九年级数学下册 第一章《锐角三角函数 正弦与余弦》课件 北师大版_图文

九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系

1.从梯子的倾斜程度谈起(2)锐 角三角函数 正弦与余弦

回顾与反思 1

正切函数与余切函数

驶向胜利 的彼岸

?直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数 ?在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA,即 tanA= ?A的对边
?A的邻边

余切的定义:正切的倒数叫做∠A的余切,即 B 在Rt△ABC中,锐角A的邻边与 对边的比叫做∠A的余切,记作 斜边 ∠A的对边 cotA,即 cotA= ?A的邻边
?A的对边

A

┌ ∠A的邻边 C

想一想P1 2

本领大不大

悟心来当家

驶向胜利 的彼岸

?如图,我们知道:当Rt△ABC中的一个锐角A确定 时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它 边之间的比值也确定吗?
?结论: ?在Rt△ABC中,如果锐角A确 定时,那么∠ A的对边与斜 边的比,邻边与斜边的比也 A 随之确定.
B

斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C

想一想P2 3

正弦函数与余弦函数
斜边

驶向胜利 的彼岸

?在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即 sinA= ∠A的对边
?在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA,即 B cosA=
∠A的邻边 斜边 斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C

?锐角A的正弦,余弦,正切和 A 余切都叫做∠A的三角函数.

想一想P7 4

生活问题数学化

驶向胜利 的彼岸

?结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: ?sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡. ?如图,梯子的倾斜程度 与sinA和cosA有关吗?

例题欣赏P85

?例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=90 ,AC=200,sinA=0.6. C 求:BC的长. BC

行家看“门道”—已知正弦求边 长 0
AC

驶向胜利 的彼岸

?解:在Rt△ABC中,? sin A ?
怎样 解答

? 0.6, AC ? 200 ,

?

200 BC ? ? 0.6. ? BC ? 200 ? 0.6 ? 120 . 200

? AB ? 2002 ?1202 ? 160.

?老师期望: 请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和 tanC的值.你敢应战吗?

A

┌ B

做一做P8 6

知识的内在联系
?如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,cos

驶向胜利 的彼岸

?求:AB,sinB.

B AC 12 解: ? cos A ? ? , AC ? 10, AB 13 怎样 ┐ 10 12 10 ? 13 65 思考? ? ? .? AB ? ? .C AB 13 12 6 AC 10 12 ?sin B ? ? ? . AB 65 13 ?老师期望: 6

12 A? . 13

10

A

注意到这里cosA=sinB,其中有没有 什么内有的关系?

随堂练习P97

真知在实践中诞生

驶向胜利 的彼岸

?1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. A ?求: sinB,cosB,tanB.
解 : 过A作AD ? BC于D, 则在Rt?ABD中,
咋办
5 5 C ┌ AB ? 5, 易知BD ? 3, AD ? 4. B 6 D BD 3 AD 4 ? , ? sin B ? ? , cos B ? AB 5 AB 5 AD 4 tan B ? ? . BD 3

?

?老师提示:过点A作AD⊥BC于D.

随堂练习P97

真知在实践中诞生
?2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
?求:△ABC的周长和面积.

驶向胜利 的彼岸

4 sin A ? . 5
B

?解:在Rt△ABC中,
咋办

?

┐ BC 4 ? sin A ? ? , BC ? 20, C A AB 5 20 4 5 ? 20 ? ? .? AB ? ? 25, AC ? 252 ? 202 ? 15. AB 5 4 20 ?15 ? 150 . ?C?ABC ? 25 ? 20 ? 15 ? 60. S ?ABC ? 2

20

?老师提示:分别求出AB,AC.

随堂练习P9 8

八仙过海,尽显才能

驶向胜利 的彼岸

?3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 B 扩大100倍,sinA的值( C ) ?A.扩大100倍 B.缩小100倍 ?C.不变 D.不能确定 ?4.已知∠A,∠B为锐角 ?(2)若sinA=sinB,则∠A = ∠B.
A
┌ C

?(1)若∠A=∠B,则sinA = sinB;

随堂练习P6 9

八仙过海,尽显才能
?5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
(CD) (AC ) (AD) sin B ? ? ? . (BC ) (AB ) (AC )

驶向胜利 的彼岸

C

?6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值. 在Rt?DBC中,? BD ? 6, CD ? 12, ? BC ? 122 ? 62 ? 6 5.
CD 12 2 5 ? cos A ? cos BCD ? ? ? . BC 6 5 5

A

┌ D

B

?老师提示: ?模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得 .

随堂练习P6 18

八仙过海,尽显才能

驶向胜利 的彼岸

?7.如图,根据图(1) 求∠A的四个三角函数值. B ? AB ? 5 . 在Rt?ABC中,? AC ? 4, BC ? 3, 3 AC 4 BC 3 4 ┌ ? , ? sin A ? ? , cos A ? A C AB 5 AB 5 (1) BC 3 cot A ? AC ? 4 . tan A ? ? , BC 3 AC 4
?老师提示: ?求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

随堂练习P6 18

八仙过海,尽显才能

驶向胜利 的彼岸

?7.如图,根据图(2)求∠A的四个三角函数值. B 在Rt?ABC中,? AB ? 4, BC ? 3, 4 2 2 3 ? AC ? 4 ? 3 ? 7. ┌ A C BC 3 AC 7 (2) ? sin A ? ? , cos A ? ? , AB 4 AB 4 AC 7 BC 3 3 7 ? . tan A ? ? ? , cot A ? BC 3 AC 7 7 ?老师提示: ?求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

随堂练习P6 18

八仙过海,尽显才能

驶向胜利 的彼岸

?8.在Rt△ABC中,∠C=90°,如图(1)已知AC=3,AB=6, 求sinA和cosB 2 2 解 : 在Rt?ABC中,? AB ? 6, AC ? 3,? BC ? 6 ? 3 ? 3 3. BC 3 3 3 A ? sin A ? ? ? . AB 6 2 6
3 ┌C 3 3 (1)

BC 3 3 3 B cos B ? ? ? . AB 6 2 ?老师期望: 当再次注意到这里sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?

随堂练习P6 18

八仙过海,尽显才能

驶向胜利 的彼岸

?8.在Rt△ABC中,∠C=90°,如图(2),已知BC=3,sinA= ,求AC和AB. 3 5 BC 5 解 : 在Rt ?ABC 中,? sin A ? ? , BC ? 3,? AB ? 13 . AB 13 B 3 ?13 39 ? AB ? ? . 5 5 3 2 ┌C 36 ? 39 ? A 2 2 2 ? AC ? AB ? BC ? ? ? ? 3 ? . (2) 5 ? 5 ?

5 13

?老师提示: ?求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

随堂练习P6 19

八仙过海,尽显才能

驶向胜利 的彼岸

B BC 3 解 : 如图,? sin A ? ? , AB ? 15, 15 AB 5 9 ┌C BC 3 A ? ? . 15 5 3 ?15 ? BC ? ? 9. 5 ? AC ? AB2 ? BC2 ? 152 ? 92 ? 12.

?10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA= ?求AC和BC.

3 5

,

随堂练习P6 19

八仙过海,尽显才能
?11.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10. ?求sinB,cosB.

驶向胜利 的彼岸

C ?老师提示: ?过点A作AD垂直于BC于点D. ?求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

解 : 如图, 过点A作AD ? BC于点D, ?在Rt?ABD中, 易知BD ? 5, AD ? 12. BD 5 AD 12 ? . ? sin B ? ? . cos B ? AB 13 AB 13

A

B

┌ D

随堂练习P6 17

相信自己

驶向胜利 的彼岸

?12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. ?(1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA,cotA. 27

B
2 26 ┌C

解 : ?1?如图, 在Rt?ABC中,? AB ? 27, AC ? 25,

A

? BC ? 272 ? 252 ? 2 26.
AC 25 BC 2 26 ? , ? sin A ? ? , cos A ? AB 27 AB 27 BC 2 26 AC 25 25 26 tan A ? ? , cot A ? ? ? . AC 25 BC 2 26 52

25 (1)

随堂练习P6 17

相信自己
?12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. ?(2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB.

驶向胜利 的彼岸

B

5

BC 3 ?2?? sin A ? ? 0.6 ? , BC ? 3, AB 5 3 3 ? ? , AB 5

A

3 ┌C (2)

? AB ? 5, AC ? 52 ? 32 ? 4.

随堂练习P6 17

相信自己
?12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. ?(3)AC=4,cosA=0.8,求BC.

驶向胜利 的彼岸

AC 4 ?3?? cos A ? ? 0.8 ? , AC ? 4, AB 5 4 4 ? ? , AB 5 ? AB ? 5.

B

5
A 4 ┌C (3)

? BC ? 52 ? 42 ? 3.

随堂练习P6 17

相信自己
A

驶向胜利 的彼岸

?13.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18. ?求:sinB,cosB,tanB,cotB.

解 : 如图, 分别作AE ? BC, CF ? BC. 则在Rt?ABE中, AB ? 13, 易知BE ? 5, AE ? 12. AE 12 BE 5 ┌ ? sin B ? ? , cos B ? ? , B E AB 13 AB 13 AE 12 BE 5 tan B ? ? , cot B ? ? . AE 12 ?老师提示: BE 5

D

C

?作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转 化为直角三角形.

小结

拓展

回味无穷 驶向胜利
的彼岸

? 回顾,反思,深化
1.锐角三角函数定义:
tanA=
?A的对边 ?A的邻边

B 斜边

cotA=
sinA=

?A的邻边 ?A的对边

∠A的对边
A ┌ ∠A的邻边 C

∠A的对边 斜边
∠A的邻边 斜边

cosA=

请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系? tanA和cotB有什么关系? 你能写出它们的关系吗?

小结

拓展

回味无穷 驶向胜利
的彼岸

? 定义中应该注意的几个问题:

? 1.sinA,cosA,tanA,cotA是在直角三角形中定义的 ,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). ? 2.sinA,cosA,tanA,cotA是一个完整的符号,分别表 示∠A的正弦,余弦,正切,余切(习惯省去“∠”号). ? 3.sinA,cosA,tanA,cotA是一个比值.注意比的顺序. 且sinA,cosA,tanA,cotA均﹥0,无单位. ? 4.sinA,cosA,tanA,cotA的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. ? 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数 值相等,则这两个锐角相等.

独立 作业

知识的升华

P9 习题1.2 1,2,3,4题;

祝你成功!
驶向胜利 的彼岸

P9习题1.2 1,2,3,4题

独立 作业
α 9

1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.

2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4. ┐ β x 求:CD,sinC. 3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5. 求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD. 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB 有什么关系?
驶向胜利 的彼岸

36 5

下课了!

结束寄语
? 数学中的某些结论具有这样的特 性:它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏极深. ? 只有不畏艰险的人,才能领略学 无止境的真谛!


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