数学必修四课件 2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示_图文

1 ? 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 ? 2.3.3 平面向量的坐标运算 2 目标定位 1.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示 2.掌握平面向量的坐标 运算,能准确运用向 量的加法、减法、实 数与向量的积的坐标 运算法则进行有关的 运算 重点难点 重点:掌握平面向量 的坐标运算,能准确 运用向量的加法、减 法、实数与向量的积 的坐标运算法则进行 有关的运算 难点:准确运用向量 的加法、减法、实数 与向量的积的坐标运 3 ? 1.平面向量的正交分解 互相垂直 ? 把一个向量分解为两个 ____________的向 量,叫做把向量正交分解. 4 ? 2.平面向量的坐标表示 相同 单位 有且只有 a=xi+yj (x,y) x a=(x,y) y 5 ? 3.平面向量的坐标运算 向量的 加、 减法 实数与 向量的 积 向量的 坐标 (x1+x2,y1+y2) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=___________ , (x1-x2,y1-y 2) a-b=__________ ,即两个向量和 (差)的坐标分别等 相应坐标的和(差) 于这两个向量________________ (λx,λy) ,即实数与向 若 a=(x,y),λ∈R,则 λa=________ 相应坐标 量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________ → → 已知向量AB的起点 A(x1,y1),终点 B(x2,y2),则AB= (__________ x2-x1,y2-y1,即一个向量的坐标等于表示此向量的有 ) 终点 的坐标减去________ 起点 向线段的______ 的相应坐标 6 ? 1.判一判(判断下列说法的正误) ? (1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐 标一定不同.( ) ? (2)向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) ? (3)在平面直角坐标系中,两相等向量的终点 坐标一样.( ) ? 【答案】(1)× (2)× (3)× 7 → 2.已知MN=(2,3),则点 N 位于( A.第一象限 C.第三象限 【答案】D ) B.第二象限 D.不确定 8 → 3.已知 M(2,3),N(3,1),则向量NM的坐标是( A.(2,-1) C.(-2,1) 【答案】B ) B.(-1,2) D.(1,-2) 4.已知向量 m=(2,-4),n=(-6,2),则向量 n-m 的坐 标为______________________. 【答案】(-8,6) 9 ? ? ? ? ? ? 平面向量的坐标表示 【例1】 如图所示,若向量e1,e2是一组单 位正交向量,则向量a+b在平面直角坐标系 中的坐标为( ) A.(3,4) B.(2,4) C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4) 10 【解题探究】以向量 a,b 公共的起点为坐标原点,建立坐 标系,可得向量 a=(2,1),b=(1,3),结合向量坐标的线性运算 性质,即可得到向量 a+b 在平面直角坐标系中的坐标. 11 ? 【答案】A ? 【解析】以向量a,b公共的起点为坐标原 点,建立如图坐标系. ? ∵e1=(1,0),e2=(0,1),∴a=(2,1),b= (1,3).∴a+b=(2,1)+(1,3)=(3,4),即a+b 在平面直角坐标系中的坐标为(3,4).故选A. 12 ? 【方法规律】求点和向量坐标的常用方法 ? (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对 于坐标原点的位置向量的坐标. ? (2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量 的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减 去起点坐标得到该向量的坐标. 13 如图,已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, → → |OA|=4 3,∠xOA=60° ,求向量OA的坐标. 14 【解析】设 A(x,y),利用三角函数的定义,可得 sin 60° y x = ,cos 60° = , → → |OA| |OA| 3 → ∴y=|OA|sin 60° =4 3× =6, 2 1 → x=|OA|cos 60° =4 3× =2 3. 2 → ∴A(2 3,6).∴OA=(2 3,6). 15 ? 平面向量的坐标运算 → 【例 2】 已知平面上三个点 A(4,6), B(7,5), C(1,8), 求AB, → → → → → → 1→ AC,AB+AC,AB-AC,2AB+ AC. 2 → → 【解题探究】 点的坐标 → AB与AC → 线性运算 16 【解析】∵A(4,6),B(7,5),C(1,8), → ∴AB=(7,5)-(4,6)=(3,-1), → AC=(1,8)-(4,6)=(-3,2). → → ∴AB+AC=(3,-1)+(-3,2)=(0,1), → → AB-AC=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), 1 → 1→ 2AB+ AC=2(3,-1)+ (-3,2) 2 2 ? 3 ? ?9 ? ? ? ? =(6,-2)+?-2,1?=?2,-1? ?. ? ? ? ? 17 ? 【方法规律】(1)在进行平面向量的坐标运算 时,应先将平面向量用坐标的形式表示出 来,再根据向量的坐标运算法则进行计算. ? (2)在向量的运算中要注意待定系数法、方程 思想和数形结合思想的运用. 18 → 若向量AB=(1,2)且 A 点坐标为(2,3),则 B 点坐 标为( ) B.(3,5) D.(-1,-1) A.(2,6) C.(1,1) 【答案】B → 【解析】设点 B 的坐标为(x,y),∵向量AB=(1,2)且 A 点 坐标为(2,3),∴(1,2)=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).∴x-2=1, y-3=2,解得 x=3,y=5,故 B 点坐标为(3,5).故选 B. 19 ? 平面向

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