高三数学月考试题及答案-锦州市2015届高三质量检测(二)(理)

辽宁省锦州市 2015 届高三质量检测(二) (理)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时 间 120 分钟。答卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号, 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效。 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. (1) 已知全集 U=R, 集合 A= ? x | A. A∩B B. A∪B

? ?

x ?1 ? ? 0? , B ? ? x | x ? 1? ,则{ x|x≤0 }等于( x ?
C.?U(A∩B) ) C. 1+2i D. 1-2i D.?U(A∪B)



(2) 复数 z 满足 z.(1 ? 2i) ? 4 ? 3i , 则 z 等于( A. 2-i B. 2+i )

(3) 下列说法不正确的是(

A. 若 “p 且 q” 为假, 则 p、 q 至少有一个是假命题 B. 命题 “?x0 ∈ R,x 0 - x0 - < 0” 的否定是 “?x ∈ R,x2- x - 1≥0” C.“
2

??

? ” 是 “y=sin (2x+ ? ) 为偶函数” 的充要条件 2

D. α<0 时, 幂函数 y=xa 在 (0, +∞) 上单调递减 (4) 某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为( )

A. 200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π

?x ? y ?1 ? 0 ? (5) 已知 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z = x + 2y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2



(6)若如图所示的程序框图输出的 S 是 30,则在判断框中 M 表示的 “条件” 应该是 (



A. n≥3

B. n≥4

C. n≥5

D. n≥6

(7) 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120° , 且 | AB | = 2, | AC | = 3,若 AP ? ?AB ? AC 且 AP ? BC , 则实数 λ 的值为( A. )

3 7

B. 13

C.6

D.

12 7

(8) 分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道,要求 4 名水暖工都分配出去,

并每名水暖工只去一个居民家, 且每个居民家都要有人去检查, 那么分配的方案共有 ( A. A4 种
3

) B. A3 . A3 种
3 1

C. C4 .C3 A3 种 D. C4 . A3 种

1

1

3

2

3

(9) △ABC 各角的对应边分别为 a, b, c, 满足 ( A. (0, )

b c ? ? 1 , 则角 A 的范围是 a?c a?b

?
6

]

B. (0,

?
3

]

C. [

?
3

,? )

D. [

?
6

,? )

(10) 函数 f (x)= sin(2x + ? ) ( | ? | <

?
2

)的图象向左平移

?
6

个单位后关于原点对称, 则

函数 f (x)在[0,

?
2

]上的最小值为(



A.-

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2

(11) 过双曲线

x2 y 2 ? = 1 ( a > 0,b > 0)的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l , 垂足为 a 2 b2


A, l 与另一条渐近线交于 B 点, 若 FB ? 2 FA , 则双曲线的离心率为( A. 2 B. 2 C. 3 D. 5

(12) 设函数 f (x)的导函数为 f ′(x), 对任意 x∈ R 都有 f (x)> f ′ (x)成立, 则( A. 3f(ln2)<2f(ln3) C. 3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3) D. 3f(ln2)与 2f(ln3) 的大小不确定 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)



本卷包括必考题和选考题两部分.第 (13) 题~第 (21) 题为必考题, 每个试题考生 必须做答.第 (22) 题~第 (24) 题为选考题, 考生根据要求做答. 二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分. (13) 设函数 f (x)=(x + a)n, 其中 n ? 6 x4 系数为_______.

?

n 2 0

cos xdx,

f '(0) ? ?3 , 则 f (x)的展开式中的 f (0)

(14) 已知 x>0, y>0, 且 x ? y ?

3 4 1 , 则 ? 的最小值为_____________. 4 x y
, 且函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? a 只有一个零点, 则

?2 x (15) 已知函数 f ( x) ? ? ?1og2 x

x?0 x?0

实数 a 的取值范围是_____________. (16) 已知抛物线 C:y2= 2px (p > 0)的焦点为 F, 过点 F 倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线 C 在第一、 四象限分别交于 A、 B 两点, 则

AF BF

的值等于_____________.

三、 解答题: 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1 = 2, nan + 1 = Sn + n(n + 1) . (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ) 设 Tn 为数列 ?

? an ? }的前 n 项和, 求 Tn; n ? ?2 ?
, 证明: b1 ? b2 ? b3 ?

(Ⅲ) 设 bn ?

1 an an?1an? 2

? bn ?

1 32

(18) (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D 、 E 分别是 BC 和 CC1 的中点, 已知 AB=AC=AA1=4,∠BAC=90° . (Ⅰ) 求证: B1D⊥平面 AED; (Ⅱ) 求二面角 B1-AE-D 的余弦值; (Ⅲ) 求三棱锥 A-B1DE 的体积.

(19) (本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴 趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数 题各一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

(Ⅰ) 能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ) 经过多次测试后, 甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟, 乙每次解答一 道几何题所用的时间在 6—8 分钟, 现甲、 乙各解同一道几何题, 求乙比甲先解答完 的概率. (Ⅲ) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记 甲、 乙两女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E (X) . 附表及公式

(20) (本小题满分 12 分)

2 x2 y 2 已知 F1F2 是椭圆 2 ? 2 = 1 (a > b > 0)的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P(-1, )在椭 a b 2
圆上, 且 PF 是以 F1F2 为直径的圆, 直线 l : y=kx+m 与⊙O 相切, 并 1.F 1F 2 ? 0, O 且与椭圆交于不同的两点 A、 B. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 当 OAOB . ? ? , 且满足 (21) (本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ? 1n(ax ? 1) ? x3 ? x2 ? ax .

2 3 ? ? ? 时, 求弦长|AB|的取值范围. 3 4

(Ⅰ) 若 x =

2 为 f (x)的极值点, 求实数 a 的值; 3

(Ⅱ) 若 y = f (x)在[l, +∞) 上为增函数, 求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 若 a=-1 时, 方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?
3

b 有实根, 求实数 b 的取值范围. x

请考生在第 (22) ~ (24) 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题 计分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入 括号中. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4-1: 几何证明选讲. 如图, 圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点, 以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C, D 两点, 延长 DB 交圆 M 于点 E, 延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5, DB=10. (Ⅰ) 求 AB 的长; (Ⅱ) 求

CF . DE

(23) (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知圆 C 的圆心 C( 2, (Ⅰ) 求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 若 α ∈ ? 0, ? , 直线 l 的参数方程为 ? , 直线 l 交圆 C (t 为参数) ? 4? ? y ? 2 ? t sin ? 于 A、 B 两点, 求弦长|AB|的取值范围.

? ), 半径 r = 3 . 4

? ??

? x ? 2 ? t cos ?

(24) (本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f (x)= |x - 2|,g(x)= -|x + 3| +m. (Ⅰ) 若关于 x 的不等式 g(x)≥0 的解集为 [-5, -1] , 求实数 m 的值; (Ⅱ) 若 f (x)的图象恒在 g(x)图象的上方, 求实数 m 的取值范围.

参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 ( 1)-(12)DBCAD BDDBA AC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 60 (14)12 (15) ?1, ?? ? (16) 3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

……………………(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)

1 1 2 n ? n ,故 T ? 4 ? n ? 2 ……………… (8 分) 所以 Tn ? n 1 2n 2n ?1 2 1? 2 1?
(Ⅲ)由(Ⅰ) ,得 bn ?

1 1 1 1 ? [ ? ] 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ( ? ) 16 2 (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 . …………………….(12 分) ? ? 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32

?

?

(18)(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)依题意,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.因为 AB ? AC ? AA1 =4,所以 A(0,0,0) ,B(4,0,0) ,E(0,4,2) ,D(2,2,0) ,B1(4,0,4).

B1 D ? (?2,2,?4) , AD ? (2,2,0) , AE ? (0,4,2) .
因为 B1 D ? AD ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 ,所以 B1D ? AD ,即 B1D ? AD . 因为 B1 D ? AE ? 0 ? 8 ? 8 ? 0 ,所以 B1 D ? AE ,即 B1 D ? AE . 又 AD、 平面 AED,且 AD∩AE=A,故 B1D ⊥平面 AED . (4 分) (6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1 D ? (?2,2,?4) 为平面 AED 的一个法向量.

设平面 B1AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,因为 AE ? (0,4,2) , AB1 ? (4,0,4) , 所以由 ?

? ?n ? AE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

,得 ?

?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2.即 n ? (2,1,?2) . ?4 x ? 4 z ? 0
? 6 9 ? 24 ? 6 , 6
(8 分)

∴ cos ? n, B1 D ??

n ? B1 D | n | ? | B1 D |

∴二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)

6 . 6

-----(19)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由表中数据得 K 2 的观测值

(12 分)

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 ………2 分 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2 2

所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关……………(4 分) (Ⅱ)设甲、 乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟, 则基本事件满足的区域为 ? (如图所示)

?5 ? x ? 7 ?6 ? y ? 8

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

1 ? 1? 1 1 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2 2? 2 8

即乙比甲先解答完的概率为

1 ..............(8 分) 8

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人, 抽取方法有 C8 2 ? 28 种, 其中甲、 乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到 有 C2 2 ? 1 种………8 分

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ? X 的分布列为:
X
P

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

0
15 28

1

2

12 28

1 28

………11 分

? E( X ) ? 0 ?

15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? ..........................................(12 分) 28 28 28 2

(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意,可知

PF1 ? F1 F2





c ? 1,

1 1 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 2 2 2 2 a 2b ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆的方程为 2 ……………….(4 分)

m

:x2 ? y 2 ? 1 相切,则 k 2 ? 1 (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O

?1

2 2 ,即 m ? k ? 1 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 2 2 2 ? y ? kx ? m 由? ,得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,

?

?

∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B. 设 ∴ ? ? 0,? k
2

A? x1 , y1 ?, B ? x 2 , y 2 ?.

? 0 ? k ? 0,

x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
m 2 ? 2k 2 1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ,

y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k 2 x1 x2 +km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?
1? k 2 ?? 1 ? 2k 2



OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

2 1? k 2 3 ? ? 2 4 ∴ 3 1 ? 2k

1 ? k2 ?1 2 ∴ ,
?2 2?k4 ? k2 ?



AB ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

4 ?k 4 ? k 2 ? ?1

2u 1 1 ?3 ? 3 1 =2 , u ? ? , 2? ? u ? 2 |AB |? 2 u ? k 4 ? k 2 ( ? k 2 ? 1) 4u ? 1 2 2(4u ? 1) ?4 ? 2 设 ,则 4 ,

?3 ? ? , 2? 在 ? 4 ? 上单调递增



6 4 ? |AB |? ……………………….(12 分) 2 3

(21) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ?(x ) ?

a x [3ax 2 ? (3 ? 2a )x ? (a 2 ? 2)] ? 3x 2 ? 2x ? a ? ax ? 1 ax ? 1

x ?

2 2 为 f(x)的极值点, ? f ?( ) ? 0 3 3

2 2 2 2 ? 3( a ) + (3-2a ) ? (a 2 ? 2) ? 0 且 a ? 1 ? 0 ? a ? 0 又当 a=0 时, f ?(x ) ? x (3x ? 2) , 3 3 3
从而 x ?

2 为 f(x)的极值点成立. 3

(4 分)

x [3ax 2 ? (3 ? 2a )x ? (a 2 ? 2)] ? 0 在 [1, ??) 上恒 (Ⅱ)因为 f(x)在 [1, ??) 上为增函数,所以 ax ? 1
成立.若 a=0,则 f ?(x ) ? x (3x ? 2) ,? f(x ) 在 [1, ??) 上为增函数不成立; 若 a ? 0 ,由 ax ? 1 ? 0 对 x ? 1 恒成立知 a ? 0 . 所以 3ax 2 ? (3 ? 2a)x ? (a 2 ? 2) ? 0 对 x ? [1, ??) 上恒成立. 令 g (x ) ? 3ax 2 ? (3 ? 2a)x ? (a 2 ? 2) ,其对称轴为 x ?

1 1 ? , 3 2a

因为 a ? 0 ,所以

1 1 1 ? ? ,从而 g(x)在 [1, ??) 上为增函数,所以只要 g(1) ? 0 即可,即 3 2a 3

?a 2 ? a ? 1 ? 0 ,所以

1? 5 1? 5 1? 5 ?a ? ,又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 2 2 2
3

(8 分)

(Ⅲ)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?

b b 2 可得 ln x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? x x

即 b ? x ln x ? x (1 ? x )2 ? x (1 ? x ) ? x ln x ? x 2 ? x 3 在 x ? 0 上有解 即求函数 g (x ) ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域.

b ? x (ln x ? x ? x 2 ) 令 h (x ) ? ln x ? x ? x 2 ,由 h ?(x ) ?

1 (2x ? 1)(1 ? x ) ? 1 ? 2x ? x x

? x)>0 ,从而 h(x)在 (0,1) 上为增函数;当 x ? 1 时, h ?(x ) ? 0 , ( x ? 0 ? 当 0 ? x ? 1 时, h
从而 h(x)在 (1, ??) 上为减函数.

? h (x ) ? h (1) ? 0 ,而 h(x)可以无穷小, ? b 的取值范围为 (??, 0] .
(22) (本小题满分 10 分)选修 4─1:几何证明选讲. 解: (Ⅰ)根据弦切角定理, 知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB , ∴△ ABC ∽△ DBA ,则
2

(12 分)

AB BC ? , DB BA
(5 分)

故 AB ? BC ? BD ? 50, AB ? 5 2 . (Ⅱ)根据切割线定理,知 CA ? CB ? CF ,
2

DA2 ? DB ? DE ,

CA2 CB CF ? ? 两式相除,得 (*). DA2 DB DE
由△ ABC ∽△ DBA , 得

CB 5 1 AC AB 5 2 2 CA2 1 ? ? ,由(*) ? ? ? ? ,又 , 2 DB 10 2 DA 2 DA DB 10 2
CF ? 1. DE
(10 分)



(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 C ( 2,

? ) 得, C 直角坐标 (1,1) , 4

所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 3 , 由?

? x ? ? cos ? 得,圆 C 的极坐标方程为 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ?1 ? 0 .
(Ⅱ)将 ?

(5 分)

? x ? 2 ? t cos ? ,代入 C 的直角坐标方程 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 3 , y ? 2 ? t sin ? ?

得 t 2 ? 2(cos ? ? sin ? )t ?1 ? 0 ,则 ? ? 0 , 设 A , B 对应参数分别为 t1 , t 2 ,则

t1 ? t2 ? ?2(cos ? ? sin ? ) , t1t2 ? ?1 ,
| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 8 ? 4sin 2? ,
因为 ? ? [0,

? ) ,所以 sin 2? ?[0,1) 所以 8 ? 4sin 2? ?[8,12) , 4
(10 分)

所以 | AB | 的取值范围为 [2 2,2 3) .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由题意可得﹣|x+3|+m≥0 的解集为[﹣5,﹣1]. 由﹣|x+3|+m≥0,可得﹣m﹣3≤x≤m﹣3,∴ ,求得 m=2. (5 分)

(Ⅱ)由题意可得|x﹣2|≥﹣|x+3|+m 恒成立,即 m≤|x﹣2|+|x+3|. 而|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,∴m≤5. (10 分)


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