【成才之路】高中数学 4-2-1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

成才之路· 数学 人教A版 ·必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第四章 圆的方程 第四章 4. 2 直线、圆的位置关系 第四章 4.2.1 直线与圆的位置关系 课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答 课前自主预习 温故知新 1.直线与圆的位置关系有三种: 两 个公共点; (1)直线与圆相交?直线与圆有____ (2)直线与圆相切?直线与圆有___ 一 个公共点; 没有 公共点. (3)直线与圆相离?直线与圆______ 2.点到直线的距离公式: 点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |Ax0+By0+C| A2+B2 _________. 3.圆 x2+y2+4x-6y-3=0 的圆心和半径分别为( ) A.(4,-6),r=16 C.(-2,3),r=4 B.(2,-3),r=4 D.(2,-3),r=16 [答案] C [解析] 由圆的一般式方程可知圆心坐标为(-2,3),半径 1 2 r= 4 +?-6?2+12=4. 2 |2+2+1| d= 2 2 = 5 1 + 2 4.点P(1,-2)到直线y=2x+1的距离为 . 新课引入 大海上初升的红日,冉冉升起中,展现着迷人的风采, 同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相 离,本节我们从方程的角度来探讨这三种位置关系. 自主预习 阅读教材P126~128,回答下列问题. 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及 判断 置关系 公共点个数 相交 两 个 ____ 相切 一 个 ____ 相离 0 个 ___ 几何法:设圆心到直线的距离d= 判 定 方 法 |Aa+Bb+C| A2+B2 代数法:由 ? ?Ax+By+C= ? 2 2 2 ? ? x - a ? + ? y - b ? = r ? d< r d = r d> r Δ> 0 Δ=0 Δ< 0 消元得到一元二次方程的判别式Δ 直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( ) A.过圆心 C.相离 B.相切 D.相交 [答案] D [解析] 圆心C(1,-1),半径r=3,C到直线3x+4y+12 |3-4+12| 11 =0的距离d= 2 2 = 5 <r=3.所以直线与圆相交. 3 +4 思路方法技巧 直线与圆的位置关系 学法指导 判断直线和圆的位置关系的方法 “用方程组解的个数”和“用圆心到直线的距离”,一 般情况下后一种方法相对简单,但如是要判断两圆相交并求 交点坐标时,必须求方程组的解,这样用第一种方法可起到 一举两得的作用. [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2 -4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? [分析] 直线与圆有两个公共点?直线与圆相交;直线与 圆只有一个公共点?直线与圆相切;直线与圆没有公共点? 直线与圆相离. [解析] 方法一:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程 化简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当Δ>0,即m>0或m<- 3 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; 4 当Δ=0,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与 3 圆只有一个公共点; 4 当Δ<0,即- 3 <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没 有公共点. 方法二:已知圆的方程可化为 (x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径长r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = . 1+m2 1+m2 4 (1)当d<2,即m>0或m<- 3 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; 4 (2)当d=2,即m=0或m=- 3 时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; 4 (3)当d>2,即- <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆 3 没有公共点. 规律总结:解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置 和直线与圆的公共点的个数间的等价关系.在处理直线与圆 的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距离和半 径长的大小,而不用联立方程. 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100:①相交;②相切; ③相离,试分别求实数a的取值范围. [解析] 解法一:(代数法) ? ?4x-3y+a=0, ? 2 2 ? x + y =100, ? 由方程组 900=0, 消去y,得25x2+8ax+a2- 则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000. ①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得 -50<a<50; ②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50; ③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50. 解法二:(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, |a| |a| 则圆心到直线的距离d= 2 2= 5 . 3 +4 |a| ①当直线和圆相交时,d<r,即 5 <10,所以-50<a<50; |a| ②当直线和圆相切时,d=r,即 5 =10,所以a=50或a= -50; |a| ③当直线和圆相离时,d>r,即 >10,所以a<-50或 5 a>50. 规律总结:代数法和几何法都是处理直线与圆的位置关 系的通法,具有普遍性,都要熟练掌握.代数法用圆的一般 方程比较方便,而几何法用圆的标准方程比较方便. 由这两种解法可看到,几何法确实比代数法运算量小, 也比较简单、直观. 弦长问题 学法指导 设直线l的方程为ax+by+c=0,圆O的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2=r2

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