【同步课件】高中数学人教A版选修2-1课件:1-1-1 命题:3-1-3 空间向量的数量积运算_图文

第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.3 空间向量及其运算 空间向量的数量积运算 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个 向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解 决立体几何中一些简单的问题. 新 知 视 界 1.空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量 a、 b,在空间任取一点 O, → → 作OA= a,OB= b,则∠ AOB 叫做向量 a、b 的夹角, 记为〈 a, b〉 . (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 0≤ θ≤ π.特别是,当 θ= 0 时,两向量同向共线;当 θ= π 时,两向量反向共线,所以若 a∥ b,则〈 a,b〉 π = 0 或 π;当 θ= 时,两向量垂直,记为 a⊥ b. 2 思考感悟 〈 a,b〉与〈 b,a〉的关系是怎样的?〈a,b〉 与〈- a, b〉 、 〈 a,- b〉的关系呢? 提示: 〈 a,b〉=〈b,a〉 , 〈 a,- b〉=〈- a, b〉= π-〈 a, b〉 . 2.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把 |a||b |cos θ 叫做向量 a 与 b的数量积,记为 a· b, 即 a ·b = |a||b|cosθ. 规定,零向量与任何向量的数量积为0,即0·a=0. 3.两个向量数量积的性质 若 a 、 b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, θ是a与e的夹角,则 ①e·a=a·e=|a|cosθ. ②a⊥b?a·b=0. ③若a与b同向,则a·b=|a|·|b|; 若a与b反向,则a·b=-|a|·|b|. 特别地:a· a=|a|2 或|a|= a· a. a· b ④若 θ 为 a、b 的夹角,则 cosθ= . |a||b | ⑤|a· b|≤|a||b|. 4.两个向量数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律: ①(结合律)(λa)· b=λ(a· b); ②(交换律)a· b=b· a; ③(分配律)a· (b+c)=a· b+a· c. 思考感悟 类比平面向量, 你能说出 a· b 的几何意义吗? 提示:数量积 a· b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的 方向上的投影 |b|· cosθ 的乘积. 尝 试 应 用 1 .下列各命题中,不正确 的命题的个数 ... 为( ) ① a· a= |a| ② m(λa)· b=(mλ)a· b(m、 λ∈ R) ③ a· (b+ c)= (b+ c)· a ④ a2b= b2a A.4 B.3 C.2 D.1 解析:①②③正确,④不正确. 答案:D 2.已知 PA⊥平面 ABC,∠ ABC= 120° , PA= AB=BC= 6,则 PC 等于 ( A. 6 2 B. 6 C. 12 D. 144 图1 ) → → → → 解析:∵PC=PA+AB +BC , → → → → → → ∴ PC 2 = PA 2 + AB 2 + BC 2 + 2AB · BC = 36+ 36+ 36+ 2× 36cos60° = 144. ∴ |PC|= 12. 答案:C 3.已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°, 其模都为1,则|a-b+2c|等于________. 解析:(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a· b+4a· c- 4b· c=1+1+4-2cos60° =5,∴|a-b+2c|= 5. 答案: 5 4.已知 i 、 j 、 k 是两两垂直的单位向量, a = 2 i - j +k,b=i+j-3k,则a·b等于________. 解析:a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2= -2. 答案:-2 5.如图2所示,在空间四边形OABC中,OA=8, AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB= 60°,求OA与BC夹角的余弦值. 图2 → → → 解:∵BC =AC -AB , → → → → → → ∴OA· BC =OA· AC -OA· AB → → → → = |OA||AC |cos 〈OA,AC 〉- → → → → |OA||AB |cos 〈OA,AB 〉 = 8× 4× cos135° - 8× 6× cos120° = 24- 16 2. → → OA · BC → → ∴ cos〈OA,BC 〉= → → |OA||BC | 24- 16 2 3- 2 2 = = . 8× 5 5 3- 2 2 ∴ OA 与 BC 夹角的余弦值为 . 5 典例精析 类型一 [例1] 空间向量的数量积运算 如图 3所示,已知正三棱锥 A—BCD的侧棱 长和底面边长都是 a ,点 E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 DC的中点.求下列向量的数量积: → → (1)AB · AC ; → → (2)AD· BD; → → (3)GF· AC ; → → (4)EF · BC . 图3 [解] → → (1)由题知 |AB |= |AC |= a, → → 且〈AB ,AC 〉= 60° , 1 2 → → ∴AB · AC = a· a· cos60° = a. 2 → → (2)|AD|= a, |BD|= a, → → 且〈AD,BD〉= 60° . 1 2 → → ∴AD· BD= a· a· cos60° = a. 2 → 1 → → → (3)|GF|= a, |AC |= a,又GF∥AC , 2 → → ∴〈GF,AC 〉= 180° . 1 2 → → 1 ∴GF· AC = a· a· cos180° =- a . 2 2 → 1 → → → (4)|EF |=

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