人教版初三数学一元二次方程5

一元二次方程
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一元二次多項式的 因式分解

(1)

抽公因子
例 3x2 + 2x = x ( 3x + 2 )

(2)

利用恆等式
例 x2 - 2x + 1 = x2 - 2(x)(1) + (1)2 =(x - 1)2

(3)一元二次方程的因式分解
(a)一元二次方程的形式是px2 + qx + r, 設 p=1, 同時考慮(x + a)(x + b)
= (x + a)x + (x + a)b = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab 比較 x2 + qx + r,我們得出 r = ab q=a+b

例: 分解 x2 + 3x + 2 為因式

我們知道 q = 3, r = 2.
2 = (+1)(+2) 或 2 = (-1)(-2) 但 3 = (+1) + (+2)

x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

同樣地,分解 x2 + 3x + 2 為因式, 可以使用十字相乘法:
x +1 x +2 +x +2x = +3x x x -x -1 -2 -2x = -3x

所需的因式為: (x + 1) 和 (x + 2). 所以 x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

(b) 形式 px2 + qx + r, 當 p ≠ 1. 例子
解 6a2 = (a)(6a) 或 6a2 = (2a)(3a)

將 6a2 + a – 1 分解為因式

-1 = (+1) x (-1)

將 6a2 + a – 1 分解為因式
重新排列如下:
a 2a 6a 3a +6a +1 -1 -1 +1 -a = +5a

將 6a2 + a – 1 分解為因式
重新排列如下:
a 2a 6a 3a -6a +1 -1 -1 +1 +a = -5a

將 6a2 + a – 1 分解為因式
重新排列如下:
a 2a 6a 3a +3a +1 -1 -1 +1 -2a = +a

6a2 + a - 1 = (2a + 1)(3a - 1)

練習 1 :
將 x2 + 4x + 3
x x +x

分解為因式
+1 +3 +3x = +4x

x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)

練習 2 :
將 2a2 + a – 6 分解為因式
a 2a +4a +2 -3 -3a = +a

a2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3)

一元二次方程
一元二次方程的通式是: ax2 + bx + c = 0 例子 : x2 - 3x + 2 = 0

解一元二次方程: 我們知道: 對於任何二數 a 及 b , 若 ab = 0 , 則 a = 0 或 b = 0

例子:

x2 - 3x + 2 = 0 可以寫成
(x - 1)(x - 2) = 0 我們得出 x-1=0 或 x-2=0

x=1



x=2

例子 1

解方程 x2 = 7x
解: x2 - 7x = 0 x(x - 7) = 0 x =0 x=0
抽公因子

或 或

x-7=0

x=7

例子 2

解方程 x2 - 6x + 9 = 0 解:
利用 恆等式 x2 - 6x + 9 = 0 (x - 3)(x - 3) = 0 x-3=0 x-3=0 或 或 x=3 x=3 x = 3 (重根) i.e.

例子 3

解方程 x2 - 5x + 6 = 0 解:
利用 十字相乘法 x2 - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 x-3=0 x-2=0 或 或 x=2 x=3

練習 1 解方程 10t2 - 15t = 0
解: 10t2 - 15t = 0 5t(2t - 3) = 0 或 5t = 0 或 t=0

2t - 3 = 0 t = 3/2

練習 2 解方程 m2 - 14m + 49 = 0
解: m2 - 14m + 49 = 0 (m - 7)2= 0 m-7=0 或 m-7=0 或 m=7 m=7 m = 7 (重根) i.e.

練習 3 解方程 24x2 + 15x - 9 = 0
解: 24x2 + 15x - 9 = 0 (3x + 3)( 8x - 3) = 0 3x + 3 = 0
3x +3 8x -3 +24x -9x = +15x

或 或

8x - 3 = 0 x = 3/8

x = -1

一元二次方程

END

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位老人家后,回到自己租住的房间。耿英进套间里看了看,出来低声对耿正说:“哥,我不想一个人睡套间里”耿正心 痛地想:爹刚刚没了,妹妹大概是因为伤痛过度而导致胆怯了,就对她说:“外间的大床很宽敞呢,能睡得下三个人的 ,咱们都睡大床吧,过些天住习惯了就好了。等你什么时候想到套间里睡了,再搬进去!”晚上,兄妹三人躺在宽敞的 大床上低声说话。耿正说:“谢天谢地,我们找到了这么好的房东。”耿英说:“是啊,他们是难得的好人,而且房租 实在是不高。”耿直说:“就是这巷子也太深了一点儿。从大街上进来,得走好一会儿呢。”耿正说:“巷子深点儿没 有关系的,反正咱们现在又做不起任何生意。”耿英叹息一声:“咳,还做什么生意啊!咱们眼下最重要的是赶快想办 法赚钱养活自己!”耿正说:“英子你说得对,咱们必须得赶快想办法赚钱养活自己!明儿个一早,咱们就到街面上转 一转,看看有没有需要帮忙干活儿的地方。”耿英说:“最好是能找一个可以发挥我们特长的地方,比如收银记账什么 的。”耿直难过地说:“看来啊,我今后可成了你俩的累赘了”耿正和耿英听了,忍不住鼻子阵阵发酸。他俩一边一个 伸出一只手来紧紧地抓住了弟弟的手耿正说:“傻兄弟你在说什么呢,你永远都是哥哥姐姐的开心果哇。哥哥姐姐会教 你习字算账,把咱爹交给我们的文化知识全都教给你。而且啊,我们俩也要继续学习的。咱爹说过,学无止尽呢。”耿 英也说:“小直子,你哪里是哥哥姐姐的累赘啊,你是我俩的好帮手哩,我们不能没有你啊!”耿直哭了。哥哥姐姐为 他擦干眼泪。姐姐还含着泪在他的额头上亲了一下,说:“听咱哥的,以后可要好好地读书习字啊!”耿直用劲点点头 ,抽泣着坚定地说:“我会的”次日一早,耿正兄妹三人来老夫妇这边告辞,说是要去街面上转转,看看有没有适合做 的活计。老妇人说:“吃了早饭以后再出去吧!”耿正说:“谢谢奶奶,不用了。我们昨儿个进来时,发现巷子口的西 边有一个小饭店,价格挺便宜的,就到那里简单吃一点儿吧!”老爷子说:“哦,那是老梁头夫妇俩开的小铺子啊!他 们已经开了好多年了,是大好人哩,卖的各种小吃价格挺合理的,铺子里也很干净。”耿英说:“噢,我看到了,门口 的招牌上写着‘梁计小饭店’呢!”老妇人也就不再客气什么了,说:“那也好,你们就去那里简单对付对付吧。还有 事儿要办呢,就不耽误你们的时间了。喏,这是院门儿的钥匙,你们随身带上吧!要是我俩不在家,你们就自己开门回 来。”一连几日,耿正兄妹三人都是早出晚归,但却总也找到一个合适的事情可做。转眼间,时间已经快到仲夏的农历 十五了,事情仍然没有任何结果。那一晚,夜空中的浮云一朵朵一片片的,透过窗


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