三峡名校联盟高2014级12月联考数学试题(文科)_图文

重庆市三峡名校联盟 2014 届高三 12 月联考数学文试题
说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、设全集 I ? ?1, 2,3, 4,5? A、 ?2? ; B、 ?3,5? ; , 集合 A= ?2,3,5? C、 ?1,3, 4,5? 集合 B ? ?1, 2? ,则 (CI B ) , ;

A为
;

D、 ?3, 4,5?

2、命题“对任意 x ? R ,都有 ax 2 ? bx ? c ? 0 ” 的否定为 A、存在 x0 ? R ,使得 ax0 2 ? bx0 ? c ? 0 ; C、存在 x0 ? R ,使得 ax0 2 ? bx0 ? c ? 0 ; 3、函数 y ? B、不存在 x ? R ,使得 ax 2 ? bx ? c ? 0 ; D、对任意 x ? R ,都有 ax 2 ? bx ? c ? 0 ;

1 的定义域为 log 3 ( x ? 2)
(3, ??) ;
B、 (2, ??) ; C、 (3, ??) ; D、 (2,5)

A、 (2,3) 4、“ sin ? ?

(5, ??) ;

1 ? ”是“ ? ? 2 k ? ? ( k ? z ) ” 的 2 6
B、 必要不充分条件; D、 既不充分也不必要条件;

A、 充分不必要条件; C、 充要条件;

5、要得到函数 y= sinx 的图象,只需将函数 y ? cos( x ? A、向右平移 C、向左平移

?
6

) 的图象
开 始

?
3

? 个单位; 6

B、向右平移 D、向左平移

个单位 ;

?
6

? 个单位; 3

个单位;

i=1, s=0
否 是 输出 S 结 束

6、右图给出的是计算 ?

1 1 1 ? ? 1 3 5

?

1 的值的一个程 2013
B. i ? 1007?

序框图,则判断框内应填入的条件是 A. i ≥ 2013? ; C. i ? 2013? ;

D. i ? 1007? ;

s=s+

1 2i ? 1

?x ? y ? 0 1 ? 7、已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y 的 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
最小值为

i=i+1

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A、

1 ; 2

B、

3 4

;

C、 1

;

D、3 ;

8、关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? 5 x ? 50 ? 0 的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 15 ,则 a= A 、 ?1 ; B、 1 ; C、 ? ;

1 9

D、

1 ; 9

9 、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 线段 F1 F2 被 抛物线 a 2 b2

y 2 ? 2bx 的焦点分成长度之比为 2︰1 的两部分线段,则此双曲线的离心率为
A、

9 ; 5

B、

3 5 ; 5

C、

9 8

;

D、

3 2 4

;

10、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表,

f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题:
①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2? 上是减函数; ③如果当 x ? ? ?1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④函数 y ? f ? x ? 最多有 2 个零点。 其中正确命题的序号是 A、①②; B、③④; ( C、①②④; D、②③④。 )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、已知复数 z ? 2 ? i ( i 是虚数单位) , 则 z ? ______ 12、右图是某同学最近十次数学考试成绩(单位:分)的茎叶图,则这 位同学考试成绩能超过 115 分的概率为 ____________

10 1 1 5 11 2 6 8 120 2 4 7

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13 、 某 几 何 体 的 三 视 图 如 下 图 所 示 , 其 左 视 图 为 正 三 角 形 , 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ______________________;

3
4 (主视图) 2 (左视图) 4 (俯视图)

2

2 2 14 、 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 2 上的动点, Q 是直线 y ? x 上的动点,则 PQ 的最小

值为 ________________ ; 15、半圆的直径 AB=2, O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上 的动点,则 ( PA ? PB ) PC 的最小值是 ________________;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

16.(本小题满分 13 分)已知等比数列 { an } 满足 a3 - a1 = 3, a1 + a2 = 3 . (1)求数列 {an } 的前 15 项的和 S15 ; (2)若等差数列 ?bn ? 满足 b1 ? a2 , b3 ? a2 ? a3 ,求数列 {bn } 的前 10 项的和 T10

17、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 (1)求函数 f ( x) 的最小值及单调减区间; (2) 在?

ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 且 f ( A) ? 3 ,a ? 1 ,bc ? 2 3 ,

且 c ? b ,求 b ,c 的值

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18、(本小题满分 13 分) 为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况, 从该校高一年级女生中抽取了一部分学生 进行“掷铅球”的项目测试,成绩低于 5 米为不合格,成绩在 5 至 7 米(含 5 米不含 7 米)的为 及格,成绩在 7 米至 11 米(含 7 米和 11 米,假定该校高一女生掷铅球均不超过 11 米)为优 秀.把获得的所有数据,分成 [1,3),[3,5),[5, 7),[7,9),[9,11] 五组,画出的频率分布直方图如 图所示.已知有 4 名学生的成绩在 9 米到 11 米之间. (1)求实数 a 的值及参加“掷铅球”项目测试的人数; (2) 若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试, 求所 抽取的 2 名学生自不同组的概率.
频率 组距

频率分布直方图

0.2000 000 0.150

0.075 a 0.025 1 3 5 7 9 11



19.(本小题满分 12 分) 如图所示, 矩形 ABCD 的对角线交于点 G, AD⊥平面 ABE ,AE ? 2 3 ,EB ? BC ? 2 ,

F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE (1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积。





G
F







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20、 (本小题满分 12 分) 某商店商品每件成本 10 元,若售价为 25 元,则每天能卖出 288 件,经调查,如果降低 价格,销售量可以增加,且每天多卖出的商品件数 t 与商品单价的降低值 x (单位:元,

0 ? x ? 15 )的关系是 t= 6 x 2 .
(1)将每天的商品销售利润 y 表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使每天的商品销售利润最大?

21、(本小题满分 12 分) 已知中心在原点的椭圆 C 的离心率 e ? (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若以 k (k >0)为斜率的直线 l 与椭圆 C 相交于两个不同的点 M , N ,且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

5 ,一条准线方程为 5 x ? 9 ? 0 3

25 ,求 k 的取值范围。 74

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三峡名校联盟高 2014 级 12 月联考数学试题(文科)

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 题号 1 2 答案 B A 3 C 4 B 5 B 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上. 1 11、 5 ; 12、 0.6 13、 24 ? 2 3 ; 14、 2 ; 15、 ? ; 2
三、解答题: 16.解: (I)设等比数列 {an } 的公比为 q , 由 a3 ? a1 ? 3 得 a1 (q 2 ? 1) ? 3 由 a1 ? a2 ? 3 得 a1 (1 ? q ) ? 3

两式作比可得 q ? 1 ? 1 , (q ? ?1不满足题意,舍去) ,所以 q ? 2 , 把 q ? 2 代入②解得 a1 ? 1 ,由等比数列求和公式得

S15 ?

1 ? 215 ? 215 ? 1 1? 2

---------7 分

(II)由(I)可得 b1 ? 2 ,

b3 ? 6
b3 ? b1 =2 2
-----13 分

设等差数列 ?bn ? 的公差为 d ,则 d ?
由等差数列求和公式得

T10 ? 10 ? 2 ?

? 17、解: (1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
∴函数 f ( x) 的最小值为 2 ? (-1)+1=-1 由 2k? +

10 ? 9 ? 2 ? 110 2

?
2

? 2x ?
? ?

?
6

? 2 k? ?

3? (k ? Z )得 : 2
----------6 分

单调减区间为 ? k? + (2) f ( A) ? 2sin(2 A ?

?
6

,k? ?

2? ? ,k ? Z 3 ? ?

?

) ? 1 ? 3 ? sin(2 A ? ) ? 1 6 6

?

? A 是 三 角 形 内 角 , ∴ 2A ?

?

6

?

?

2

即 A?

?
6



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cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 3 ? 2bc 2

即: b 2 ? c 2 ? 7 .

将 bc ? 2 3 代入可得: c 2 ? ∴, b ? 2或 3

12 ? 7 ,解之得: c ? 3或2 c2
c>b , ∴ b= 3 , c=2 ,
------13 分

?

18.解: (Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05

4 ? 40 所以此次测试总人数为 0.05 ? 2 .
答:此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为 40 人. ????6 分

(Ⅱ) 设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取 2 名学生自不同组的事件为 A: . 由 已知,测试成绩在 [1,3) 有 2 人,记为 a, b ;在 [9,11] 有 4 人,记为 A, B, C , D . 这 6 人中随机抽取 2 人有 从

ab, aA, aB, aC , aD, bA, bB, bC , bD, AB, AC , AD, BC , BD, CD ,共 15 种情况.
事件 A 包括 aA, aB, aC , aD, bA, bB, bC , bD, 共 8 种情况. 答:随机抽取的 2 名学生自不同组的概率为 所以 P ( A) ?

8 . 15

8 . ????????13 分 15 19、解: (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC , ∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC


BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF
----------6 分 D C

? AE ? 平面 BCE
(2)

AE // 平面 BFD ,? AE // FG ,

G
F

而? AE ? 平面 BCE ,? FG ? 平面 BCF

G 是 AC 中点, F 是 CE 中点,





? FG // AE 且 FG ?

1 AE ? 3 , 2



BF ? 平面 ACE ,? BF ? CE ,

? Rt ?BCE

中 ,

BF ?

1 CE ? CF ? 2 2



? S ?CFB ?
---------12 分

1 2 ? 2 ?1 2

1 3 ?VC ? BG F ? VG ? BC F ? ? S ?CFB ?FG ? 3 3

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20、解: (1)设商品降价 x 元,记商品每天的获利为 f ( x) ,则依题意得

f ( x) ? (25 ? 10 ? x)(288 ? 6 x 2 ) ? (15 ? x)(288 ? 6 x 2 )
? ?6 x3 ? 90 x 2 ? 288 x ? 4320
( 0 ? x ? 15 )---------6 分

(2)根据(1) ,有 f ?( x) ? ?18 x 2 ? 180 x ? 288 ? ?18( x ? 2)( x ? 8) . 当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 的变化如下表:

x
f ?( x)

2? ?0,

2 0 极小

(2,8)

8 0 极大

15? ?8,

?

?

?

f ( x)

故 x ? 8 时, f ( x) 取得极大值.因为 f (8) ? 4704 , f (0) ? 4320 , 所以定价为 25 ? 8 ? 17 元能使一天的商品销售利润最大. ----------12 分

21.解: (1)由已知设椭圆 C 的标准方程为,

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a > b >0)

?c 5 ? ? ? ?a ?a ? 3 3 由题设得 ? 2 解得 ? ? ?c ? 5 ?a ? 9 ? 5 ?c
所以椭圆 C 的标准方程为

又 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4


x2 y 2 ? ?1 9 4

---------4 分

(2)由题意设直线 l 的方程为
? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? ? 1 ? 4 ?9

y ? kx ? m

( k >0)

(9k 2 ? 4) x 2 ? 18kmx ? 9m 2 ? 36 ? 0



设 M ( x1 , y1 )

N ( x2 , y2 )

则 x1 ? x2 ? ?

18km 8m , y1 ? y2 = 2 2 9k ? 4 9k ? 4

线段 MN 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足

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y1 ? y2 4m ? 2 2 9k ? 4 4m 1 9km 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 2 ? ? (x ? 2 ) 9k ? 4 k 9k ? 4 x0 ? y0 ?

x1 ? x2 9km ?? 2 2 9k ? 4

5m ? ? 5km ? ? 此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ? ? 2 , 0 ? 、 ? 0, ? 2 ? 9k ? 4 ? ? 9k ? 4 ? ?

由题设可得

1 ?5km ?5m 25 . 2 ? 2 2 9k ? 4 9k ? 4 74

整理得

m2 ?

(9k 2 ? 4) 2 37 k

( k >0)



由题意在①中有 (18km) 2 ? 4(9k 2 ? 4)(9m 2 ? 36) >0
将②代入得

整理得 9k 2 ? 4 ? m 2 >0

9k 2 ? 4 ?

(9k 2 ? 4) 2 >0 ( k >0) , 37 k



2 2 (9k 2 ? 4) ? ?37 k ? (9k ? 4) ? ? >0, ? 9k ? 37 k ? 4 <0,即 (9k ? 1)(k ? 4) <0



1 < k <4 9

?1 ? 所以 k 的取值范围是 ? , 4 ? 。 ?9 ?
各改卷组可根据具体情况给分

-----12 分

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