2020年浙江高考数学一轮复习: 正弦定理和余弦定理的应用_图文

第八 节
正弦定理和余弦定理的应用

课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能

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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础

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必过 教材 关

1.仰角和俯角

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在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视

线在水平视线 上方 时叫仰角,目标视线在水平视线 下方

时叫俯角.(如图(a)).

2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图(b)).
3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达 为北(南)偏东(西)××度.

[小题体验]

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1.如图,为测一树的高度,在地面上选取

A,B两点,在A,B两点分别测得树顶

P处的仰角为30°,45°,且A,B两点之

间的距离为10 m,则树的高度h为

()

A.(5+5 3)m

B.(30+15 3)m

C.(15+30 3)m

D.(15+3 3)m

解析:在△PAB中,由正弦定理,得sin?451°0-30°?=sinPB30°,

因为sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=

6- 4

2,

所以PB=5( 6+ 2)(m),所以该树的高度h=PBsin 45°=

(5+5 3) m. 答案:A

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2.如图,设A,B两点在河的两岸,一测 量者在A的同侧,选定一点C,测出AC 的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB =105°,则A,B两点的距离为_____ m. 答案:50 2

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必过易错关

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易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向线与目 标方向线按顺时针之间的夹角,而方向角是正北或正南方向 线与目标方向线所成的锐角.

[小题纠偏]

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1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角

是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC=________. 答案:130° 2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC

=BC,则点A在点B的________. 解析:如图所示,∠ACB=90°,

又AC=BC,

∴∠CBA=45°,而β=30°,

∴α=90°-45°-30°=15°.

∴点A在点B的北偏西15°. 答案:北偏西15°

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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点

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考点一 测量高度问题 ?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领] 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向
正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到 达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向 上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

解析:由题意,在△ABC中,∠BAC=30°, ∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又AB=600 m,故由正弦定理得si6n0405°=sinBC30°, 解得BC=300 2(m).
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300 2× 33=100 答案:100 6

6(m).

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[由题悟法] 求解高度问题应注意的3个问题 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在 铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角) 是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研 究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面 图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为 平面问题.

[即时应用]

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为了测量某新建的信号发射塔AB的高度,先取与发射塔底部

B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BDC=60°,

∠BCD=75°,CD=40 m,并在点C的正上方E处观测发射塔顶

部A的仰角为30°,且CE=1 m,则发射塔高AB为________m.

解析:如图,过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=BC,

BF=CE=1,∠AEF=30°.

在△BCD中,由正弦定理得,

BC=CDsi·nsi∠n∠CBBDDC=40s·isnin456°0°=20 6,

所以EF=20 6.

在Rt△AFE中,AF=EF·tan∠AEF=20 6× 33=20 2,

所以AB=AF+BF=(20 2+1)m. 答案:(20 2+1)

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考点二 测量距离问题 ?题点多变型考点——多角探明?
[锁定考向] 研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的 辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边 长问题,从而利用正、余弦定理求解. 常见的命题角度有: (1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达.

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[题点全练] 角度一:两点都不可到达 1.(2017·宁波期中)如图,要测量河对岸
C,D两点间的距离,在河边一侧选定两 点A,B,测出AB间的距离为20 3 m, ∠DAB=75°,∠CAB=30°,AB⊥BC,∠ABD=60°. 则C,D两点之间的距离为________m.

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解析:在Rt△ABC中,BC=ABtan∠CAB=20 3×tan 30°=20.

在△ABD中,∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=45°.

由正弦定理可得:sin∠BDDAB=sin∠ABADB,

∴BD=20

s3i×n 4s5in°75°=20



6+ 4

2

2 =10(3+

3)(m).

2

在△BCD中,由余弦定理可得:DC2=202+100(3+ 3)2

-2×20×10(3+ 3)×cos 30°=1 000.

解得DC=10 10(m). 答案:10 10

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角度二:两点不相通的距离 2.如图所示,要测量一水塘两侧
A,B两点间的距离,其方法先 选定适当的位置C,用经纬仪测 出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B 两点间的距离.即AB= a2+b2-2abcos α. 若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,则A,B 两点的距离为________m.

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解析:在△ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 (m). 即A,B两点间的距离为200 7 m. 答案:200 7

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角度三:两点间可视但有一点不可到达 3.如图所示,A,B两点在一条河的两岸,
测量者在A的同侧,且B点不可到达, 要测出A,B的距离,其方法在A所在的 岸边选定一点C,可以测出A,C的距离m,再借助仪器, 测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理 就可以求出AB. 若测出AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B 两点间的距离为________m.

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解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°, 所以由正弦定理得,siAnBC=siAnCB, 所以AB=ACsi·nsinB C=60× sinsi6n0°45°=20 6(m). 即A,B两点间的距离为20 6 m. 答案:20 6

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[通法在握] 求距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的 三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知 量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择 更便于计算的定理.

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[演练冲关]

1.(2018·湖州模拟)从点A观察一轮船,开始轮船位于点A北偏

东60°的方向上,过45分钟后发现轮船位于点A北偏东30°方

向上,再过15分钟后发现轮船位于点A的正北方向,已知轮

船一直是直线航行的,则当轮船位于点A的正西方向时,需

再用的时间为

()

A.45分钟

B.1小时

C.1.5小时

D.2小时

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解析:建立如图所示的坐标系,则∠DAC =30°,∠DAB=60°,BC=3CD,∴AB= 3AD,设D(0,1),则B????3 2 3,32????, ∴直线DB的方程为y= 93x+1,AE=3 3,DE=2 7, BD= 7,DE=2BD, ∴再过2小时,轮船位于点A的正西方向.故选D. 答案:D

2.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个 返回

灯塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到

这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为( )

A.15 2 km

B.30 2 km

C.45 2 km

D.60 2 km

解析:如图所示,依题意有AB=15×4=

60,∠DAC=60°,∠CBM=15°,

∴∠MAB=30°,∠AMB=45°.

在△AMB中,由正弦定理,

得sin6045°=siBnM30°,解得BM=30 2,故选B. 答案:B

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考点三 测量角度问题 ?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领] 已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私 艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西 22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5小时能截住该走私船? ????参考数据:sin 38°≈5143,sin 22°≈3143????

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解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正

南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x n mile,

则BC=0.5x,AC=5,依题意,∠BAC=180°-38°

-22°=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-

2AB·AC·cos 120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.

又由正弦定理,得sin∠ABC=AC·siBn∠C BAC=5×7

3 2 =5143,

所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,

故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截

住该走私船.

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[由题悟法] 解决测量角度问题的3个注意事项 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这 一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中 也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

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[即时应用] (2018·宁波期末)某工程队在南海海域进行 填海造地工程,欲在边长为1千米的正三 角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面 ABC内),建设一条军用飞机跑道AD,在D点测得B,C两点 的视角∠BDC=60°,如图所示,记∠CBD=θ,如何设计θ, 使得飞机跑道AD最长?

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解:在△BCD 中,BC=1,∠BDC=60°,∠CBD=θ,

由正弦定理知sinBC60°=sin?1B20D°-θ?,

所以

BD=sins?1in206°0-°θ?=cos

θ+

3 3 sin

θ,

在△ABD 中,AB=1,∠ABD=60°+θ,

由余弦定理知 AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos(60°+θ),AD2=

12+????cos θ+

3 3 sin

θ????2-2×1×????cos

θ+

3 3 sin

θ ????

????12cos θ-

3 2 sin

θ ????

=1+43sin2θ+4

3

3 sin

θcos

θ=53+43sin(2θ-30°).

当 2θ-30°=90°,即 θ=60°时,跑道 AD 最长.

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