北师大版高中数学必修四 课件:第一单元第9课三角函数的简单应用(共24张PPT)_图文

课时目标 (1)了解三角函数知识在实际生活中的应用; (2)会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.

知识点 1 三角函数模型 如果某种现象的变化具有周期性,根据三角函数的性质,结合这 一现象的特征和条件,利用三角函数知识,构建数学模型,从而将这 一具体现象转化为一个特定的数学模型——三角函数模型.

知识点 2 建立三角函数模型的基本步骤

讲重点 三角函数应用性问题的解题技巧 (1)在由图象确定函数解析式时,注意运用方程思想和待定系数法 来确定参数. (2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟 悉的问题. (3)在应用三角函数模型解答应用题时,要善于将符号、图形、文 字各种语言巧妙转化,并充分利用数形结合思想直观地理解问题.

类型一 函数解析式在实际生活中的应用

【例 1】 如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要 12 分钟,其中心 O 距离地面 40.5 米,半径为 40 米,如果你从最低处登 上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩 天轮的时刻开始计时,请解答下列问题: (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式; (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时,用了多长时间?

思维启迪:(1)依题意可知应建立余弦型函数模型解题,由摩天轮 的转动周期是 12 分钟,振幅是 40,当 t=0 时,y=40.5,可求得函数 解析式;(2)将 y=60.5 代入(1)中求出的函数解析式,即可求出第 1 个 周期内满足题意的时间,再加上周期即可.

解析:(1)由已知可设 y=40.5-40cosωt,t≥0,由周期为 12 分钟 可知,当 t=6 时,摩天轮第 1 次到达最高点,即此函数第 1 次取得最 π π 大值,所以 6ω=π,即 ω= .所以 y=40.5-40cos t(t≥0). 6 6 (2)设转第 1 圈时,第 t0 分钟时距地面 60.5 米,由 60.5=40.5- π π 1 π 2π π 4π 40cos t0,得 cos t0=- ,所以 t0= 或 t0= ,解得 t0=4 或 t0=8. 6 6 2 6 3 6 3 所以 t=8(分钟)时, 第 2 次距地面 60.5 米, 故第 4 次距离地面 60.5 米时,用了 12+8=20(分钟).

点评: 建立三角函数模型解决实际问题时,首先寻找与角有关的信息, 确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型;其次是搜集数据,建立三 角函数解析式并解题;最后将所得结果翻译成实际答案,要注意根据 实际作答.

变式训练 1 如图所示,某地一天从 8~14 时的用电量变化 曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b(0≤φ<2π). (1)求这一天 8~14 时的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.

解析:(1)由图可知,这段时间的最大用电量为 50 万度,最小用 电量为 30 万度. (2)从图中可以看出,从 8~14 时的图象是函数 1 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象, 所以 A= ×(50-30)=10, 2 1 b= ×(50+30)=40, 2 ?π ? 1 2π π 因为 · =14-8,所以 ω= ,所以 y=10sin?6x+φ?+40. 2ω 6 ? ? π 将 x=8,y=30 代入上式,结合 φ 的取值范围解得 φ= . 6 ?π π? 所以所求解析式为 y=10sin?6x+6?+40,x∈[8,14]. ? ?

类型二 根据相关数据进行函数拟合 【例 2】 下表是某地一年中 10 天测量的白昼时间统计表.

(1)以日期在 1 年 365 天中的位置序号为横坐标,描出这些数据的 散点图; (2)确定一个满足这些数据的形如 y=Acos(ωx+φ)+t 的函数; (3)用(2)中的余弦型函数模型估计该地 7 月 3 日的白昼时间. 思维启迪: 先作散点图, 结合图象求出 y=Acos(ωx+φ)+t 中的 A, ω,φ,t,最后利用函数模型求 7 月 3 日的白昼时间.

解析:(1)

(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间关系近似为 y= Acos(ωx +φ)+t, 由图形知函数的最大值为 19.4, 最小值为 5.4, 即 ymax=19.4, ymin=5.4. 由 19.4-5.4=14,得 A=7.由 19.4+5.4=24.8 得 t=12.4. ? 2π ? 2π ∵T=365,∴ω= .∴y=7cos?365x+φ?+12.4. 365 ? ? ? 21 ? 当 x=172,cos?365x+φ?=1,ymax=19.4. ? ? ?2π?x-172?? 2π×172 ?+12.4. 得一个 φ 值为- ,∴y=7cos? 365 365 ? ? (3)7 月 3 日即 x=184,y≈19.3,约为 19.3 小时.

点评: 该类题目的关键在于如何把三角函数模型化为实际问题, 画散点图起了关键的作用.解决这类题目的解法如下:

变 式 训 练 2 已 知 某 海 滨 浴 场 海 浪 的 高 度 y( 米 ) 是 时 间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高 数据: 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 0 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依 据(1)的结论,判断一天内的 8: 00 至 20: 00 之间,有多长时间可供冲 浪者进行运动?

2π 2π π 解析:(1)由表中数据,知周期 T=12.∴ω= = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. 1 1 π ∴A=0.5,b=1∴振幅为 ,∴y= cos t+1. 2 2 6 (2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π π π π ∴ cos t+1>1,即 cos t>0,∴2kπ- < t<2kπ+ , 2 6 6 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3.∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间 8?:00 至 20?:00 之间,有 6 个小时的时间可供 冲浪者运动:9?:00 至 15?:00.

类型三 三角函数在物理学中的应用 【例 3】 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最 低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB, 求 h 与 t 之间的函数解析式,并求缆车第一 次到达最高点时用的最少时间是多少? 思维启迪: 分析题目 → 列出函数解析式 → 应用求解

解析:(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以 Ox 为 π 始边,OB 为终边的角为(θ- ), 2 故 B 点坐标为 ? ? ? π? π? ? ?4.8cos?θ- ?,4.8sin?θ- ??. 2? 2? ? ? ? ? ? π? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ?

π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 ?π π? ? ∴h=5.6+4.8sin 30t-2?,t∈[0,+∞). ? ? 到达最高点时,h=10.4 m. ?π π? 由 sin?30t-2?=1, ? ? π π π 得 t- = ,∴t=30, 30 2 2 ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒.

点评: 面对实际问题时, 能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技 能,这个过程并不神秘,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻 译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程.

已知电流 I 与时间 t 的关系为 I=Asin(ωt+φ). π (1)如图所示的是 I= Asin(ωx+φ)(ω>0 , |φ|< )在一个周期内的图 2 象,根据图中数据求 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)如果 t 在任意一段 秒的时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能取 150 得最大值和最小值,那么 ω 的最小正整数值是多少? 变式训练 3

1 1 解析:(1)由图知 A=300,设 t1=- ,t = , 900 2 180 ? 1 1 ? 1 2π ? ? 则周期 T=2(t2-t1)=2 180+900 = .∴ω= =150π. T ? ? 75 ? ? 1 1 ? 又当 t= 时,I=0,即 sin 150π·180+φ?=0, 180 ? ? ? π? π π ? 而|φ|< ,∴φ= .故所求的解析式为 I=300sin 150πt+6?. 2 6 ? ? 1 2π 1 (2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ (ω>0), 150 ω 150 ∴ω≥300π>942,又 ω∈N*, 故所求最小正整数 ω=943.


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