高考数学大题规范训练 :数列综合题

高考冲刺 大题规范练 数列综合题
(限时:60 分钟) 1.(2013·高考山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ 数列{cn}的前 n 项和 Rn.

an+1
2
n

=λ (λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N ),求

*

3 2.已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1、 a2、a2 成等差数列. 2 (1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为-a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn,求不等式 Tn-bn>0 的解集.

3. (2014·济南市模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, an+1=2Sn+1(n∈N ), 等差数列{bn} 满足 b3=3,b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=

*

bn+2 1 * (n∈N ),求证:cn+1<cn≤ . an+2 3

4.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求数列{an}的通项 an;

an

an+3

(n∈N ).

*

(2)若数列{bn}满足 bn=(3 -1) nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(-1) λ <Tn 2 对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.
*

n

n

n

a2 n+1 5.(2014·辽宁省五校联考)已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p· (其中 p an
为非零常数,n∈N ). (1)判断数列? (2)求 an; (3)当 a=1 时,令 bn=
?an+1? ?是不是等比数列; ? an ?
*

nan+2 ,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Sn. an

2Sn 1 2 2 6.(2013·高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, =an+1- n -n- ,n∈ n 3 3 N. (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 a2 an 4
*

大题规范练(三)
1.解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ① ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1. ?

解得?

?a1=1, ? ? ?d=2.
*

因此 an=2n-1,n∈N .②(4 分) (2)由题意知 Tn=λ - n-1, 2

n

n n-1 n-2 所以当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2
故 cn=b2n=
n-1 2n-2 ?1? ,n∈N*.(6 分) 2n-1 =(n-1)? ? 2 ?4?

0 1 2 3 n-1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Rn=0×? ? +1×? ? +2×? ? +3×? ? +…+(n-1)×? ? , ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 2 3 n-1 n 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 则 Rn=0×? ? +1×? ? +2×? ? +…+(n-2)×? ? +(n-1)×? ? .(8 分) 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?

两式相减得 3 ?1? ?1? ?1? ?1? Rn=? ? +? ? +? ? +…+? ? 4 ?4? ?4? ?4? ?4?
1 2 3

n-1

?1? -(n-1)×? ? ?4?

n

1 ?1?n -? ? n 4 ?4? ?1? 1 1+3n = -(n-1)×? ? = - 1 3 ?4? 3 1- 4

?1? , ?4? ? ?
1? 3n+1? 整理得 Rn= ?4- n+1 ?. 4 9? ? 1? 3n+1? 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= ?4- n-1 ?.(12 分) 4 9? ? 3 2.解:(1)∵4a1、 a2、a2 成等差数列, 2 ∴4a1+a2=3a2, 即 4a1=2a2,∴q=2.(2 分) 则 S6=

n

a1(1-26)
1-2

1 =21,解得 a1= , 3

∴an=

2

n-1

3

.(5 分)

1 ? 1? 7-n, (2)由(1)得-a1=- ,∴bn=2+(n-1)?- ?= 3 3 ? 3?
2 n ? 1? 13n-n ,(9 分) Tn=2n+ (n-1)·?- ?=

2

? 3?

6

∴Tn-bn>0,即-

(n-1)(n-14) * >0,解得 1<n<14(n∈N ), 6
*

故不等式 Tn-bn>0 的解集为{n∈N |1<n<14}.(12 分) 3.解:(1)由 an+1=2Sn+1,① 得 an=2Sn-1+1(n≥2,n∈N ),② ①-②得 an+1-an=2(Sn-Sn-1), ∴an+1=3an(n≥2,n∈N ), 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,∴an=3 ∵b5-b3=2d=6,∴d=3, ∴bn=3n-6.(6 分) (2)∵an+2=3 ∴cn=
n+1 n-1
* *

.(4 分)

,bn+2=3n,(8 分)

3n n n+1= n,(9 分) 3 3 1-2n n+1 <0,(10 分) 3

∴cn+1-cn=

1 ∴cn+1<cn<…<c1= ,(11 分) 3 1 即 cn+1<cn≤ .(12 分) 3 4.解:(1)由题知, ∴ 1 1

an+1



an+3 3 = +1, an an

1 ? 1 1? + =3? + ?, an+1 2 ?an 2?

n 1 1 ? 1 1? 3 n-1 ∴ + =? + ?·3 = , an 2 ?a1 2? 2

∴an=

2 .(4 分) n 3 -1

n-1 n 2 ?1? n (2)由(1)知,bn=(3 -1)· n· n =n·? ? , 2 3 -1 ?2?

Tn=1×1+2×? ? +3×? ? +…+n·? ? 2 2 2

?1? ? ?

1

?1? ? ?

2

?1? ? ?

n-1



2 n-1 1 1 ?1? ?1? Tn=1× +2×? ? +…+(n-1)? ? + 2 2 ?2? ?2?

n? ? ,(6 分) 2
两式相减得,
n ?1? 1-? ? 1 1 1 1 n n+2 n+2 ?2? n Tn=1+ + 2+…+ n-1- n= - n=2- n ,∴Tn=4- n-1 .(8 分) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1- 2

?1? ? ?

n

∵Tn+1-Tn=?4-

? ?

n+3? ? n+2? n+1 n ?-?4- n-1 ?= n >0,
2 ?

?

2

?

2

∴{Tn}为递增数列. ①当 n 为正奇数时,-λ <Tn 对一切正奇数成立, ∵(Tn)min=T1=1,∴-λ <1,∴λ>-1; ②当 n 为正偶数时,λ<Tn 对一切正偶数成立, ∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2. 综合①②知,-1<λ <2.(12 分) 5.解:(1)由 an+2=p· 令 cn=

a2 an+2 an+1 n+1 ,得 =p· .(1 分) an an+1 an

an+1 ,则 c1=a,cn+1=pcn. an cn+1 =p(非零常数), cn

∵a≠0,∴c1≠0, ∴数列?

?an+1 ? ?是等比数列.(3 分) ? an ?

(2)∵数列{cn}是首项为 a,公比为 p 的等比数列, ∴cn=c1·p
n-1

=a·p

n-1

,即

an+1 n-1 =ap .(4 分) an
2

n -3n+2 an an-1 a2 n-2 n-3 0 n-1 当 n≥2 时,an= · ·…· ·a1=(ap )×(aq )×…×(ap )×1=a p 2 , an-1 an-2 a1

(6 分)
n -3n+2
2

∵a1 满足上式,∴an=a (3)∵

n-1

p

2

,n∈N .(7 分)

*

an+2 an+2 an+1 n n- 1 2 2n-1 = · =(ap )×(ap )=a p , an an+1 an nan+2 2n-1 =np .(8 分) an
2n-1

∴当 a=1 时,bn=
1

∴Sn=1×p +2×p +…+np

3

,①

p2Sn=1×p3+…+(n-1)p2n-1+np2n+1.②
∴当 p ≠1 时,即 p≠±1 时,①-②得: (1-p )Sn=p +p +…+p =
2 1 3 2n-1 2

-np

2n+1

p(1-p2n) 2n+1 -np , 2 1-p p(1-p2n) np2n+1 2 2 - 2 ;(11 分) (1-p ) 1-p n(n+1)
2 ;(12 分)

即 Sn=

当 p=1 时,Sn=1+2+…+n=

当 p=-1 时,Sn=(-1)+(-2)+…+(-n)=- 综上所述, ,p=1, 2 ? ? n(n+1) ,p=-1, S =?- 2 p(1-p ) np ? ? (1-p ) -1-p ,p≠±1.

n(n+1)
2

.(13 分)

n(n+1)

n

2n

2n+1 2

2

2

1 2 6.解:(1)依题意,2S1=a2- -1- , 3 3 又 S1=a1=1,所以 a2=4.(2 分) 1 3 2 2 (2)解法一:由题意 2Sn=nan+1- n -n - n, 3 3 1 2 3 2 所以当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an- (n-1) -(n-1) - (n-1),(4 分) 3 3 1 2 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n -3n+1)-(2n-1)- , 3 3 整理得 nan+1-(n+1)an=n(n+1),即

an+1 an - =1.(6 分) n+1 n

a2 a1 4 1 又当 n=1 时, - = - =1, 2 1 2 1
所以数列? ?是首项为 =1,公差为 1 的等差数列, 1 ?n ? 所以 =1+(n-1)×1=n,所以 an=n , 所以数列{an}的通项公式为 an=n ,n∈N .(8 分) 2Sn 1 2 2 解法二:因为 =an+1- n -n- , n 3 3
2 *

?an?

a1

an n

2

所以

2Sn

1 2 2 =Sn+1-Sn- n -n- .(4 分) n 3 3

整理得 所以

n+2 1 Sn=Sn+1- (n+1)(n+2), n 3

Sn+1 Sn 1 - = , (n+1)(n+2) n(n+1) 3
? ? Sn S1 1 ?是首项为 ,公差为 的等差数列,(6 分) 2 3 ?n(n+1)?

所以数列? 所以

Sn S1 1 2n+1 = + (n-1)= , n(n+1) 2 3 6 n(n+1)(2n+1)
6 ,

所以 Sn=

所以 Sn-1=

(n-1)n(2n-1) (n≥2), 6
2

所以 an=Sn-Sn-1=n (n≥2). 因为 a1=1 符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=n ,n∈N .(8 分) 1 1 1 (3)证明:设 Tn= + +…+ .
2 *

a1 a2

an

1 7 当 n=1 时,T1= =1< ; a1 4 1 1 1 5 7 当 n=2 时,T2= + =1+ = < ; a1 a2 4 4 4 1 1 当 n≥3 时, = 2<

an n

1 1 1 = - ,(10 分) (n-1)n n-1 n

1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1 -1? 此时 Tn=1+ + 2+ 2+…+ 2<1+ +? - ?+? - ?+…+? ? 2 3 3 4 4 3 4 n 4 ? ? ? ? ?n-1 n? 1 1 1 7 1 7 =1+ + - = - < . 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有 + +…+ < .(12 分) a1 a2 an 4


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