湛江一中2012届高一第二学期6月月考(数学)

湛江一中 2012 届高一第二学期 6 月月考 数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.[ 1.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45 ) )

? ? ? ? 2.已知向量 a ? (1, , b ? ( x , ,若向量 a∥b ,则 x ? ( 2) 4)
A. ?

1 2

B.

1 2


C. ? 2

D.2

3.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 是( 2?

A. 周期为 2? 的偶函数 C. 周期为 ? 的偶函数

B. 周期为 2? 的奇函数 D. 周期为 ? 的奇函数
0

4.在△ABC 中,若 a = 2 , b ? 2 3 , A ? 30 A. 60
?

, 则 B 等于 ( D. 30 或 150
? ?



B. 60 或 120

?

?

C. 30

?

5.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=( A.10 B.9 C.8 D.7 )



6.已知函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b tan x ? 1, 且f (?3) ? 5, 则f (? ? 3) ? ( A.3 B.1 C.-1 D.-3

1 7.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则|a1|+|a2|+…+|an|=( 2 A. 2
n?1



?

1 2

B. 2 ?
n

3 2

C. 4

n?1

?

1 2

D. 4 ?
n

3 2


8. {an} 设 是由正数组成的等比数列, a5a6=81, 3a1+ log3a2+…+ log3a10 的值是 且 log ( A.5 B.10; C.20 D.2 或 4 9.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an?1 ? nan ? an?1an ? 0 ( n =1,2,3,…),
2 2

则它的通项公式是 a100 =( A.100 B.

). C.101 D.

1 100

1 101

10.若函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x ? m 在 ? 0, ( ) A.

? ?? 上有零点,则 m 的取值范围为 ? 2? ?

??1, 2?

B. ?1,3?

C. ? ?1, 2 ? 2 ?

?

?

D. ?1, 2 ? 2 ?

?

?

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分. 11.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若{Sn}是等差数列,则

q =
12.已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2,n? ,若 a ? b ? a? ,则 n ? b .

13.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 依次成等差数列, AB ? 8, BC ? 5 , 则 ?ABC 外接圆的 面积为__ ___.

14. 两千多年前, 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题, 他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数, 按照点或小石子能排列的形状对数进行分类, 如图 1 中的实心 点个数 1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1 ? 1 ,第 2 个五角 形数记作 a2 ? 5 ,第 3 个五角形数记作 a3 ? 12 ,第 4 个五角形数记作 a4 ? 22 ,……,若 按此规律继续下去,则 a5 ? ,若 an ? 145 ,则 n ? .

1

5

12 图1

22

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? 2 cos

2

x ? sin x ? 1 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若 x ? ?

? ? 3? , ?2 4

1 ? ? ,且 f ( x ) ? 5 ,求 sin x 的值. ?

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 x

(1)判断函数的奇偶性,并加以证明; (2)用定义证明 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是减函数;

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过点 A( 2,0) 和点 B(3,1) ,且圆心 C 在直线

x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P(0,1) 且斜率为 k 的直线与圆 C 相交于不同的两点 M , N .
求圆 C 的方程, 同时求出 k 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分) 在等比数列 {an } 中, a1a4 ? 32, a6 ? 64. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 S1 ? 2S2 ? ? ? nSn .

19(本题满分 14 分)

如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA ? 底面 ABC , AB ? BC , 1

D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2.
(1)求证: AB1 // 平面 BC1D ; (2)过点 B 作 BE ? AC 于点 E ,求证:直线 BE ? 平面 AA C1C 1 (3)若四棱锥 B ? AA C1D 的体积为 3,求 BC 的长度 1

20(本小题满分 14 分)
x 已知点(1, 2)在函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上,等比数列 {an } 的前 n 项和为

1 2 f ( n) ? c ,数列 ?cn ? ? cn ? 0? 的首项为 c, 且其前 n 项和 Tn 满足 2 Tn = cn ? n ?1(n ? N ? ) . 2
(1)求数列 {an } 和 ?cn ? 的通项公式; (2)若 bn ?

2cn ? 3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? an

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 1~5 B D C B A 6~10 D A C B D 二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.

11. 1

12. 3

13.

49? 3

14. 35 ,10

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.解: (1)? f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 cos( x ? ), ……………3 分 4
π ? 函数 f ( x ) 的周期为 2π , 又? ?1 ? cos( x ? ) ? 1 故函数 f ( x ) 的值域为 ? ? 2, 2 ? …5 分 ? ? 4

?

(2)∵ f ( x ) ? 因为 x ? ?

1 ?? 2 ? ? 1 ,∴ 2 cos( x ? ) ? , 即 cos ? x ? ? ? , ……………6 分 4 5 5 4 ? 10 ?

? ?? ? ? ? ? 3? ? , ? ,所以 x ? ? ? , ? ,于是 4 ?4 2? ?2 4 ?

?? ?? 7 2 ? ? ……………8 分 sin? x ? ? ? 1 ? cos2 ? x ? ? ? 4? 4 ? 10 ? ?
?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? sin x ? sin ? ? x ? ? ? ? ? sin ? x ? ? cos ? cos? x ? ? sin ? ? 4? 4? 4? 4 4? 4 ? ? ?? ? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5

…………12 分

16. 证明:(1)函数为奇函数,函数定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? ……………1 分

∵ f ( ? x) ? ? x ?

1 1? ? ? ? ? x ? ? ? ? f ( x) ………………3 分 x x? ?

∴函数 f ( x ) 为奇函数………………4 分

(2)设 x1 , x2 ? ?0,1? 且 x1 ? x2 ………………5 分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ?

? 1 1 1 ? ( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) ………9 分 ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ?1 ? ?? x1 x2 x2 x1 ? x1 x2 ?

? 0 ? x1 ? x2 ? 1,? x1 x2 ? 1, x1 x2 ? 1 ? 0 ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 .

? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0, f ?x2 ? ? f ?x1 ? ………………11 分
因此函数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是减函数………………12 分 17.解: (1)方法一:AB 的中垂线方程为 y ? ? x ? 3 ………… 2 分 联立方程 ?

?x ? y ? 3 ? 0 解得圆心坐标 (3,0) …… 5 分 ? y ? ?x ? 3
2

r?

?3 ? 2?

? 0 ? 1 …………………………………… 6 分

故圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ………………………… 8 分 方法 2:设圆 C 的方程为 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 , ………… 2 分
2 2

依题意得:

?a ? b ? 3 ? 0 ? 2 2 ? ?a ? 2? ? b ?

?a ? 3?2 ? ?b ? 1?2

?a ? 3 ? …… 5 分,得 ?b ? 0 ………… 7 分 ? r. ?r ? 1 ?

故圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ………………………………………… 8 分 方法一 由直线 y ? kx ? 1 与圆相交,得圆心 C 到直线的距离小于半径



3k ? 1 1? k
2

?1? ?

3 ? k ? 0 …………………………………… 14 分 4

方法二:联立方程组

6 ? 2k ? ? y ? kx ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 2 ? (1 ? k ) x ? (2k ? 6) x ? 9 ? 0 ? ? 1? k2 ? 2 2 ?( x ? 3) ? y ? 1 ?? ? 0 ?
由 ? ? 0 ? ?8k ? 6k ? 0 ? ?
2

3 ? k ? 0 ………………………… 14 分 4

18. (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意 ?

?a1 ?a1q 3 ? 32 ? ………………2 分 5 ?a1q ? 64 ?

解得 a1 ? 2, q ? 2, ………………4 分

? an ? 2n ………………5 分

(2) Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 2(2n ? 1) ………………6 分 , 所以 1? 2

S1 ? 2S2 ? ? ? nSn ? 2 ?? 2 ? 2?22 ? 3?23 ? ? ? n?2n ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?? …………8 分 ? ?
设 Tn ? 2 ? 2? 2 ? 3? 3 ? ? ? n? n …………………………①, 2 2 2

2Tn ? 22 ? 2? 3 ? 3? 4 ? ?? n? n?1 …………………②,……………9 分 2 2 2
2(1 ? 2n ) ? ? n?2n ?1 ? ?(n ? 1)?2n ?1 ? 2 1? 2

2 ①-②,得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n?
2 3 n

n ?1

∴ Tn ? (n ?1)? n?1 ? 2 ………………12 分 2 ∴ Sn ? (n ?1)? n?2 ? 4 ? n(n ?1) ………………14 分 2 19(本题满分 12 分) (1)证明:连接 B1C , 设 B1C ? BC1 ? O ,连接 OD , ………1 分

? BCC1 B1 是平行四边形, ?点 O 是 B1C 的中点, ?D 是 AC 的中点, ? OD 是 ?AB1C 的中位线, ? AB1 // OD ………………………………………………3 分 又 AB1 ? 平面BC1D, OD ? 平面BC1D ? AB1//平面 BC1D…………………………………………5 分 (2) ? A1 A ? 平面ABC, BE ? 平面ABC, ? A1A ? BE, ………………………………………7 分, 又 BE ? AC, AC ? A1A ? A ……………………9 分

?直线 BE ? 平面 AA1C1C ………………………………………10 分
(2)的解法 2:

? A1 A ? 平面ABC, A1A ? 平面AA1C1C,? 平面AA1C1C ? 平面ABC …………7 分 又平面AA1C1C ? 平面ABC ? AC, BE ? AC, BE ? 平面ABC,

?直线 BE ? 平面 AA1C1C ………………………………………10 分
(3)由(2)知 BE 的长度是四棱锥 B—AA1C1D 的体高 A1 A ? AB ? 2. 设

BC ? x ? 0, Rt ?ABC 中, AC ? BE ? AB ? BC,? BE ? ? S AA 1C1D ?

2x ………………………11 分 AC

1 13 3 ? ?A1C1 ? AD ? ? A1A ? AC ? 2 ? AC, …………………………12 分 2 22 2 1 1 3 2x ? 3, …………………………………13 分 ? VAA1C1D ? S AA 1C1D ? BE ? ? AC ? 3 3 2 AC ? x ? 3,? BC ? 3 …………………………………………………14 分
x 20.解: (1)∵点(1, 2)是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上,

∴ f (1) ? a ? 2 ,∴ f ( x) ? 2x …………………… 1 分 ∵数列 {an } 的前 n 项和为 f ( n) ?

1 1 1 c ,∴ a1 ? f (1) ? c ? 2 ? c , 2 2 2

1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? a2 ? ? f (2) ? c ? ? ? f (1) ? c ? ? 2 , a3 ? ? f (3) ? c ? ? ? f (2) ? c ? ? 4 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ?
又数列 {an } 是等比数列, a1 ?

a 2 ? 1 ? 2 ? 1 c ,∴ c ? 2 ,公比 q ? 2 ,………
a3 2

2

4分

an ? 2n?1 ………………………………5 分
2 2 当 n ? 2, n ? N , 2cn ? 2Tn ? 2Tn?1 ? cn ? cn?1 ? 1,
2 2 2 cn ? 2cn ? 1 ? cn ?1 ? 0 ? ? cn ? 1? ? cn ?1 ? ? cn ? cn ?1 ? 1?? cn ? cn ?1 ? 1? ? 0 , 2

?

∵ c1 ? c ? 2, cn ? 0 ,∴ ? cn ? cn?1 ?1? ? 0 ,∴ cn ? cn?1 ? 1 ? 0, cn ? cn?1 ? 1……… 7 分 所以数列 ?cn ? 是首项是 2,公差是 1 的等差数列,其通项公式为: cn ? 2 ? (n ?1)? ? n ? 1 1 ………………………………8 分 (2)解:由(1) ,得

bn ?

2cn ? 3 2n ? 5 .………………………9 分 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? an ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2n?1 1 1 .………11 分 ? n?2 ? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 3? 2n?1

所以 bn ?

所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? 1 ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? . ?1 0 ? 0 1 ? 1 2 ? n?2 n ?1 ? ? ? 2n ? 1? 2 5?2 ? ? 5?2 7?2 ? ? 7?2 9?2 ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3?2 ? ?

?

2 1 ……………………………13 分 ? 3 ? 2n ? 3? 2n?1 2 1 ? .…………………………14 分 3 ? 2n ? 3? 2n ?1

故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?


相关文档

湛江一中2011-2012高一第二学期6月月考数学
湛江一中2011-2012高一第二学期6月月考理综
湛江一中2012届高一第二学期6月月试(理综)
2011-2012学年广东省湛江一中高一6月月考数学试卷(带解析)
广东省湛江一中2011-2012学年高一数学6月月考试题新人教A版
湛江一中2012届高一第二学期6月月考(文综)
广东省湛江一中2011-2012学年高一6月月考数学试题
广东省湛江一中2011-2012学年高一6月月考试题数学
【首发】广东省湛江一中2011-2012学年高一6月月考试题数学
湛江一中2012届高一下学期期末考试(数学)
电脑版