【优化方案】高中数学 第1章1.2.3第二课时直线与平面垂直及直线与平面所成的角课件 苏教版必修2_图文

第二课时 直线与平面垂直及直线与 平面所成的角 学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义与判定定理及 性质定理,并能灵活应用判定定理证明直线 与平面垂直; 2.知道直线与平面所成角的概念,并能解 决简单的线面角问题. 与 平直 面线 所与 成平 的面 角垂 直 及 直 线 第 二 课 时 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 温故夯基 1 .直线与平面的位置关系:线在面内 ________ 、 线面平行 ________、线面相交 ________. 90 ° 时,两 2.两条异面直线所成的角为 ___ 直线垂直. 知新益能 1.直线与平面垂直 任意一条 (1)定义:如果直线l与平面α内的 ________ 直线都____,就说直线l与平面α 垂直 互相垂直. 记法 垂线 垂面 垂足 l⊥ α l α 惟一公共点P 1.若一条直线与平面内的无数条直线垂直, 则这条直线和这个平面垂直吗?为什么? 提示:不一定垂直.例如, a1∥a2∥a3∥?,且a1,a2,??α,l与这 组平行直线垂直,有可能直线l在这个平面 内. 思考感悟 (2)判定定理 文字表述:一条直线与一个平面内的两 相交 条 _____直线都垂直,则该直线与此平面垂 直. ? l⊥ a ? ? l⊥ b ??l⊥α. a ?α,b?α ? __________ a∩b=P ? __________ ? 符号表述: 2.定理中若去掉a∩b=P,结论还成立吗? 提示:不一定,如图正方体中,a,b?α, l⊥a,l⊥b,但l∥α,故定理中的“两条相交 直线”是不可缺少的条件. (3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 平行 垂直于同一个平面的两条直线_____ a⊥ α? ? ?? _____ a∥ b b⊥ α? ? 图形语言 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线 作用 2.距离 (1) 点到平面的距离:从平面外一点引平 面的垂线,这个点和垂足 ____ 间的距离,叫做 这个点到这个平面的距离. (2)直线到平面的距离:一条直线和一个 平面平行,这条直线上 ________到这个平 任意一点 面的距离,叫做这条直线和这个平面的距 离. 3.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上 锐角 射影 的____所成的 ____,叫做这条直线和这个 平面所成的角. ∠PAO 就是斜线AP与平面α所成的 如图,______ 角. (2) 当直线 AP 与平面垂直时,它们所成的 直角. 角是____ (3) 当直线与平面平行或在平面内时,它 们所成的角是___. 0° 0°≤ θ≤90° (4)线面角θ的范围是 ____________. 课堂互动讲练 考点突破 线面垂直的判定 应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂 直,是证明直线与平面垂直的最主要方 法.充分利用条件寻找平面中的两条相交直 线与已知直线垂直是问题得到解决的关 键.在题目中若没有现成的垂线,则作相应 的辅助线来帮助解决. 例1 如 图 所 示 , 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中, P 为 DD1 的中点, O 为 ABCD 的中心,求证:B1O⊥平面PAC. 【思路点拨】 要证 B1O⊥平面 PAC,只 需证 B1O 垂直于平面 PAC 中的两条相交直 线. 【证明】 如图所示,连结 AB1,CB1, 设 AB=1. ∵AB1=CB1= 2,AO=CO, ∴B1O⊥AC.连结 PB1,DB,B1D1, 3 2 2 2 2 ∵ OB 1 = OB + BB 1 = , PB 2 = PD 1 1+ 2 9 3 2 2 2 2 B1D1= ,OP =PD +DO = , 4 4 2 2 ∴OB2 + OP = PB 1 1,∴B1O⊥PO. ∵PO∩AC=O,PO?平面 PAC,AC? 平面 PAC, ∴B1O⊥平面 PAC. 【名师点评】 利用直线与平面垂直的 判定定理判定直线与平面垂直的步骤是: ①在这个平面内找两条直线,使它们和已 知直线垂直;②确定这个平面内的两条直 线是相交的直线;③根据判定定理得出结 论. 变式训练 1 如图所示,四边形 ABCD 为 正方形, SA 垂直于四边形 ABCD 所在的平 面,过点 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB , SC , SD 于点 E , F , G. 求证: AE ⊥ SB , AG⊥SD. 证明: ∵SA⊥面 ABCD, BC?面 ABCD, ∴SA⊥BC. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. ∵SA∩AB=A,SA?面 SAB,AB?面 SAB, ∴BC⊥面 SAB. ∵AE?面 SAB,∴BC⊥AE, ∵SC⊥面 AEFG,AE?面 AEFG, ∴ SC ⊥ AE. ∵ BC∩SC = C ,∴ AE ⊥面 SBC. ∵SB?面 SBC,∴AE⊥SB. 同理,AG⊥SD. 线面垂直的性质的应用 线面垂直的性质定理的实质是实现了由线 面垂直向线线垂直的转化. 例2 ( 本题满分 14 分 ) 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是 A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证: (1)MN∥AD1; (2)M是AB的中点. 【思路点拨】 对于 (1) 要证明线线平行, 要先证线面垂直,即证AD1⊥平面A1DC. 对于(2)可利用平行的传递性加以证明. 【规范解答】 (1)∵ADD1A1 为正方形, ∴ AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1, ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D, ∴AD1⊥平面 A1DC.4 分 又∵MN⊥平面 A1DC,∴MN∥AD1.6 分 (2)如图,连结 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC. 1 1 / / / / ∴ON CD AB, 2 2 ∴ON∥AM.10 分

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