高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线预习导航学案新人教A版选修4-4

四 课程目标 1.借助教具或计算机软件,观察圆在直线 上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直 线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐 开线).知道平摆线和渐开线的生成过 程,以及它们的参数方程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、内摆线的 生成过程;学会摆线在实际应用中的实 例. 渐开线与摆线 预习导航 学习脉络 1.渐开线 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持 绳子与圆相切而逐渐展开, 那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开线的 基圆. 2.摆线 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时, 圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆 线又叫旋轮线. 3.圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线的参数方程: ? x ? r (cos? ? ? sin? ), (φ 为参数). ? ? y ? r (sin? ? ? cos? ) (2)圆的摆线的参数方程: ? x ? r (? ? sin? ), (φ 为参数). ? ? y ? r (1 ? cos? ) 名师点拨 实际意义. 思考 1 圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数 φ 的几何意义是什么? 提示:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母 r 是指基圆的半径, 而参数 φ 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角度.如图,其中的∠AOB 即是 角 φ .显然点 P 由参数 φ 唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把 点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单. 1 圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程, 普通方程既繁琐又没有 同样, 根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程, 可知其中的字母 r 是指定圆的半径, 参数 φ 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决 问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取 值的具体情况. 思考 2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程吗? 提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.有些重要但较 复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既 复杂又不易理解, 从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义. 如圆的渐开线普通方程, 可以根据其参数方程 ? ? x ? r (cos? ? ?sin? ), (φ 为参数)消去参数 φ ,得普通方程,但根据 ? y ? r (sin? ? ?cos? ) 方程画出曲线十分费时.而利用参数方程把两个变量 x,y 间接地联系起来,常常比较容易, 方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的 关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数 方程,而不去讨论其普通方程. 2

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