高中数学(人教A版)选修2-2同步课后巩固:模块综合检测题

模块综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时 间 120 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) z1 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+i,则z 在复平面内对应的点位于(
2

)

A.第一象限 C.第二象限 答案 D z1 2+i 3 i 解析 z = = - , 1+i 2 2 2 3 1 对应点(2,-2)在第四象限.

B.第三象限 D.第四象限

2.设 f(x)=10x+lgx,则 f′(1)等于( A.10 10 C.ln10+ln10 答案 B 3.函数 y=(1-sinx)2 的导数是( A.y=2sin2x-cosx C.y=2sin2x-2cosx 答案 D 解析 y′=2(1-sinx)(1-sinx)′ =2(1-sinx)(-cosx) =2sinxcosx-2cosx )

)

B.10ln10+lge D.11ln10

B.y=sin2x+2cosx D.y=sin2x-2cosx

=sin2x-2cosx. 4.函数 f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 答案 B 2-bi 5.如果复数 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( 1+2i A. 2 2 C.-3 答案 C 6.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11, 9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第 n(n∈N*)个等式应为( A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-9 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 ) B.-2 2 D.3 )

答案 B 解析 等式的左边是 9×(等式的序号-1)+等式的序号,故选 B. 7.如图阴影部分的面积是( )

1 A.e+e 1 C.e+e -2 答案 C

1 B.e+e-1 1 D.e-e

8. 若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调增函数, 则 m 取值范围是( A.m>3 1 C.m<3 答案 B 1 4 9. 曲线 y=3x3+x 在点(1, 3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( 1 A.9 1 C.3 答案 A 解析 ∵y′=x2+1,∴切线斜率 k=12+1=2. 2 B.9 2 D.3 1 B.m≥3 D.m<0

)

)

4 ∴切线方程为 y-3=2(x-1), 2 1 与坐标轴的交点坐标为(0,-3),(3,0). 1 2 1 1 ∴所求三角形面积为2×3×3=9. 10.a、b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 1 1 C.ab2<a2b 答案 C 11. 若函数 f(x)=x3-ax2+1 在(0,2)内单调递减, 则实数 a 的取值范围是( A.a≥3 C.a≤3 答案 A 12.若关于 x 的方程 x3-3x+m=0 在[0,2]上有根,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] C.[-2,0] 答案 A 解析 m=-x3+3x, 令 f(x)=-x3+3x,则 f′(x)=-3x2+3. 令 f′(x)=-3x2+3=0,得 x=± 1, 且 f(0)=0,f(1)=2,f(2)=-2. ∴f(x)max=2,f(x)min=-2. ∴m∈[-2,2]. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) B.[0,2] D.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.a=2 D.0<a<3 ) B.ab2<a2b b a D.a<b )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题 中横线上) 1+2i 2 2-i 2 13.( ) +( ) =________. 1-i 1+i 答案 -4-3i 14.变速直线运动的物体的速度为 v(t)=1-t2(m/s)(其中 t 为时间,单位:s), 则它在前 2 s 内所走过的路程为________ m. 答案 2 an 15.数列{an}中,a1=2,an+1= (n∈N*),依次计算 a2,a3,a4,然后 3an+1 归纳猜想出 an 的表达式为________. 2 答案 an= 6n-5 16. 已知 f(x)=x3+3x2+a(a 为常数)在[-3,3]上有最小值 3, 那么[-3,3]上 f(x) 的最大值是________. 答案 57 解析 f′(x)=3x2+6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=-2. ①当 0≤x≤3,-3≤x≤-2 时, f′(x)≥0,f(x)单调递增; ②当-2<x<0 时,f(x)单调递减. 则最小值为 f(-3)或 f(0). 又由 f(-3)=(-3)3+3×(-3)2+a=a,f(0)=a,则 a=3. 所以 f(x)=x3+3x2+3 在 x=-2 或 x=3 处取得最大值,而 f(-2)=7,f(3)= 57.所以最大值为 57. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤)

15-5i 17.(10 分)已知复数 z1=2-3i,z2= , ?2+i?2 求(1)z1· z2; z1 (2)z . 2

15-5i 15-5i 5?3-i??3-4i? 解析 ∵z2= = = 25 ?2+i?2 3+4i = 9-4-15i =1-3i. 5

(1)z1· z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i; z1 2-3i ?2-3i??1+3i? 2+9+3i 11 3 (2)z = = = 10 =10+10i. 1-3i ?1-3i??1+3i? 2 18. (12 分)在曲线 y=x2(x≥0)上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所 1 围成的面积为12,试求切点 A 的坐标以及切线方程.
2 解析 设点 A(x0,x2 0),函数 y=x 的导函数为 y′=2x,所以当 x=x0 导数为

2 x0 . 曲线在点 A 处的切线方程为 y-x2 0=2x0(x-x0),
2 即 y=2x0x-x0 .

x0 可得切线与 x 轴交于点( 2 ,0),阴影部分的面积 S= x0=3x |x00-4x0=12x0=12,解得 x0=1. ?x0x dx- · · 2 2 ?0 所以切点为(1,1),切线方程为 y=2x-1. π 1+tanx 19.(12 分)(1)求证:tan(x+4)= ; 1-tanx 1+f?x? (2)设 x∈R,a≠0,f(x)是非常数函数,且 f(x+a)= .试问 f(x)是周期函 1-f?x? 数吗?证明你的结论.
2

1 x0

2

1

3

1

3

1

3

1

π tan4+tanx 1+tanx π 解析 (1)tan(x+4)= = . π 1-tanx 1-tan4tanx (2)类比猜想:f(x)是以 T=4a 为周期的周期函数. 1+f?x? 1-f?x? 1+f?x+a? 1 因为 f(x+2a)=f(x+a+a)= = =- , f ?x ? 1-f?x+a? 1+f?x? 1- 1-f?x? 1+ 1 所以 f(x+4a)=- =f(x). f?x+2a? 所以 f(x)是以 T=4a 为周期的周期函数. 20.(12 分)已知 a<2,函数 f(x)=(x2+ax+a)ex. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)的极大值是 6· e-2,求 a 的值. 解析 (1)当 a=1 时,f(x)=(x2+x+1)ex, ∴f′(x)=(x2+3x+2)ex. 由 f′(x)≥0,得 x2+3x+2≥0, 解得 x≤-2 或 x≥-1. ∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],[-1,+∞). (2)f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex. 由 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=-a. ∵a<2,∴-a>-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况列表如下: x f′(x) f (x ) (-∞,-2) + ? -2 0 极大值 (-2,-a) - ? -a 0 极小值 (-a,+∞) + ?

∴x=-2 时,f(x)取得极大值.

而 f(-2)=(4-a)· e-2, ∴(4-a)e-2=6· e-2 . ∴a=-2. 1 1 21.(12 分)设正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an+a ),试求 an,并
n

用数学归纳法证明你的结论. 1 1 解析 当 n=1 时,a1=2(a1+a ),∴a1=1.
1

1 1 当 n=2 时,a1+a2=2(a2+a ),∴a2= 2-1(an>0).
2

1 1 当 n=3 时,a1+a2+a3=2(a3+a ),∴a3= 3- 2.
3

猜想:an= n- n-1. 证明:(1)当 n=1 时,已证. (2)假设 n=k 时,ak= k- k-1成立,则当 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk 1 1 1 1 =2(ak+1+ )-2(ak+a ), ak+1 k 1 1 即 ak+1- =-(ak+a ) ak+1 k =-( k- k-1+ ∴ak+1= k+1- k. 由(1)、(2)可知,对 n∈N*,an= n- n-1. 22.(12 分)已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时, f(x)取得极值-2. (1)求 f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4 恒成立. )=-2 k. k- k-1 1

解析 (1)由奇函数的定义, 应有 f(-x)=-f(x),x∈R, 即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=0. 因此 f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c. 由条件 f(1)=-2 为 f(x)的极值,必有 f′(1)=0.
? ?a+c=-2, 故? 解得 a=1,c=-3. ? ?3a+c=0,

因此 f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), f′(-1)=f′(1)=0. 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(-∞,-1)上是增函数; 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0, 故 f(x)在区间(-1,1)上是减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数. ∴f(x)在 x=-1 处取得极大值,极大值为 f(-1)=2. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x(x∈[-1,1])是减函数,且 f(x)在[-1,1]上的最大值 M =f(-1)=2,f(x)在 [-1,1]上的最小值 m=f(1)=-2. ∴对任意的 x1,x2∈(-1,1), 恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=2-(-2)=4.


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