2017届山东寿光现代中学高三理12月月考数学试卷(带解析)

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2017 届山东寿光现代中学高三理 12 月月考数学试卷(带解 析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题

1. i 为虚数单位,复平面内表示复数 z ? A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

?i 的点在( 2?i



2.已知集合 M ? ?x 2x ? 1 ? 1? , N ? x 3x ? 1 ,则 M ? N ? ( A. ? C. ?x x ? 1? B. ?x 0 ? x ? 1? D. ?x x ? 0?

?

?



3.若 log a 2 ? 0 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ,则函数 f ? x ? ? loga ? x ? 1? 的图象大致是(



4.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a5 ? a7 ? 4a42 , a2 ? 1 ,则 a1 ? ( A. 2 C. B.2 D.
2 2
试卷第 1 页,总 5 页



1 2

?y ? x ? 5.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为( ? y ? ?1 ?



A.4 C.
5 2

B. ? 5 D. ?3
x ?1 在点 ? 3 ,2 ? 处的切线垂直的直线的方程为( x ?1 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

6.过点 ? 0 , 1? 且与曲线 y ? A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 7.下图给出的是计算 条件是( )



1 1 1 1 的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的 ? ? ?…? 2 4 6 20

A. i ? 10 C. i ? 11

B. i ? 10 D. i ? 11

8.关于直线 m , n 与平面 ? ,? ,有以下四个命题:①若 m ∥? ,n ∥ ? 且? ∥ ? ,则
m∥n ;

②若 m ∥? ,n ? ? 且? ? ? ,则 m ∥ n ;③若 m ? ? ,n ∥ ? 且? ∥ ? ,则 m ? n ; ④若 m ? ? ,n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n . 其中真命题有( A.1 个 C.3 个 9. 抛物线 C1 : y ? ) B.2 个 D.4 个
1 2 x2 x ? p ? 0 ? 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第 2p 3

一象限的点 M ,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ? ( A. C.
3 8



B. D.

3 16

4 3 3

2 3 3

? 1 ? x ? ,x ? 0 10.已知函数 f ? x ? ? ? ,则关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 有 5 个不同 x ?0 ,x ? 0 ?
试卷第 2 页,总 5 页

实数解的充要条件是( A. b ? ?2 且 c ? 0 C. b ? ?2 且 c ? 0

) B. b ? ?2 且 c ? 0 D. b ? ?2 且 c ? 0

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 11.若不等式 kx ? 4 ? 2 的解集为 ?x 1 ? x ? 3? ,则实数 k ?



12.三位老师和三位学生站成一排,要求任何两位学生都不相邻,则不同的排法总数 为 . 13.过点 ? 3 , 1? 作圆 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4 的弦,其中最短的弦长为
2 2



14 . 如 图 , 在 平 行 四 边 形 A B C D 中 , E 和 F 分 别 在 边 CD 和 BC 上 , 且 ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? D C? 3 D E , B?C 3 , B若 F AC ? mAE ? nAF , 其中 m ,n ? R , 则 m?n ? .

15 . 如 图 , 矩 形 O A B C内 的 阴 影 部 分 是 由 曲 线 f ? x? ? s i n x ?? 0 , ? ?? 及 直 线 ? x

x ? a? a ??0 , ? ?? 与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率


3 ,则 a 的值是 16



评卷人

得分 三、解答题

16. 在 △ ABC 中, 内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 已知 (Ⅰ)求

cos A ? 2cos C 2c ? a . ? cos B b

sin C 的值; sin A

1 (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 △ ABC 的面积 S . 4 ? ? 3? ? 17.已知向量 a ? ? sin x , ? , b ? ? cos x ,? 1? . 4? ?
? ? (1)当 a ∥ b 时,求 cos 2 x ? sin 2 x 的值;

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? ? ? ( 2 ) 设 函 数 f ? x? ? 2 a ? b ? b, 已 知 在 △ ABC 中 , 内 角 A ,B , C 的 对 边 分 别 为

?

?

a ,b , c ,若 a ? 3 , b ? 2 , sin B ?

6 ? ?? ? ?? ? ? ,求 f ? x ? ? 4cos ? 2 A ? ? ? x ? ?0 , ? ? 的取 3 6 ?? 3?? ? ?

值范围. 18.已知矩形 ABCD 与正三角形 AED 所在的平面互相垂直, M ,N 分别为棱 BE ,AD 的中点, AB ? 1 ,AD ? 2 .

(1)证明:直线 AM ∥平面 NEC ; (2)求二面角 N ? CE ? D 的余弦值. 19.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,并且对于任意 n ? N * ,都有 an ?1 ?
?1? (1)证明数列 ? ? 为等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; ? an ?
an . 2an ? 1

(2)设数列 ?an ,an?1? 的前 n 项和为 Tn ,求使得 Tn ?

1000 的最小正整数 n . 2011

20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上, F1 ,F2 分别在其左、右焦点, P 在

???? ???? ? 椭圆上任意一点,且 F1 P ? F2 P 的最大值为 1,最小值为 ?2 .
(1)求椭圆 C 的方程; ( 2)设 A 为椭圆 C 的右顶点,直线 l 是与椭圆交于 M ,N 两点的任意一条直线,若 AM ? AN ,证明直线 l 过定点. 21.已知函数 f ? x ? ? p ln x ? ? p ? 1? x2 ? 1 . (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 p ? 1 时, f ? x ? ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)证明: ln ? n ? 1? ? 1 ?
1 1 1 ? ? … ? ?n ? N* ? . 2 3 n

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:因 z ?

? i (5 ? i ) 1 ? ? ? i ,故应选 C. 5 5

考点:复数的运算及几何意义. 2.B 【解析】 试题分析:因 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | x ? 0} ,故 M ? N ? {x | 0 ? x ? 1} .故应选 B. 考点:不等式的解法与集合的交集运算. 3.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 log a 2 ? 0 可 得 0 ? a ? 1 , 故 f ? x ? ? loga ? x ? 1? 是 (?1,??) 上 的 单 调 递 减 函 数.故应选 B. 考点:对数不等式的解法与对数函数的单调性及图象. 4.D 【解析】
2 2 试题分析 : 由等比数列的通项的性质可得 a 6 ,则 q ? 4 ,故 q ? 2 ,即 q ? ? 4a 4

4

2

2 ,故

a1 ?

1 2

.故应选 D.

考点:等比数列的通项及性质的灵活运用. 5.A 【解析】 试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因 z ? 3x ? 2 y ,故 y ? ? 动直线 y??

3 z x ? ,结合图形可知当 2 2

3 z x ? 经 过 点 A(2,?1) 时 , 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 , 其 最 大 值 为 2 2

z max ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ? 4 ,故应选 A.

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3 y=2 x+

z 2 y y=x

x+y-1=0

O y=-1 A(2,-1)

考点:线性规划的知识及运用. 【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时
?y ? x 3 z ? 先准确的画出直不等式组 ? x ? y ? 1 表示的区域 ,再搞清 y ? ? x ? 的几何意义 ,将问题 2 2 ? y ? ?1 ?

3 z z x ? 在 y 轴上的截距 的最大值的问题. 结合图象可以看出当 2 2 2 3 z 动直线 y?? x? 经 过 点 A(2,?1) 时 , 目 标 函 数 z ? 3x ? 2 y 取 得 最 大 值 为 2 2
转化为求动直线 y ? ?

z max ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ? 4 ,使得问题获解.
6.B 【解析】 试题分析: 因 y ?
/

1 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 , 故切线的斜率 k ? ? , 故所求直线的斜率 ?? 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

k ? 2 ,方程为 y ? 1 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .故应选 B.
考点:导数的几何意义及直线与直线的位置关系的综合运用. 7.B 【解析】

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? , 故从算法流程图所 ? ? ?…? 2 4 6 20 2 ? 1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 10 提供的运算程序可得 i ? 10 ,应选 B. 考点:算法流程图的识读及理解. 8.B 【解析】 试题分析:容易判定答案①②是错误的,答案③④是正确的,故应选 B.
试题分析 : 因
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考点:空间直线与平面的位置关系及运用. 9.C 【解析】 试 题 分 析 : 设 抛 物 线 的 焦 点 F 与 双 曲 线 的 右 焦 点 F2 及 点 M 的 坐 标 分 别 为

p 1 1 3 F (0, ), F2 (2,0), M ( x 0 , y 0 ) , 故由题设可得在切点 M 处的斜率为 x 0 , 则 x0 ? , 2 p p 3
即 x0 ?

p 3 3 1 p , 故 M( p, p) , 依 据 F (0, ), F2 (2,0), M ( x 0 , y 0 ) 共 线 可 得 2 3 3 6

?

p 1 4 3 ?? ,所以 p ? ,故应选 C. 4 3 3

考点:抛物线及双曲线的几何性质等知识的综合运用. 【易错点晴】本题是一道考查双曲线与抛物线的位置关系的综合问题.解答本题时,直接依 据题设条件运用双曲线和抛物线的几何性质 , 求得抛物线与双曲线的焦点坐标分别为的

p F (0, ), F2 (2,0), M ( x 0 , y 0 ) ,进而借助 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线建立方 2
程求得 x 0 ?

p 3 3 1 p , 从而确定 M ( p, p) ; 再依据三点 F (0, ), F2 (2,0), M ( x 0 , y 0 ) 共 2 3 3 6

线,求出 p ? 10.C 【解析】

4 3 ,使得问题获解. 3

试 题 分 析 : 因 当 x ? 0 时 , f ( x) ?| x ?

1 1 |?| x | ? ? 2 , 故 当 c ? 0 时 , f ( x) ? 0 或 x | x|

f ( x) ? ?b ,由题设可知当 ? b ? 2 , 即 b ? ?2 时,关于 x 的方程 f 2 ? x? ? bf ? x? ? c ? 0 有 5 个
不同实数解.故应选 C. 考点:函数的图象、方程的根的个数、基本不等式等知识的综合运用. 【易错点晴】函数方程思想是高中数学中重要的数学思想和常用的数学思想之一,本题以分
? 1 ? x ? ,x ? 0 段函数 f ? x ? ? ? 为背景 , 设置了含 f ( x) 的方程 f 2 ? x? ? bf ? x? ? c ? 0 有 5 个不 x ?0 ,x ? 0 ?

同实数解的充要条件的综合问题. 考查是借助基本初等函数的图象和所学知识去分析问题和 解决问题的能力.求解时要充分借助题设条件与题设信息,运用函数方程思想与化归转化的 数学思想,先运用基本不等式求得 f ( x) ?| x ?

1 1 |?| x | ? ? 2 ,继而分析探求,使得问题获 x | x|

答案第 3 页,总 11 页

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解. 11. 2 【解析】 试题分析:由题设可得 | k ? 4 |? 2 或 | 3k ? 4 |? 2 ,解之得 k ? 2 .故应填答案 2 . 考点:绝对值不等式的解法及二次不等式的解法及运用. 12. 144 【解析】
3 3 试题分析:由题设运用插空法可得 A3 ? A4 ? 144.故应填答案144 .

考点:排列组合数公式及运用. 13. 2 2 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 设 可 知 点 P(3,1) 在 圆 C 内 , 故 当 l ? PC 时 , 弦 长 最 短 , 由 于

PC ? 1 ? 1 ? 2 ,弦长 L ? 2 4 ? 2 ? 2 2 .故应填答案 2 2 .
考点:直线与圆的位置关系及综合运用.
3 2 【解析】

14.

试 题 分 析 : 由 题 设 可 得

AE ? AD ? DE ? AD ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? AF ? AB ? BF ? AB ? AD 3 ??? ? 1 ???? ???? ??? ? ??? ? ? AB ? AD AC ? mAE ? nAF , 又 3 ???? ???? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? 1 ??? ? AC ? mAD ? mAB ? n AB ? n AD ? ( m ? n) AB 3 3 3

1 1 DC ? AD ? AB , 3 3

,



?1 m?n? ? ???? 1 1 ?3 ? ( m ? n) AD ,而 AC ? ( AB ? AD ) ,故 ? 3 2 ?m ? 1 n ? ? 3 ?

1 3 3 2 ? m ? n ? .故应填答案 . 2 1 2 2

考点:向量的几何运算及待定系数法的综合运用. 【易错点晴】本题以平行四边形中的线段满足的向量等量关系为背景,考查的是向量的几何 运算及平行四边形的有关知识的灵活运用的综合问题. 求解时充分借助题设条件中的有效信 ???? ???? ??? ? ??? ? 1 1 息,利用先将题设条件 DC ? 3DE ,BC ? 3BF ,求出 AE ? AD ? AB , AF ? AB ? AD ,

3

3

?1 m?n? ? ???? ??? ? ??? ? ?3 再借助 AC ? mAE ? nAF 建立方程组 ? ?m ? 1 n ? ? 3 ?

1 3 2 ? m ? n ? ,进而使得问题获解. 1 2 2

答案第 4 页,总 11 页

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2? 3 【解析】

15.

试题分析 : 由题设可得阴影部分的面积为 S ?

?

a

0

sin xdx ? ? cos a ? 1 ? d , 矩形的面积为

D ?a?
a?

2? 2? .故应填答案 . 3 3

8 1 ? cos a 3 1 ?8 ,故由几何概型的计算公式可得 ? , 即 cos a ? ? , 则 a 8 16 2

考点:定积分的计算公式及几何概型计算公式的综合运用. 【易错点晴】 本题以几何概型的概率已知为背景,考查的是已知函数的解析式已知的前提下, 求参数 a 的值问题. 解答时借助题设条件,合理运用化归转化的数学思想,先运用定积分的计 算 公 式 求 得 阴 影 部 分 的 面 积 d ? ? cos a ? 1 , 再 运 用 几 何 概 型 的 计 算 公 式 建 立 方 程

1 ? cos a 3 1 2? ? ,通过解三角方程 cos a ? ? ,得到 a ? ,使得问题获解. 8 16 2 3
16.(I) 2 ;(II)

15 . 4

【解析】 试题分析:(I)借助题设条件运用正弦定理及三角变换公式求解;(II)依据题设运用余弦定 理及三角形的面积公式探求. 试题解析: (I)由正弦定理得 所以
2c ? a 2sin C ? sin A ,…………2 分 ? b sin B

2sin C ? sin A cos A ? 2cos C , ? sin B cos B

即 ? cos A ? 2cos C ? sin B ? ? 2sin C ? sin A? cos B , 化简得 sin ? A ? B ? ? 2sin ? B ? C ? ,…………4 分 ∴ sin C ? 2 sin A 即 (II) 由
sin C ? 2 .………………6 分 sin A

n s i C 1 b ? 2 得 a ?1, 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 及 cos B ? , ? 2 得 c ? 2a , n s i A 4 从而 c ? 2 .………………8 分
15 1 15 1 又 cos B ? , 0 ? B ? ? 得 sin B ? ,所以 S△ ABC ? ac sin B ? .…………12 分 4 2 4 4 考点:正弦定理余弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用.

17.(1)

8 3 1 ? 1, 2 ? ] . ;(2) [ 5 2 2

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用向量的平行条件建立方程求解; (2)依据题设运用正弦定理 三角变换公式及正弦函数的图象和性质探求.
答案第 5 页,总 11 页

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试题解析: ? ? 3 3 (1)∵ a ∥ b ,∴ cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? ,………………2 分 4 4

cos2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2tan x 8 ? ? .…………………………6 分 sin x2 ? cos2 x 1 ? tan 2 x 5 ? ? ? ?? 3 ? (2) f ? x ? ? 2 a ? b ? b ? 2 sin ? 2 x ? ? ? , 4? 2 ? cos2 x ? sin 2x ?

?

?

由正弦定理得

2 a b ? 可得 sin A ? ,所以 A ? .………………9 分 ? 2 sin A sin B 4 ? ? 1 ? ? ? ? f ? x ? ? 4cos ? 2 A ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? , 6? 4? 2 ? ?

?? ? ?? 11? ? ? ∵ x ? ?0 , ? ,∴ 2 x ? ? ? , . 3? 4 ?4 12 ? ? ?
所以
3 ?? 1 ? ? 1 ? f ? x ? ? 4cos ? 2 A ? ? ? 2 ? .…………………………12 分 2 6? 2 ?

考点:向量的平行条件及正弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用. 18.(1)证明见解析;(2)
6 . 4

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证; (2)依据题设建立空间直角坐标 系运用向量的数量积公式探求. 试题解析: (1)证明:取 EC 的中点 F ,连接 FM , FN ,
1 1 则 FM ∥ BC , FM ? BC , AN ∥ BC , AN ? BC ,………………2 分 2 2 所以 FM ∥ BC 且 FM ? BC ,所以四边形 AMFN 为平行四边形, 所以 AM ∥ NF ,………………………………4 分 因为 AM ? 平面NEC , NF ? 平面NEC . 所以直线 AM ∥平面 NEC ;…………………………6 分

(2) 如图以 N 为坐标原点建立空间右手直角坐标系, 所以 A ? 0 , ? 1 ,0 ? ,B ? 0 , ? 1 , 1? ,
D ?0 , 1 ,0 ? , N ? 0 ,0 ,0 ? , E

?

? 3 1 1? 3 ,0 ,0 , C ? 0 , ,……1 1, 1? , M ? ? 2 ,? 2 ,2 ? ? ? ?

?



答案第 6 页,总 11 页

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? 3 1 1? (1)取 EC 的中点 F ,所以 F ? , ? 2 ,2 ,2 ? ? ? ?
??? ? ? ???? 设平面 NEC 的一个法向量为 n ? ? x , y, 1? ,因为 NC ? ? 0 , 1, 1? , NE ?

?

3 ,0 ,0 ,

?

? ???? ? ??? ? ? 所以 n ? NC ? y ? 1 ? 0 , n ? NE ? 3x ? 0 ;所以 n ? ? 0 ,?1 , 1? ,…………3 分
? ? ???? ? ???? ? ? 3 1 1 ? ? ???? 因为 AM ? ? , n ? AM ? 0 ,所以 n ? AM .……………………5 分 ? 2 ,2 ,2 ? ? ? ?

因为 AM ? 平面 NEC ,所以直线 AM ∥平面 NEC .……………………7 分 ?? ???? ( 2 ) 设 平 面 D E C的 一 个 法 向 量 为 m ? ?1 , y, ?z , 因 为 DC ? ? 0 , , 1? , 1
???? DE ?

?

3 , ? 1 ,0 ,

?

?? ?? ???? ?? ???? 所以 m ? DC ? z ? 0 , m ? DE ? 3 ? y ? 0 ;所以 m ? 1 , 3 ,0 .……………………9 分

?

?

? ?? ? ?? n?m ? 3 6 ,…………………………………………11 分 cos ? n ,m ?? ? ?? ? ?? 4 2?2 n m
因为二面角 N ? CE ? D 的大小为锐角,
6 .…………………………………………………12 分 4 考点:线面平行的判定定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用.

所以二面角 N ? CE ? D 的余弦值为

19.(1)证明见解析, an ? 2n ? 1 ;(2) 91 . 【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用等差数列的定义求解; (2)依据题设运用裂项相消求和法建 立不等式分析探求. 试题解析: an 1 1 1 ? ?2, (1) ? 1 ,因为 an ?1 ? ,所以 a1 2an ? 1 an ?1 an

答案第 7 页,总 11 页

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?1? ∴数列 ? ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,…………4 分 ? an ?



1 ? 2n ? 1 ,从而 an ? 2n ? 1 .…………………………6 分 an
1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ……………………8 分 2 n ? 1 2 n ? 1 2 2 n ? 1 2 n ?1? ? ?? ? ?

(2)因为 an an ?1 ?

所以 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? … ? an an ?1
? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ? .………………10 分 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ?? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1

n 1000 1000 ,得 n ? ,最小正整数 n 为 91.………………12 分 ? 2n ? 1 2011 11 考点:等差数列的定义及裂项相消求和法等有关知识的综合运用.

由 Tn ?

20.(1)

x2 ? y 2 ? 1 ;(2)证明见解析. 4

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程组求解; (2)依据题设运用直线 与椭圆的位置关系探求. 试题解析:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? , P ? x0 ,y0 ? 为椭圆上任意一点, a 2 b2 ???? ???? ? 所以 F1P ? ? x0 ? c , y0 ? , F2 P ? ? x0 ? c , y0 ? ,所以
(1)设椭圆方程为

???? ???? ? 2 2 F1P ? F2 P ? x0 ? y0 ? c2 ,…………………………………………2 分
又因为

x2 y 2 ? ? 1 ,所以 a 2 b2 ???? ???? ? b2 2 c 2 2 2 F1P ? F2 P ? x0 ? b2 ? 2 x0 ? 2 x0 ? b2 ? c2 .……………………4 分 a a

???? ???? ? ?b2 ? 1 ?b 2 ? 1 ? ? 2 因为 0 ? x0 ,所以 , ? a2 ,所以 b2 ? c2 ? F1P ? F2 P ? b2 ,因此 ? 2 ? 2 2 ? ? ?b ? c ? ?2 ?c ? 3
因此 a 2 ? 4 , 所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………………………6 分 4

(2)①若直线 l 不垂直于 x 轴,设该直线方程为 y ? kx ? m , M ? x1 ,y1 ? ,N ? x2 ,y2 ? ,
? y ? kx ? m ? 由 ? x2 ,得 x2 ? 4 k 2 x2 ? 2kmx ? m2 ? 4 , 2 ? y ? 1 ? ?4

?

?

答案第 8 页,总 11 页

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化简得 ?1 ? 4k 2 ? x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? ?

4m2 ? 4 8km , ,…………………………7 分 x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2
k 2 ? 4m 2 ? 4 ? 1 ? 4k 2 8k 2 m2 m 2 ? 4k 2 2 ? m ? .………8 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?

?

???? ? ???? 因为 AM ? AN ,所以 AM ? AN ? y1 y2 ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? 0 ,
所以 y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 ,

m2 ? 4k 2 4m2 ? 4 16km ? ? ?4?0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 去分母得 m2 ? 4k 2 ? 4m2 ? 4 ? 16km ? 4 ? 16k 2 ? 0 即 12k 2 ? 16km ? 5m2 ? 0 .…………………………10 分 m 5 ? 2k ? m?? 6k ? 5m? ? 0 ,所以 k ? ? 或 k ? ? m , 2 6 m x m ? ? 当 k ? ? 时, l : y ? ? x ? m ? m ? ? ? 1? 过定点 ? 2 ,0 ? ,显然不满足题意; 2 2 ? 2 ? 5m 5 ? 5 ? ?5 ? x ? m ? m ? ? x ? 1? 过定点 ? ,0 ? . 当 k ? ? m 时, l : y ? ? 6 6 ? 6 ? ?6 ?
所以 ②若直线 l 垂直于 x 轴,设 l 与 x 轴交于点 ? x0 ,0? ,由椭圆的对称性可知 △MNA 为等腰直 角三角形,所以 1 ? 解得 x0 ?
2 x0 2 ? 2 ? x0 ,化简得 5x0 ? 16 x0 ? 12 ? 0 , 4

6 ?6 ? 或 2(舍) ,即此时直线 l 也过定点 ? ,0 ? . 5 5 ? ? 6 ? ? 综上直线 l 过定点 ? ,0 ? .…………………………13 分 ?5 ?
考点: 向量的数量积公式、 椭圆的标准方程、 直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用. 【易错点晴】 本题是一道考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合问题. 解答本 题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念 ,求得椭圆的标准 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;第二问的求解过程中,先设直线的方程 y ? kx ? m ,再借助直线与椭圆的 4
2 x0 ? 2 ? x0 进行探求,从而使得问题获 4

位置关系及 △MNA 为等腰直角三角形建立方程 1 ? 解.

21. (1) 当 p ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 单调递增, 当 p ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 单调递减,

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? ? ? ? p p 当 ?1 ? p ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0 , ? 在? ? (2) , ? ? ? 单调递减; ? 单调递增, ? ? ? 2 ? p ? 1? ? 2 ? p ? 1? ? ? ? ?
k ? 1 ;(3)证明见解析.

【解析】 试题分析:(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论; (2)借助题设构设函数,运用导数 知识求解;(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证. 试题解析: 2 ? p ? 1? x 2 ? p p (1) f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,? ?? , f ' ? x ? ? ? 2 ? p ? 1? x ? ……2 分 x x 当 p ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 单调递增; 当 p ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 单调递减;………………4 分 当 ?1 ? p ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?
p . 2 ? p ? 1?

? ? ? ? p p 则当 x ? ? 0 , ? , ? ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 . ? 时, f ' ? x ? ? 0 ; x ? ? ? ? ? ? 2 ? p ? 1? ? 2 ? p ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? p p 故 f ? x? 在 ? 0 , ? , ? ? ? 单调递减.……6 分 ? 单调递增,在 ? ? ? ? ? 2 ? p ? 1? ? 2 ? p ? 1? ? ? ? ?
(2)因为 x ? 0 ,所以: 当 p ? 1 时, f ? x ? ? kx 恒成立 ? 1 ? ln x ? kx ? k ? 令 h ? x? ?
1 ? ln x , x

1 ? ln x ,则 k ? h ? x ?max ,……………………8 分 x ? ln x ,由 h ' ? x ? ? 0 得 x ? 1 , x2

因为 h ' ? x ? ?

且当 x ? ? 0 , 1? 时, h ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1 , ? ? ? 时, h ' ? x ? ? 0 . 所以 h ? x ? 在 ? 0 , 1? 上递增,在 ?1 , ? ? ? 上递减,所以 h ? x ?max ? h ?1? ? 1, 故 k ? 1 .…………………………10 分 (3) 取 x ? 1 ?

1 1 , k ? 1 , 则 代 入 1 ? ln x ? x 由 题 设 可 得 ln(1 ? n) ? ln n ? , 取 n n

1 1 1 n ? N* ? . ? 2 3 n 考点:导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用. 【易错点晴】 导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具. 本题就是以函

n ? 1,2,3,? ? ?, n ,并将上述各不等式两边加起来可得 ln ? n ? 1? ? 1 ? ? ? … ?

数解析式 f ? x ? ? p ln x ? ? p ? 1? x2 ? 1 为背景, 精心设置了三个问题 ,旨在考查导数知识与函 数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是求
答案第 10 页,总 11 页

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函数 f ( x ) 的单调区间,求解时分类对函数 f ? x ? ? p ln x ? ? p ? 1? x2 ? 1 求导,分析探求出其单 调区间;第二问先分析转化,再构造函数 h ? x ? ?
1 ? ln x ,运用导数的知识使得问题获解;(3) x

运用已知推证的结论构造不等式 ln(1 ? n) ? ln n ?

1 ,从而使得不等式简捷巧妙获证. n

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