2012年数学一轮复习精品试题第34讲 基本不等式及其应用

第三十四讲

基本不等式及其应用

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基本不等式及其应用
得分________

班级________ 姓名________ 考号________ 日期_______ _

一、 选择题: (本大题共 6 小题, 每小题 6 分, 36 分, 共 将正确答案的代号填在题后的括号内. ) a+b 1.“a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2.设 a、b∈R+,且 a+b=4,则有( 1 1 A. ≥ ab 2 C. ab≥2 1 1 B. + ≥1 a b 1 1 D. 2 ≥ a +b2 4 ) )

1 1 1 1 1 1 解析: a, 由 b∈R*, a+b=4 得 2 ab≤4? ab≤2, ≥ , 且 又由 2 ≤ = , 2 即 ab 4 a +b2 ?a+b?2 4 a +b2 ? 2 ? 1 ≤ .由此可知,A,C,D 都不正确,则只有 B 正确,故选 B. 4 答案:B a2 b2 3.设 0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则 + 的最小值为( x 1-x A.(a-b)2 C.a2b2 B.(a+b)2 D.a2
2

)

(1-x)a a2 b2 xb2 解析:∵(1-x+x)( + )= + +a2+b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴选 B. x 1-x x 1-x 答案:B 4.已 知 x2+y2=a,m2+n2=b,且 a≠b,则 mx+ny 的 最大值是( A. ab a+b B. 2
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)

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C.

a2+b2 2

1 D. a2+b2 2

分析:由条件 x2+y2=a,m2+n2=b 易联想到三角换元. 解析:令 x= acosα,y= asinα,α∈[0,2π), m= bcosβ,n= bsinβ,β∈[0,2π), 则 mx+ny= abcosαcosβ+ absinαsinβ = ab(cosαcosβ+sinαsinβ)= abcos(α-β). ∵cos(α-β)≤1,∴mx+ny 的最大值为 ab. 答案:A m2+x2 n2+y2 a+b 评析:此题若使用均值不等式,即 mx+ny≤ + = ,会错选 B,因为上述不等 2 2 2 式“=”不能取得. 1 1 5.设 a>b>c>0,则 2a2+ + -10ac+25c2 的最小值是( ab a(a-b) A.2 C.2 5 B.4 D.5 )

1 1 1 4 解析:原式=a2+ + +a2-10ac+25c2=a2+ +(a-5c)2≥a2+ 2+0≥4,当且 ab a(a-b) a b(a-b) 4 仅当 b=a-b、a=5c 且 a2= 2,即 a=2b=5c= 2时“=”都成立,故原式 的最小值为 4,选 B. a 答案:B 6.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C. 2 B.4 11 D. 2 )

解析:依题意得(x+1)(2y+1)=9,(x+1)+(2y+1)≥2 (x+1)(2y+1)=6,x+2y≥4,当且 仅 当 x+1=2y+1,即 x=2,y=1 时取等号,故 x+2y 的最小值是 4,选 B. 答案:B

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二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 4 9 7.在“ + =1”中的“__”处分别填上一个自然数,使它们的和最小,并求出其和的最小 值.________ 分析:.本题条件、结论皆开放,可设所要填写的两数分别为 x,y,再利用均值定理去探索. 解析:设这两个自然数分别为 x,y, 4 9 4y 9x 则有 x+y=(x+y)?x+y?=13+ + ≥13+2 ? ? x y 4y 9x · =25, x y

4y 9x 4 9 当且仅当 = ,且 + =1,即 x=10,y=15 时等号成立,故分别填 10 和 15,其和的最小 x y x y 值为 25. 答案:10 15 25 评析: 本题解答的关键是将已知中的“1”代换. 应用均值定理求函数的最值时, 必须注意“一 正二定三相等”.
2 a2 b2 (a+b) a b 8.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 + ≥ ,当且仅当 = 时取等号.利 x y x y x+y

1 2 9 用以上结论,可以得到函数 f(x)= + (x∈?0,2?)的最小值为________,取最小值时 x 的值为 ? ? x 1-2x ________. (2+3)2 22 32 解析:f(x)= + ≥ =25. 2x 1-2x 2x+(1-2x) 2 3 1 当且仅当 = ,即 x= 时上式取最小值,即[f(x)min]=25. 2x 1-2x 5 答案:25 1 5

t2-4t+1 9.(2010· 重庆)已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t 1 解析:依题意得 y=t+ -4≥2 t 是-2. 答案:-2 t2-4t+1 1 t·-4=-2,此时 t=1,即函数 y= (t>0)的最小值 t t

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10.(2010· 浙江)若正实数 x ,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 解析:由基本不等式得 xy≥2 2 xy+6,令 xy=t 得不等式 t2-2 2t-6≥0,解得 t≤- 2(舍 去)或者 t≥3 2,故 xy 的最小值为 18. 答案:18 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) bc ca ab 11.设 a、b、c 为正数,求证 + + ≥a+b+c a b c 分析:通过观察可得: bc ca 2 bc ab ca ab · =c , · =b2, · =a2 a b a c b c 从而利用基本不等式即可. 证明:∵a、b、c 均是正数 bc ca ab ∴ , , 均是正数 a b c bc ca ca ab ab bc ∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b a b b c c a bc ca ab 三式相加得:2? a + b + c ?≥2(a+b+c) ? ? bc ca ab ∴ + + ≥a+b+c a b c 评析:先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质,(注意限制条件)通过相加(乘)合成为待 证的不等式,既是运用基本不等式时的一种重要技能,也是证明不等式时的一种常用方法. 12.设函数 f(x)=x+ a ,x∈[0,+∞). x+1

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的最小值. a 解:(1)把 a=2 代入 f(x)=x+ 中, x+1 得 f(x)=x+ 2 2 =x+1+ -1. x+1 x+1

2 由于 x∈[0,+∞),所以 x+1>0, >0.所以 f(x)≥2 2-1. x+1
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2 当且仅当 x+1= ,即 x= 2- 1 时,f(x)取得最小值,最小值为 2 2-1. x+1 a a (2)因为 f(x)=x+ =x+1+ -1,(此时再利用(1)的方法,等号取不到) x+1 x+1 设 x1>x2≥0,则 f(x1)-f(x2)=x1+ a a a ? -x - =(x1-x2)·1-(x +1)(x +1)?. ? ? x1+1 2 x2+1 1 2

由于 x1>x2≥0,所以 x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1.所以(x1+1)(x2+1)>1.而 0<a<1, a 所以 <1.所以 f(x1)-f(x2)>0. (x1+1)(x2+1) 即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在[0,+∞)上单调递增. 所以 f(x)min=f(0)=a. 评析:(2)问中因等号不能取 到,所以考虑使用函数单调性,由此提醒我们时刻注意三个条件, 在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法. 13.某厂为适应市场需求,投入 98 万元引进世界先进设备,并马上投入生产,第一年需各种 费用 12 万元,从第二年开始,每年所需费用会比上一年增加 4 万元.而每年因引入该设备可获得 年利润为 50 万元.请你根据以上数据,解决以下问题: (1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案: 第一种:年平均利润达到最大值时,以 26 万元的价格卖出. 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出.问哪种方案较为合算? 解:开始盈利就是指所获利润大于投资总数,据此建立不等式求解;所谓方案最合理,就是指 卖出设备时的年平均利润较大,因此只需将两种方案的年平均利润分别求出,进行比较即可. (1)设引进该设备 x 年后开始盈利.盈利额为 y 万元. x(x-1) ? 则 y=50x-98-?12x+ ×4 =-2x2+40x-98,令 y>0,得 10- 51<x<10+ 51, 2 ? ? ∵x∈N*,∴3≤x≤17.即引进该设备三年后开始盈利; y y 98 (2)第一种:年平均盈利为 , =-2x- +40≤-2 x x x =7 时,年平均利润最大,共盈利 12×7+26=110 万元. 98 98 2x· +40=12,当且仅当 2x= ,即 x x x

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第二种:盈利总额 y=-2(x-10)2+102,当 x=10 时,取得最大值 102,即经过 10 年盈利总 额最大,共计盈利 102+8=110 万元两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合 算. 评析:用基本不等式解决实际问题时,一般都是求某个量的最值,这时,先把要求最值的量表 示为某个变量的函数,再利用基本不等式求该函数的最值,求最值时,仍要满足前面所说的三个求 最值的要求.有些实际问题中 ,要求最值的量需要用几个变量表示,同时,这几个变量满足某个关 系式,这时,问题变成了一个条件最值,可用前面的求条件最值的方法求最值.

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