高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用训练理新人教版

第6节

正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与面积相关的问题 实际应用问题 综合问题 基础巩固(时间:30 分钟) 1.在△ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 的对边,若 A=,cos B=,b=8,则 a 等于( 题号 1,2,3,7 4,8,9,10 5,11 6,12,13,14,15 D )

(A)

(B)10

(C)

(D)5

解析:因为 cos B=,0<B<π , 所以 sin B= =,

所以由正弦定理可得 a=

=

=5.

故选 D. 2.设△ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状 为( B ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定 2 解析:由正弦定理及已知,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A, 2 所以 sin(B+C)=sin A, 2 2 即 sin(π -A)=sin A,sin A=sin A. 因为 A∈(0,π ),所以 sin A>0,所以 sin A=1,即 A=,故选 B. 3.(2017·南开区一模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=,c-a=2,b=3, 则 a 等于( A ) (A)2 (B) (C)3 (D) 解析:因为 c=a+2,b=3,cos A=,

所以由余弦定理可得 cos A=

,

即= 解得 a=2.故选 A.

,

4.(2017·山东平度二模)在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60°,a=

,b+c=3,
1

则△ABC 的面积为( B )

(A)

(B)

(C)
2 2

(D)2
2 2

解析:由余弦定理可得 a =b +c -2bccos A=(b+c) -2bc-2bccos A, 因为 a= ,b+c=3,A=60°,所以 3=9-3bc,解得 bc=2,

所以 S△ABC=bcsin A=×2×

=

,

故选 B. 5.(2017·甘肃一模)要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶的仰角是 45°,在 D 点测得塔 顶的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD= 120°,CD=40 m,则电视塔的高度是( B )

(A)30 m

(B)40 m

(C)40 m

(D)40 m x m,BC=x m,

解析:由题意,设 AB=x m,则 BD=

在△DBC 中,∠BCD=120°,CD=40 m, 根据余弦定理, 2 2 2 得 BD =CD +BC -2CD·BC·cos∠DCB, 即( x) =40 +x -2×40·x·cos 120°,
2 2 2 2

整理得 x -20x-800=0,解得 x=40 或 x=-20(舍), 即所求电视塔的高度为 40 m. 故选 B. 6.(2017·山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( A ) (A)a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D)B=2A 解析:因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C) =sin Acos C+sin(A+C) =sin Acos C+sin B, 等式左边=sin B+2sin Bcos C, 所以 sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B. 由 cos C>0,得 sin A=2sin B, 根据正弦定理,得 a=2b,故选 A. 7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= A= . ,c=3,则

解析:由正弦定理

=



=

,
2

所以 sin B=

,

又 b<c,所以 B<C,所以 B=45°,A=180°-60°-45°=75°. 答案:75°

8.(2017·江西湘潭二模)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,若 A= 的面积为 ,则 a 的值为 .

,b=

,△ABC

解析:因为由 S△ABC=bcsin A,可得× 所以 a =b +c -2bccos A=2+8-2× 解得 a= 答案: .
2 2 2

×c×sin ×2

=

,解得 c=2

,

×(-)=14,

能力提升(时间:15 分钟)

9.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos C= 接圆的面积为( C ) (A)4π (B)8π (C)9π (D)36π 解析:因为 bcos A+acos B=2,

,bcos A+acos B=2,则△ABC 的外

所以由余弦定理可得 b× 解得 c=2,

+a×

=2,

又因为 cos C=

,可得 sin C=

=,

所以设三角形的外接圆的半径为 R,

则 2R=

==6,可得 R=3,
2

所以△ABC 的外接圆的面积 S=π R =9π . 故选 C. 10.(2017·河北一模)△ABC 中,AB= ,AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积等于( D )

(A)

(B)

3

(C)



(D)



解析:AB=

,AC=1,cos B=cos 30°=
2 2 2

,

由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BCcos B, 2 即 1=3+BC -3BC, 即(BC-1)(BC-2)=0,解得 BC=1 或 BC=2, 当 BC=1 时,△ABC 的面积

S=AB·BCsin B=×

×1×=

,

当 BC=2 时,△ABC 的面积

S=AB·BCsin B=×

×2×=

,

所以△ABC 的面积等于



.

故选 D. 11.(2017·山西二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC 的 长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为( D )

(A)(1+ (C)(1+

)米 (B)2 米 )米 (D)(2+ )米 0.5)米,

解析:设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度为(y2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理得,AB =AC +BC -2AC·BCcos∠ACB, 2 2 2 即(y-0.5) =y +x -2yx×, 2 化简得 y(x-1)=x -,

因为 x>1,所以 x-1>0,因此 y=

=

-

=

-

=x+1+

,

所以 y=(x-1)+

+2≥

+2,

当且仅当 x-1=

时,取“=”号,
4

即 x=1+

时,y 有最小值 2+

.

故选 D. 12.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则△ BDC 的面积是 ,cos∠BDC= . 解析:依题意作出图形,如图所示.

则 sin∠DBC=sin∠ABC. 由题意知 AB=AC=4,BC=BD=2, 则 cos∠ABC=,

sin∠ABC=

.

所以 S△BDC=BC·BD·sin∠DBC

=×2×2×

=

.

因为 cos∠DBC=-cos∠ABC=-

=

= 所以 CD=

, .

由余弦定理,得

cos∠BDC=

=

.

答案: 13.(2017·天津卷 ) 在△ ABC 中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 asin A=4bsin B,ac= (a -b -c ).
5
2 2 2

(1)求 cos A 的值; (2)求 sin(2B-A)的值.

解:(1)由 asin A=4bsin B 及 由 ac=
2 2 2

=

,得 a=2b.

(a -b -c ),及余弦定理,得

cos A=

=

=-

.

(2)由(1)可得 sin A=

,代入 asin A=4bsin B,得

sin B=

=

.

由(1)知,A 为钝角,所以 cos B= 于是 sin 2B=2sin Bcos B=, 2 cos 2B=1-2sin B=, 故 sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A

=

.

=×(-

)-×

=-

.

14.(2017·北京卷)在△ABC 中,∠A=60°,c=a. (1)求 sin C 的值; (2)若 a=7,求△ABC 的面积. 解:(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=a,

所以由正弦定理得 sin C= (2)因为 a=7,所以 c=×7=3. 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A 2 2 2 得 7 =b +3 -2b×3×, 解得 b=8 或 b=-5(舍).



=

.

所以△ABC 的面积 S=bcsin A=×8×3×

=6

. cos

15.(2017· 全 国 Ⅲ 卷 ) △ ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 sin A+ A=0,a=2 ,b=2.

6

(1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积. 解:(1)由已知可得 tan A=,

所以 A=

,

在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c -4ccos 即 c +2c-24=0. 解得 c=-6(舍去)或 c=4. (2)由题设可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为
2

2

,

=1. 又△ABC 的面积为×4×2sin∠BAC=2 所以△ABD 的面积为 . ,

7


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