2013山东高考文科数学22题解析---爱人同志


爱人同志---2013 山东高考数学文科 22 题解析
2013 山东高考数学文科 22 题(2) 。A,B 为椭圆 C:

x2 6 的任意两点,E 为线段 AB ? y 2 ? 1 上满足 ?AOB 的面积为 4 2

的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值 解析: 法一: (韦达定理法,通法)见标准答案,运算量太大。 法二: (方程法,通法)思维难度较大,全省甚至全国可能只有我们研究到此程度!

??? ?

??? ?

设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), E ( x0 , y0 ),P (tx0 , ty0 ); 其中t ? 0, x0 ?
S ?A O B?
?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2

1 6 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 4

2 t 2 x0 t 2 x2 x2 2 2 ? t 2 y0 ? 1 ? ( 1 ? y12 ? 2 ? y2 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 ? t2 ? 2 4 2 2

4 2 ? x1 x2 ? 2 y1 y2

2 2 2 下面关键是解决( x1 x2 ? 2 y1 y2) ? x12 x2 ? 4 y12 y2 ? 4 x1 x2 y1 y2 ? ?

? x12 2 (1) ? ? y1 ? 1 2 2 2 ? x12 x2 x12 y2 ? x2 y12 2 2 ? 22 ? y1 y2 ? ?1 ?(1) ? (2) ? ? x2 ? 2 4 2 ? y2 ? 1 (2) ......? ? ?2 ?(3) 2 ? x 2 y 2 ? x 2 y 2 ? 2 x x y y ? 3 1 2 2 1 1 2 1 2 ? ? 2 ? 6 (3) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? x2 x2 3 2 2 2 ? 1 2 ? y12 y2 ? x1 x2 y1 y2 ? ? 1 ? x12 x2 ? 4 y12 y2 ? 4 x1 x2 y1 y2 ? 1 4 4 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ? ?1 ? t ? 2或 2 3 3

法三: (方程法+三角代换法)我们知道,三角代换不是通法,只能解决部分解析几何问题。

设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), E ( x0 , y 0 ),P(tx0 , ty0 ); 其中t ? 0, x0 ? x1 ? x 2 y ? y2 , y0 ? 1 ,x1 ? 2 cos? , y1 ? sin ? , x 2 ? 2 cos ? , y 2 ? sin ? 2 2

S ?AOB ?

1 6 6 3 x1 y2 ? x2 y1 ? ? 2 cos ? sin ? ? cos ? sin ? ? ? sin(? ? ? ) ? 2 4 2 2

?

2 t 2 x0 t 2 x2 x2 t2 2 2 ? t 2 y0 ? 1 ? ( 1 ? y12 ? 2 ? y2 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 ? (2 ? 2 cos ? cos ? ? 2 sin ? sin ? ) ? 1 2 4 2 2 4 t2 2 2 4 2 3 ? (2 ? 2 cos(? ? ? )) ? 1 ? t 2 ? ? t2 ? ? t 2 ? 或4 ? t ? 2或 1 4 1 ? cos(? ? ? ) 3 3 1? 2

此题与 2011 年山东高考数学理科 22 题(1)十分类似,都是: “韦达定理法、方程法、三角代换法” 皆可。也与 2011 年 5 月 24 日的“爱人同志”类似,当年万岱她们都做过“爱人同志” ,文自修因为抛 物线要求“了解”所以没给你们做, “方程相乘”美轮美奂! 下面对比欣赏 2011 山东理科 22 题(1)与爱人同志。

2011 年山东高考数学 22 题的探究:
已知直线 l 与椭圆 C:
x2 y 2 6 且△OPQ 的面积 S= ,其中 Q 为坐标 ? ? 1 交于 P ? x ? y1 ? .Q ? x1 ? y ? 两不同点, 2 3 2

2 2 原点。证明: x12 ? x 2 和 y12 ? y 2 均为定值

解: (法一:韦达定理法,略。 )

(法二:方程法) ( x1 , y1 ) :P 先讨论 6 ?

Q ( x2 , y 2 ) ? 2?

S ?A O B?

1 6 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 4 ?
??(1)

? 6?

x y ?y x
1 2 1

2

x y ?y x
1 2 1

2 6

2

?x y ? y x ?
1 2 1 2

?P: x1 ?
3

2

y

2

1

2

? 1 ??(2)

Q:

x

2 2

3

?

y
2

2 2

? 1 ??(3)

(2)+(3)—(1)

?

x12 xy y2 x2 x y y2 ? 2 1 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 1 ? 1 ? 1?1? 2 3 3 3? 2 2 3? 2 2

? x1 y 2 ? ? x 2 y1 ? ? ? ? ?? ? ? 2? ? 3 2? ? 3
同理 ? 6 ?

2

2

? x1 ?
2

3 2

y

2 2

?0

2 ? y1 ? ? ? 2 x1 ? 3?1 ? 2 ? ? ? ? ?

?

y ?y
1

2

2 2

?2 ?

x ?x
2 1

2 2

?3

x y ?y x
1 2 1

2

时可证明结论同样成立!

没有通过韦达定理,避开复杂运算!可是,思维量不小。如果平时对于“方程思想”没有足够的高度与深度是很难分 析出来的! (法三)三角代换。令 x1 ? 3 cos? , y1 ?

2 sin ? ; x2 ? 3 cos ? , y 2 ? 2 sin ? ,

S ?OPQ ?

1 6 6 6 x1 y 2 ? x2 y1 ? cos? sin ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? 2 2 2 2

?? ? ? ? k? ?

?
2

2 y , k ? z;? x12 ? x2 ? 3 cos2 ? ? 3 cos2 ? ? 3,同理: 12 ? y2 2 ? 2

“爱人同志”
每一次闭上了眼就想到了你,你象一句美丽的口号挥不去,在这批判斗争的世界里,每个人都要学 习保护自己,让我相信你的忠贞,爱人同志,也许我不是爱情的好样板,怎么分也分不清左右还向前看, 是个未知力量的牵引,使你我迷失或者是找到自己,让我拥抱你的身躯,爱人同志,哦——边个两手牵, 悲欢离合总有不变的结局,啦 哦——两手牵不变的脸,怎么都不能明白我不后悔,即使付出我青春的 血汗与眼泪,如果命运不再原谅我们,为了我灵魂进入了你的身体,让我向你说声抱歉,爱人同志。
已知抛物线 C : y ? x ,椭圆 M: ? y ? 1 。直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) 与椭圆 M 相交于 A、B 两不同点、与抛物
2

x2 2

2

线 C 相交于 P、Q 两不同点。若 PA ? ? PB, QA ? ?? QB 。探究:直线 l 是否恒过定点?若存在求出此定点坐标;若 不存在说明理由。

阿根廷青年人 2011.5.24 周二晚 解析: (法一:方程法,方程相乘) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y 4 ) ,由 PA ? ? PB, QA ? ?? QB 可得:

x1 ? ?x 2 ? (1 ? ? ) x 3 , (1) y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? ) y 3 , (2) x1 ? ?x 2 ? (1 ? ? ) x 4 , (3) y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? ) y 4 , (4) (1 ? ? 2 ) x 3 x 4 (x ? ?x 2)(x1 ? ?x 2) (1) ? (3) ? (2) ? (4)得: 1 ? y1 ? ?y 2)(y1 ? ?y 2) ( ? ? 1 ? ?2 ) y 3 y 4 ( 2 2 2 x x x2 x2 x2 x2 2 2 2 2 ? 1 ? y12 ? ? 2 ( 2 ? y 2 ) ? 1 ? ? 2 )( 3 4 ? y 3 y 4 ) ? (? 1 ? y12 ? 1, 2 ? y 2 ? 1, y 3 ? x 3 , y 4 ? x 4 ) ( 2 2 2 2 2 x x 2 2 ?1 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 )( 3 4 ? x 3 x 4 ) ? (? ? ? ?1时,A、B重合,故? ? ?1 ( ) 2 2 2 ? 2 x 3 x 4 ? x 3 x 4 ? 2 ? 0,(5) 联立y ? k x ? m与y ? x 2 得:x 2 ? k x ? m ? 0,? x 3 x 4 ? ?m代入(5)式得: 1 ? 17 1 ? 17 (m ? ? 0舍) 4 4 1 ? 17 1 ? 17 ? 直线l : y ? k x ? , 恒过(0, )点。 4 4 2m 2 ? m ? 2 ? 0且m ? 0, 解得:m ?

其实,高考过度“押宝”是非理性的;高考前我们重点要训练“前 20 题” ,后两题主 要以旧题回顾重做即可!只是我高考前最后一次尝试研究预测高考,因为实在难以控制 冲动。

(法二:韦达定理法)解:由题意知: A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P( x3 , y3 ), Q( x4 , y 4 )

? ( x1 ? x3 , y1 ? y 3 ) ? ? ( x 2 ? x3 , y 2 ? y 3 ), ( x1 ? x 4 , y1 ? y 4 ) ? ?? ( x 2 ? x 4 , y 2 ? y 4 ) ?? ? ? x1 ? x3 x ? x3 x1 ? x 4 x ? x4 ,?? ? 1 ,? 1 ? ?0 x 2 ? x3 x2 ? x4 x 2 ? x3 x 2 ? x 4

( x1 ? x3 )( x 2 ? x 4 ) ? ( x1 ? x 4 )( x 2 ? x3 ) ?0 ( x 2 ? x3 )( x 2 ? x 4 )

? ( x1 ? x3 )( x 2 ? x 4 ) ? ( x1 ? x 4 )( x 2 ? x3 ) ? 0 ? 2 x1 x 2 ? 2 x3 x 4 ? ( x1 ? x 2 )( x3 ? x 4 ) ? 0 联立韦达定理带入后的:m 2 ? m ? 2 ? 0且m ? 0 2 1 ? 17 1 ? 17 (m ? ? 0舍) 4 4 1 ? 17 1 ? 17 ? 直线l : y ? k x ? , 恒过(0, )点。 4 4 解得:m ?

有兴趣的话可以看看我的文章《解析几何之隐形的翅膀》 !


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