平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

2.4.2《平面向量数量积
的坐标表示、模、夹角》
泰安英雄山中学 马刚

目标引领
? 1:掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的 坐标形式进行平面向量数量积、模、夹角的求解 运算,判断两平面向量的垂直关系. ? 2:通过解题实践体会公式和向量垂直的条件的应 用. ? 3:通过用向量的坐标反映向量的数量积,让学生 体会到代数与几何的完美结合,说明事物是可以 相互联系与转化的,激发学生的学习兴趣,进一 步体会数形结合的思想方法.

教学重点:平面向量数量积的坐标 表示;向量的模及向量夹角余弦值 的坐标表示。
教学难点:平面向量数量积的坐 标表示。

一、复习引入
向量数量积的定义
? ? ? ? a ? b = a ? b cos θ

向量数量积的性质

? ? ?2 ? ? ? a?a= a ; a = a?a
? ? a?b ? ? ? ? a ⊥ b ?a ? b = 0; cosθ = ? ? ab

向量数量积的运算律
(1)交换律

? ? ? ? a?b = b ? a
? ? ? ? ? ? (λa) ? b = λ(a ? b ) = a ? (λb )

(2)数乘结合律

(3)分配律

? ? ? ? ? ? ? (a + b ) ? c = a ? c + b ? c

向量的坐标运算
? ? a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
? ? a = ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 )

? ? a - b = ( x1 - x2 , y1 - y2 )

? λa = (λx1, λy1 )

怎么用a和b的坐标表示a ? b呢?

二、新课导学
1、平面向量数量积的坐标表示

如图,i是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,
由于 a ? b ? a ? b cos? 所以
1 1 j ? j ? . . i ?i ?
i ? j ? j ?i ? 0 .

y A(x ,y ) 1 1
j

B(x2,y2)
b

a

o i

x

下面研究怎样用

a和b的坐标表示a ? b.
设两个非零向量 ? ? ? a = x1i + y1 j
a

=(x1,y1), b=(x2,y2),则
? ? ? b = x2i + y2 j

? ? ? ? ? ? a ? b = ( x1i + y1 j ) ? ( x2i + y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 = x1 x2i + x1 y2i ? j + x2 y1i ? j + y1 y2 j

= x1 x 2 + y1 y2

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

? 学以致用:已知 a =(-1,2? ),b =(3,2 ) 则 a ? b =______,a ?( a - b )=______
a ? b =(-1)? 3+2 ? 2=1 a - b =(-1-3,2-2)=(-4,0) a ?( a - b )=(-1)( ? -4)+0? 2=4

? ? a ? a = xx + yy

y

A(x,y)
a
i

=x +y

2

2
b
j

o

x

a ? AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

y

A(x1,y1)

a B(x2,y2)
j

o

i

x

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为?(0 ? ? ? 180 ),
? ?

则 cos ? ?

a ?b ab

设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.

例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.
还有其它判断方法吗?

y
C(-2,5)

证明:

? AB = ( 2 -1 , 3 - 2) =( 1 , 1)

AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)
?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

B(2,3) A(1,2)
0

? AB ? AC

x

?三角形 ABC是直角三角形 .

变式
已知 a =(1+ m ,-3)b

=(1,m -1)

若( a + b )⊥( a - b )求m的值

? ? - 4) 例2.设 a = (5,-7),b = (-6,

求 () 1 a? b

?2?求a与b的夹角 ?的余弦

3 b 变式:已知 a =(1,)

=(3,m)若 )

与 的夹角为 b a

? 6

,则m=(

合作解疑

Rt ? ABC中, AB =(2,3), AC =(1,k) 求k的值?

总结提升
? 1、理解各公式的正向及逆向运用; ? 2、数量积的运算转化为向量的坐标运算; ? 3、掌握平行、垂直、夹角及距离公式,形 成转化技能。

布置作业
? 必做题 课本P107 1、2、3 ? 选做题 同步练习册P63 8、9


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