2020届高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习理

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专题一 函数与导数、不等式 第 2 讲 不等式问题练习 理

一、选择题

1.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a=243,b=323,c=2513,则(

)

A.b<a<c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

解析 a=243=3 16,b=323=3 9,c=2513=3 25,所以 b<a<c.

答案 A

2.(2016·唐山模拟)已知函数 f(x)=?????xx22+ -22xx, ,xx≥ <00, ,若 f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数 a

的取值范围是( )

A.[0,1]

B.[-1,0]

C.[-1,1]

D.[-1,0]

解析 f(-a)+f(a)≤2f(1)??????a(≥-0,a)2-2×(-a)+a2+2a≤2×3或

??a<0, ???(-a)2+2×(-a)+a2-2a≤2×3

即?????aa≥2+02,a-3≤0或?????aa<2-02,a-3≤0,

解得 0≤a≤1,或-1≤a<0.故-1≤a≤1.

答案 C

3.(2016·北京卷)已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( )

11 A.x-y>0

B.sin x-sin y>0

C.???12???x-???12???y<0

D.ln x+ln y>0

解析 函数 y=1x在(0,+∞)上单调递减,所以1x<1y,即1x-1y<0,A 错;函数 y=sin x

在(0,+∞)上不是单调函数,B 错;函数 y=???12???x在(0,+∞)上单调递减,所以???12???x<???12???

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y,即???12???x-???12???y<0,所以 C 正确;ln x+ln y=ln(xy),当 x>y>0 时,xy 不一定大于

1,即不一定有 ln(xy)>0,D 错.

答案 C 4.已知当 x<0 时,2x2-mx+1>0 恒成立,则 m 的取值范围为( )

A.[2 2,+∞)

B.(-∞,2 2]

C.(-2 2,+∞)

D.(-∞,-2 2)

解析 由 2x2-mx+1>0,得 mx<2x2+1, 因为 x<0,所以 m>2x2x+1=2x+1x. 而 2x+1x=-???(-2x)+(-1x)???≤-2 (-2x)×(-1x)=-2 2. 当且仅当-2x=-1x,即 x=- 22时取等号,
所以 m>-2 2.

答案 C

??x+2y-2≥0, 5.(2016·珠海模拟)若 x,y 满足不等式组?x-y+1≥0, 则 x2+y2的最小值是( )
??3x+y-6≤0,

23 A. 5
4 C.5

25 B. 5 D.1

解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,

x2+y2表示原点(0,0)到此区域内的点 P(x,y)的距离. 显然该距离的最小值为原点到直线 x+2y-2=0 的距离.

|0+0-2| 2 5 故最小值为 12+22 = 5 .

答案 B 二、填空题
??log3x,x>0, 6.已知函数 f(x)=??????13???x,x≤0, 那么不等式 f(x)≥1 的解集为________.

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解析 当 x>0 时,由 log3x≥1 可得 x≥3,当 x≤0 时,由???13???x≥1 可得 x≤0, ∴不等式 f(x)≥1 的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).
答案 (-∞,0]∪[3,+∞)
??x+2y≥0, 7.设目标函数 z=x+y,其中实数 x,y 满足?x-y≤0, 若 z 的最大值为 12,则 z 的最小
??0≤y≤k.
值为________. 解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示,平移直线 x+y=0,显然当直线过点 A(k,k)时,目标函数 z=x+y 取得 最大值,且最大值为 k+k=12,则 k=6,直线过点 B 时目标函 数 z=x+y 取得最小值,点 B 为直线 x+2y=0 与 y=6 的交点, 即 B(-12,6),所以 zmin=-12+6=-6. 答案 -6 8.(2016·大同模拟)已知 x>0,y>0,且2x+1y=1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围为________. 解析 记 t=x+2y,由不等式恒成立可得 m2+2m<tmin.
因为2x+1y=1,所以 t=x+2y=(x+2y)???2x+1y???=4+4xy+xy. 而 x>0,y>0,所以4xy+xy≥2 4xy·yx=4(当且仅当4xy=xy,即 x=2y 时取等号). 所以 t=4+4xy+xy≥4+4=8,即 tmin=8. 故 m2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0.解得-4<m<2.
答案 (-4,2) 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x22+x 6.
(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0. 由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,-2.
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由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=2k,即 k=-25.

(2)因为

x>0,f(x)=x22+x 6=x+2 6x≤2

2

= 6

66,当且仅当

x=

6时取等号.由已知 f(x)≤t

对任意 x>0 恒成立,故 t≥ 66,即 t 的取值范围是??? 66,+∞???. 10.(1)解关于 x 的不等式 x2-2mx+m+1>0;

(2)解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+2<0.

解 (1)原不等式对应方程的判别式 Δ =(-2m)2-4(m+1)=4(m2-m-1).



m2-m-1>0,即

m>1+2

5 或

m<1-2

5 时,由于方程

x2-2mx+m+1=0

的两根是

m± m2-m-1,所以原不等式的解集是{x|x<m- m2-m-1,或 x>m+ m2-m-1};

当 Δ =0,即 m=1±2 5时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠m}; 当 Δ <0,即1-2 5<m<1+2 5时,不等式的解集为 R. 综上,当 m>1+2 5或 m<1-2 5时,不等式的解集为{x|x<m- m2-m-1,或 x>m+
m2-m-1};当 m=1±2 5时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠m};当1-2 5<m<1+2 5

时,不等式的解集为 R.

(2)原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.

①当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2)???x-1a???<0,根据不等式的性质,这个不等式等

价于(x-2)·???x-1a???<0.因为方程(x-2)???x-1a???=0

的两个根分别是

1 2,a,所以当

0<a

<12时,2<1a,则原不等式的解集是???x|2<x<1a???;当 a=12时,原不等式的解集是?;当 a >12时,1a<2,则原不等式的解集是???x???1a<x<2???.

②当 a=0 时,原不等式为-(x-2)<0,解得 x>2,即原不等式的解集是{x|x>2}.

③当 a<0 时,原不等式可以化为 a(x-2)???x-1a???<0,根据不等式的性质,这个不等式等 价于(x-2)???x-1a???>0,由于1a<2,故原不等式的解集是???x???x<1a或x>2???. 综上,当 a=0 时不等式解集为(2,+∞);当 0<a<12时,不等式解集为???2,1a???;当 a=12 时,不等式解集为?;当 a>12时,不等式解集为???1a,2???,当 a<0 时,不等式解集为???-∞,1a???

∪(2,+∞).

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11.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的 x∈R,恒有 f′(x)≤f(x).

(1)证明:当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2;

(2)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求 M 的最小值.

(1)证明 易知 f′(x)=2x+b.由题设,对任意的 x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即 x2+(b-

2)x+c-b≥0 恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而 c≥b42+1,于是 c≥1,

且 c≥2

b42×1=|b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.

故当 x≥0 时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2.

(2)解 由(1)知 c≥|b|.当 c>|b|时,有 M≥f(c)c2--fb(2 b)=c2-bc22+-bbc2 -b2=cb++2cb. 令 t=bc,则-1<t<1,cb++2cb=2-1+1 t. 而函数 g(t)=2-1+1 t(-1<t<1)的值域是???-∞,32???. 因此,当 c>|b|时,M 的取值范围为???32,+∞???. 当 c=|b|时,由(1)知 b=±2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c2-b2=0,从而 f(c)

-f(b)≤32(c2-b2)恒成立.

综上所述,M

3 的最小值为2.

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