = k 2 [ x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1] = ? 2 2k + 1 2 2 2 uuur uuuu 2k ? 2 r 4k k 所以 MP ? MQ = ? m? 2 + m2 ? 2 2 2k + 1 2k + 1 2k + 1 2 2 2 (2m ? 4m + 1)k + (m ? 2) = ····························································· 9 分 2k 2 + 1 uuur uuuu r 5 对于任意的 k 值, MP ? MQ 为定值,所以 2m 2 ? 4m + 1 = 2( m 2 ? 2) ,得 m = , 4 uuur uuuu r 5 7 所以 M ( , 0), MP ? MQ = ? ; ················································································ 11 分 4 16 x1 + x2 =
7

②当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x = 1, x1 + x2 = 2, x1 x2 = 1, y1 y2 = ? 由m =

r 5 uuur uuuu 7 得 MP ? MQ = ? 4 16

1 2

5 4 法二:假设存在符合条件的点 M (m, 0) ,又设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), 则: uuur uuuu r MP = ( x1 ? m, y1 ), MQ = ( x2 ? m, y2 ) uuur uuuu r MP ? MQ = ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) + y1 y2
2

综上述①②知,符合条件的点 M 存在,起坐标为 ( , 0) 。 ······································· 13 分

= x1 x2 ? m( x1 + x2 ) + m + y1 y2 ···································································· 5 分

? x2 2 ? + y =1 ①当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x = ty + 1 ,由 ? 2 ? x = ty + 1 ? ?2t ?1 2 得 (t + 2) y2 + 2ty ? 1 = 0 ∴ y1 + y2 = 2 , y1 ? y2 = 2 ····································· 7 分 t +2 t +2 ?t 2 ? 2t 2 + t 2 + 2 ?2t 2 + 2 x1 x2 = (ty1 + 1) ? (ty2 + 1) = t2 y1 y2 + t ( y1 + y2 ) + 1 = = 2 t2 + 2 t +2 2 2 ?2t + 2t + 4 4 x1 + x2 = t ( y1 + y2 ) + 2 = = 2 2 t +2 t +2 uuur uuuu ?2t 2 + 2 4m r 1 ∴ MP ? MQ = 2 ? 2 + m2 ? 2 t +2 t +2 t +2 2 2 2 (m ? 2)t + 2m ? 4m + 1 = ··································································· 9 分 t2 + 2 uuur uuuu r (m 2 ? 2)t 2 + 2m 2 ? 4m + 1 设 MP ? MQ = λ 则 =λ t2 + 2 ∴ (m 2 ? 2)t 2 + 2m 2 ? 4m + 1 = λ (t 2 + 2)

∴ (m 2 ? 2 ? λ )t 2 + 2m 2 ? 4m + 1 ? 2λ = 0
5 ? m= ? ?m ? 2 ? λ = 0 5 ? ? 4 ∴? ∴ M ( , 0) ··················································· 11 分 ∴? 2 4 ? 2 m ? 4 m + 1 ? 2λ = 0 ? λ = ? 7 ? ? 16 ? 5 ②当直线 l 的斜率为 0 时,直线 l : y = 0 ,由 M ( , 0) 得: 4 uuur uuuu r 5 5 25 7 MP ? MQ = ( 2 ? ) ? (? 2 ? ) = ?2 = ? 4 4 16 16 5 综上述①②知,符合条件的点 M 存在,其坐标为 ( , 0) ··········································· 13 分 4
2

8

20.本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识,考查化归的数学思想方法以及 推理和运算能力。考查运用数学知识分析和解决问题的能力,满分 14 分。 解:(I) f '( x) = (2ax + b)e ? x ? ( ax 2 + bc + c)e ? x

= ?[ax 2 + (b ? 2a ) x + c ? b]e? x , ·························································· 2 分 ? f '(0) = b ? c = 1 ?c = 2a 由已知得: ? ·································································· 4 分 ? ? f (0) = 2a ?b = 1 + 2a
(Ⅱ)方法一:由(I)得 f '( x) = ?( ax 2 + x ? 1)e ? x

Q f ( x) 在 [2, +∞) 上为单调增函数,则 f '( x) ≥ 0对x ∈ [2, +∞) 恒成立, 1? x 2 即 ax + x ? 1 ≤ 0 对 x ∈ [2, +∞) 恒成立。即 a ≤ 2 对 x ∈ [2, +∞) 恒成立,·········· 7 分 x 1? x 1 1 1 1 2 1 令 ? ( x) = 2 = 2 ? = ( ? ) ? , x x x x 2 4 1 1 Q x ≥ 2,∴ 0 < ≤ , x 2 1 ∴? ( x) mix = ? 4 1 ∴ a ≤ ? ······················································································································· 9 4
方法二:同方法一。

x?2 1? x , ? '( x) = 3 2 x x 当 x > 2 时 ? '( x) > 0 ,Q ? ( x ) 在 x ∈ [2, +∞) 单调递增, 1 1 ∴? ( x) mi x = ? (2) = ? ∴ a ≤ ? ··············································································· 9 分 4 4 ?n ?n (Ⅲ)方法一:Q an = f ( n) ? f '( n) ? 2ne = n( n + 1)e
令 ? ( x) =

∴ an +1 ? an = (n + 1)(n + 2)e ? n ?1 ? n(n + 1)e ? n = (n + 1)e ? n ?1 (n + 2 ? en), ·········································································· 10 分
当 n = 1 时, a2 ? a1 = 2e (3 ? e) > 0 , 当 n ≥ 2 时, an +1 ? an ≤ 3e (4 ? 2e) < 0 , ································································ 12 分
?3 ?2

∴ a1 < a2 > a3 > …
根据题意可知 m ≤ ( an ) max = a2 = 6e ,∴ m ≤ 6e 方法二:同方法一,
?2 ?2

····················································· 14 分

an +1 (n + 1)(n + 2)e ? n ?1 (n + 2) 1 2 = = = (1 + ) ······················································· 10 分 ?n an n(n + 1)e ne e n a 3 当 n = 1 时, 2 = > 1 a1 e a 1 2 2 当 n ≥ 2 时,∴ n +1 = (1 + ) ≤ < 1 ······································································· 12 分 an e n e ∴
9

∴ a1 < a2 > a3 > …
根据题意可知 m ≤ ( an ) max = a2 = 6e ,∴ m ≤ 6e 方法三:设 an 是数列 {an } 中的最大项,则
?2 ?2

····················································· 14 分

?an ≥ an +1 ?n(n + 1)e ≥ (n + 2)(n + 1)e ? ∴? ? ?n ? n +1 ?an ≥ an ?1 ? n(n + 1)e ≥ n(n ? 1)e ?
?n

? n ?1

e +1 ? ?n ≤ e ? 1 ? ∴? ······································ 12 分 ?n ≥ 2 ? e ?1 ?

∴1 < n ≤ 2,∴ a2 为最大项,
所以 m ≤ ( an ) max = a2 = 6e ,∴ m ≤ 6e 以下同上 21.本题考查,本题满分 14 分 (Ⅱ)本题主要考查直线和圆的极坐标方程,考查运算求解能力及化归与转化思想,满分 7 分。 解: ρ = 4 cos(θ ?
?2 ?2

···································································· 14 分

3 1 cos θ + sin θ ) = 2 3 cos θ + 2 sin θ 6 2 2 2 2 ∴ ρ = 2 3ρ cos θ + 2 ρ sin θ ∴ x + y 2 = 2 3 x + 2 y ) = 4(
∴ 圆心的坐标为 ( 3,1) ································································································· 4 分

π

即 ( x ? 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 4 ···························································································· 3 分

l : y = 3 x ,即 3 x ? y = 0 ························································································ 5 分 | 3 ? 1| ∴d = =1 2 ∴ 圆心到直线的距离为 1 ······························································································· 7 分
(Ⅲ)本题主要考查利用常见不等式求条件最值,考查化归与转化思想,满分 7 分 解:Q u + v + w = 8
2 2 2

∴ 82 = (u 2 + v 2 + w2 ) = (

u2 v2 w2 ?3+ ?4 + ? 5) 2 3 4 5

u 4 v 4 w4 ≤ ( + + )(9 + 16 + 25) 9 16 25 u 4 v 4 w4 64 32 ∴ + + ≥ = ·························································································· 5 分 9 16 25 50 25 u2 v2 w2 6 8 当且仅当 :3 = :4 = : 5 即 u = , v = , w = 2 时取到“=”号, 3 4 5 5 5 4 4 4 6 8 u v w 32 ∴当 u = , v = , w = 2 时 + + 的最小值为 ·········································· 7 分 5 5 9 16 25 25

························································ 3 分

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