中档训练题9

卧薪尝胆,天不负;破釜沉舟,事竟成★☆★☆★ 兴化市楚水实验学校高三数学复习 高三数学中档训练题 9 1 一个电路中有三个电子元件,它们接通的概率都是 m(0<m<1 ) 如图,有如下三 种联接方法: ① ② ③

(1)分别求出这三种电路各自接通的概率; (2)试分析这三种电路哪种性能最优,并证明你的结论.

2.在直角三角形 ABC 中,∠ACB=30°,∠B = 90°,D 为 AC 的中点,E 为 BD 中点, AE 的延长线交 BC 于点 F, (如图 1`).将△ABD 沿 BD 折起,二面角 A—BD—C 的大小 记为θ , (如图 1``) A (1)求证:面 AEF⊥面 BCD; (2)当θ 为何值时,AB⊥CD? A D E B F C

3.某森林失火了,火势正以每分钟 100m2 的速度顺风蔓延,消防队员在失火后 5 分钟到 达现场开始救火,已知每个队员平均每分钟可灭火 50m2,所消耗的灭火材料,劳务津贴等 费用平均每人每分钟 125 元,另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人 100 元,而每烧毁 1m2 的森林的损失费为 60 元,消防队共派 x 名队员前去救火,从到达现场开始救火到把火 完全扑灭共耗时 n 分钟. (Ⅰ)求出 x 与 n 的关系. (Ⅱ)问 x 为何值时,才能使得总损失最小?

4.如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (2≤ m ≤5),过其左焦点 F1 且斜率为 1 的直线与椭圆 m m ?1

及其准线的交点从左到右依次为 A 、 B 、 C 、 D ,记 f (m) ?|| AB | ? | CD || . (Ⅰ)求 f ( m) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( m) 的最大值和最小值.

y

D

C F A B

O

x

1 解: (1)三种电路各自接通分别记为事件 A1、A2、A3,则 P(A1)=m3
P(A2)=1-(1-m)3=3m-3m2+m3 P(A3)=2(1-m)m2+m3=2m2-m3 P(A2)-P(A1)=3m-3m2=3m(1-m) ∵0<m<1 ∴P(A2)>P(A1) ∴P(A2)>P(A3) P(A2)-P(A3)=2m3-5m2+3m=m(2m-3) (m-1)>0 三个电子元件并联接通的概率最大,故性能最优

2(1)由题设可知

AB =

1 AC ,D 为 AC 的点 2

∴AB = AD

又 E 为 BD 的中点 ∴AE⊥BD ∵BD⊥EF ∴BD⊥平面 AEF ∵BD ? 平面 BCD ∴平面 AEF⊥平面 BCD (2)设 A 点平面 BCD 的射影为 G,由(1)知 G∈EF,连结 BG 交 CD 的延长线于 H BG 为 AB 在平面 BCD 上的射影,若 CD⊥AB 则 CD⊥BG,垂足为 H。由平几 知识可知 G 为正△ABD 的中心,设 AB = 2 a ,AE =

3a, GE ? 3a, 又

GE 1 1 1 ? ,? ?AEG ? arccos ,? ? ? ? arccos , AE 3 3 3 1 故当 ? ? ? ? arccos 时,CD⊥AB. 3 cos ?AEG ?
3 解: (Ⅰ)由题意可知,消防队员到达现场时失火面积为 5×100=500m2 又依题意可知, x ? 50 ? n ? 500 ? 100 n ,

10 ( x ≥3,且 x ? N ) x?2 (Ⅱ)设总损失为 y ,则
∴n ?

y ? 125nx ? 100x ? 50nx ? 60
= 3125 nx ? 100 x

10 x ? 100 x x?2 62500 ? 100 ( x ? 2) ? 200 = 31250 ? x?2
= 3125 ≥ 2 100( x ? 2) ?

62500 ? 31450? 36450 x?2
62500 ? x ? 27 . x?2

当且仅当 100 ( x ? 2) ?

答:当 x ? 27 时,才使得总损失最小.

4 解: (Ⅰ)设点 A 、 B 、 C 、 D 在 x 轴上的射影分别是

A1 ( x1 ,0), B1 ( x2 ,0),C1 ( x3 ,0), D1 ( x4 ,0) ,则:
f ( m) = | 2 ( x2 ? x1 ) ? 2 ( x4 ? x3 ) | ,且 x1 ? x4 ? 0 ,
∴ f ( m) = 2 | x2 ? x3 | . 又由已知易得椭圆的左焦点为 F1 (?1,0) , ∴过点 F1 的直线方程为 y ? x ? 1 ,把它代入

x2 y2 ? ? 1 ,得 m m ?1

(2m ? 1) x 2 ? 2mx ? 2m ? m2 ? 0 .
∴ x2 ? x3 ?

? 2m 1 ? ?1 ? 2m ? 1 2m ? 1

f ( m) = 2 | x2 ? x3 | = 2 1 ?

2 1 = 2? (2≤ m ≤5). 2m ? 1 2m ? 1

(Ⅱ)∵当 m ? [2,5] 时, y1 ? 2m ? 1 为增函数, ∴ f ( m) = 2 ?

2 为[2,5]减函数, 2m ? 1 4 2 10 2 ; f ( m) 最小值= f (5) ? . 3 9

∴ f ( m) 最大值= f ( 2) ?


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