2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理增分练

2019-2020 年高考数学一轮复习第 11 章算法初步复数推理与证明第 3 讲合 情推理与演绎推理增分练
1.(1)已知 a 是三角形一边的长,h 是该边上的高,则三角形的面积是12ah,如果把扇形 的弧长 l,半径 r 分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为12lr;(2)由 1=12,1+ 3=22,1+3+5=32,可得到 1+3+5+…+(2n-1)=n2,则(1)(2)两个推理过程分别属于 ()
A.类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理 答案 A 解析 (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特 殊到一般,此种推理为归纳推理.故选 A. 2.把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个 正三角形(如下图),试求第七个三角形数是( )

A.27 B.28 C.29 D.30

答案 B

解析

观察归纳可知第 n 个三角形数为 1+2+3+4+…+n=n

n+ 2



∴第七个三角形数为

+ 2

=28.

3.[xx·太原模拟]观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5 =11,…,则 a10+b10=( )

A.121 B.123 C.231 D.211

答案 B 解析 令 an=an+bn,则 a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,…,得 an+2=an+an+1,从而 a6= 18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123. 4.[xx·临沂期末]已知 n≥2 且 n∈N*,对 n2 进行“分拆”:22→(1,3),32→(1,3,5), 42→(1,3,5,7),…,那么 289 的“分拆”所得的中位数是( )

A.29 B.21 C.19 D.17

答案 D 解析 自然数 n2 的分裂数中最大的数是 2n-1.

289 分裂的数中最大的数是 2×17-1=33,

1+33 ∴289 的“分拆”所得的数的中位数是 2 =17.故选 D.

5.[xx·南昌模拟]已知 13+23=???62???2,13+23+33=???122???2,13+23+33+43=???220???2,…,若 13 +23+33+43+…+n3=3025,则 n=( )

A.8 B.9 C.10 D.11

答案 C

解析 ∵13+23=???62???2=???2×2 3???2,

13+23+33=???122???2=???3×2 4???2,

13+23+33+43=???220???2=???4×2 5???2,



∴13+23+33+…+n3=???n

n+ 2

???2=n2

n+ 4

2


∵13+23+33+43+…+n3=3025,

n2 n+ 2 ∴ 4 =3025,

∴n2(n+1)2=(2×55)2,

∴n(n+1)=110,

解得 n=10.

6.若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列???Snn???为等差数列,公差为d2.类

似,若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项的积为 Tn,则等比数列{n Tn}的公比 为( )

A.q2 B.q2 C. q D.n q

答案 C

解析 由题设有,Tn=b1·b2·b3·…·bn=b1·b1q·b1q2·…·b1qn-1=bn1q1+2+…+(n-1)=bn1

n- n

2

q

.

n-1 ∴ n Tn=b1q 2 ,∴等比数列{n Tn}的公比为 q,故选 C.
7.[xx·南通模拟]将自然数 0,1,2,…按照如下形式进行摆列:

根据以上规律判定,从 xx 到 xx 的箭头方向是( )

答案 A 解析 从所给的图形中观察得到规律:每隔四个单位,箭头的走向是一样的,比如说, 0→1,箭头垂直指下,4→5,箭头也是垂直指下,8→9 也是如此,而 xx=4×504,所以 xx→xx 也是箭头垂直指下,之后 xx→xx 的箭头是水平向右.故选 A. 8.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算, 算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:

表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码 的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,

以此类推,例如 6613 用算筹表示就是,则 5288 用算筹可表示为________. 答案 解析 根据题意知,5288 用算筹表示,从左到右依次是横式的 5,纵式的 2,横式的 8,
纵式的 8,即. 9.[xx·常州模拟]36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36=22×32,所以 36
的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+ 3+32)=91,参照上述方法,可求得 200 的所有正约数之和为________.
答案 465

解析 类比求 36 的所有正约数之和的方法,200 的所有正约数之和可按如下方法求得:

因为 200=23×52,所以 200 的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+52)=465.

10.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,…,xn,都

有f

x1

+f

x2 +…+f n

xn



f???x1+x2+n …+xn???.若 y=sinx 在区间(0,π )上是凸函数,那么在△ABC 中,sinA+sinB +sinC 的最大值是________.

答案

33 2

解析 由题意知,凸函数满足

f

x1

+f

x2 +…+f n

xn

≤f???x1+x2+n …+xn???,又 y=sinx 在区间(0,π )上是凸

函数,则

sinA+sinB+sinC≤3sinA+3B+C=3sinπ3

3 =

2

3 .

[B 级 知能提升]

1.[xx·徐州模拟]观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|

+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,…,

则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( )

A.76 B.80 C.86 D.92

答案 B

解析 由|x|+|y|=1 的不同整数解的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解的个数为 8,

|x|+|y|=3 的不同整数解的个数为 12,归纳推理得|x|+|y|=n 的不同整数解的个数为 4n,

故|x|+|y|=20 的不同整数解的个数为 80.故选 B.

2.[xx·中山模拟]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;

类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方

形数的是( )

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

答案 C

解析 观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则 a1=1,

a2=a1+2, a3=a2+3,



an=an-1+n. ∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n),∴an=1+2+3+…+n=

n

n+1 2



观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则 bn=n2.把四个选项的数字,分别代 入上述两个通项公式,可知使得 n 都为正整数的只有 1225.

3.[xx·洛阳期末]设 x>0,由不等式 x+1x≥2,x+x42≥3,x+2x73 ≥4,…,推广到 x+xan

≥n+1,则 a=( ) A.2n B.2n C.n2 D.nn 答案 D 解析 设 x>0,由不等式 x+1x≥2,x+x42≥3,x+2x73 ≥4,…,推广到 x+xan≥n+1,所
以 a=nn,故选 D. 4.在锐角三角形 ABC 中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 证明 ∵△ABC 为锐角三角形, ∴A+B>π2 ,∴A>π2 -B,
∵y=sinx 在???0,π2 ???上是增函数, ∴sinA>sin???π2 -B???=cosB, 同理可得 sinB>cosC,sinC>cosA, ∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 5.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:A1D2=A1B2+A1C2,那么在四面体 A-BCD
中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.

解 如图,由射影定理得

AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,

AC2=DC·BC,

11

1

1

DC+BD

1

1

故AB2+AC2=BD·BC+DC·BC=BD·DC·BC=BD·DC=AD2.

在四面体 A-BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AH⊥底面 BCD,垂足为 H.

1111 则AH2=AB2+AC2+AD2.

证明:连接 BH 并延长交 CD 于 E,连接 AE.

∵AB,AC,AD 两两垂直,

∴AB⊥平面 ACD,又∵AE? 平面 ACD,

∴AB⊥AE,在 Rt△ABE 中,

111 AH2=AB2+AE2①

又易证 CD⊥AE,

故在

Rt△ACD

111 中,AE2=AC2+AD2②

1111 把②式代入①式,得AH2=AB2+AC2+AD2.


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