2016届高考数学大一轮复习 第四章 27平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 文_图文

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考点 ? 分层整合

1.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB就是向 量a与b的夹角.

(2)图示: (3)范围:设θ 是向量a与b的夹角,则0°≤θ ≤180°.

(4)共线与垂直:若θ =0°,则a与b同向; 若θ =180°,则a与b反向;若θ =90°,则a与b垂直.
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2.平面向量的数量积
设两个非零向量a,b的夹角为θ ,则数量 |a||b|cos θ 叫做a与b的数量积,记作a?b

定义

投影

|a|cos θ 叫做向量a在b方向上的投影, |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 投影|b|cos θ 的乘积

几何意义

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3.平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ 为a与b(或e)的夹 角.则

(1)e?a=a?e=|a|cos θ . (2)a⊥b?a?b=0. (3)当a与b同向时,a?b=|a|?|b|. 当a与b反向时,a?b=-|a|?|b|, ? ? 2 特别地,a?a= |a| 或者|a|= a?a . ? ? ?b (4)cos θ =a (5)a?b≤|a||b|. ? ?
a b

4.数量积的运算律 (1)交换律:a?b=b?a. (2)数乘结合律:(λa)?b=λ(a?b)=a?(λb). (3)分配律:a?(b+c)=a?b+a?c.
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4.数量积的运算律
(1)交换律:a·b=b·a. (2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 5.平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ ,则

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考点 ? 分类整合

1.明确两个结论:
(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a?b>0,反之不成立(因 为夹角为0时不成立); (2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a?b<0,反之不成立(因 为夹角为π时不成立).

2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最 值问题常用的方法与技巧.

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考向分层突破一:平面向量数量积的运算

(2)在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB 上运动,则 EC · EM 的取值范围是( )
A.[ 1 ,2] 2
C(1,1),

B.[0, 3] 2

C.[ 1 , 3] 2 2

D.[0,1]
1 2

(2)将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E(x,0),0≤x≤1.又M(1, )

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例1:2 (2013·江西卷)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角 π 为 ,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为 3 ________.
解析:(1)依题意得|e1|=|e2|=1 1 且e1·e2=1 ,a·b=(e1+3e2)·2e1=2e1 2 +6e1·e2=2+6× =5,|b|=2,
2
2

? ? 2 + 6? 1 a?b 2 =5 所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a,b〉= ? = 2 2 b

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3(2014?江苏卷)如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP?BP=2,则AB?AD的值是 ______.
解析: 由CP=3PD,得 DC= AB, 1 DP= 4 AP=AD+DP=AD+ 4 AB, 3 1 BP=AP-AB=AD+ 4 AB-AB=AD- 4 AB.
1 3 因为AP?BP=2,所以(AD+ AB)?(AD- 4 4 3 1 2 2 即AD - 2 AD?AB- 16 AB =2. 1 4
1

AB)=2,

又因为AD2=25,AB2=64,所以AB?AD=22. 答案: 22

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平面向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解, 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问 题,解题时应灵活选择相应公式求解.

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考向分层突破二:平面向量数量积的性质

例1 (1)(2014?重庆卷)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且 (2a-3b)⊥c,则实数k=( ) 15 9 A.- B.0 C. 3 D.
2 2

解析:(1)因为a=(k,3),b=(1,4), 所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6). 因为(2a-3b)⊥c, 所以(2a-3b)?c=(2k-3,-6)?(2,1)=2(2k-3)-6=0, 解得k=3.故选C.

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△ABC中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC中点,则|AD|等于 ( ) A.2 B. C.6 D .8 14 1 (2)因为AD= (AB+AC)= (2a+2b+2a-6b)=2a-2b,
2 2

π (2)已知平面向量a,b的夹角为 6 ,且|a|= 3 ,|b|=2,在

所以|AD|2=4(a-b)2=4(a2-2b?a+b2)
π =4×(3-2×2× 3 ×cos +4) 6

=4, 则|AD|=2.

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(3)(2014?江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且 cosα=
1 ,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则 3

cos β=________. (3)a2=(3e
1-2e2

1 2 ) =9+4-2×3×2×

3

=9,
1 3 =8,

b2=(3e1-e2)2=9+1-2×3×1×

1 a?b=(3e1-2e2)?(3e1-e2)=9+2-9×1×1× 3
答案:

=8,

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同类练1.(2014?武汉调研)已知向量a,b,满足|a|=3,|b| = 2 3 ,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为( ) A.
π 2

B.

2π 3

C. 3π
4

D. 5π
6

解析:

a⊥(a+b)?a?(a+b)=a2+a?b =|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0, 故cos〈a,b〉=- 3 ,
2

故所求夹角为
答案: D

5π 6

.

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同类练2.已知向量a=(4,3),b=(-2,1),如果向量a+λb与b 垂直,那么|2a-λb|的值为( ) A.1
解析:

B.5

C. 5

D.5 5

a+λb=(4,3)+λ(-2,1)=(4-2λ,3+λ).

∵(a+λb)⊥b, ∴(4-2λ,3+λ)?(-2,1)=-2(4-2λ)+(3+λ)=0. 解得λ=1.∴2a-λb=(8,6)-(-2,1)=(10,5).

∴|2a-λb|= 答案: D

102 + 52 = 5 5

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变式练3.(2014?山东卷)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向 量a,b的夹角为 π ,则实数m=( )
6

A.2 3

B. 3

C .0

- 3 D.

答案:

B

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变式练4.(2014?新课标全国Ⅱ)设向量a,b满足|a+b|= 10 , |a-b|= 6 ,则a?b=( )

A.1 B.2 C.3 D.5

解析:

由|a+b|= 10,|a-b|= 6 ,

得a2+2a?b+b2=10,a2-2a?b+b2=6, 两式相减,得4a?b=4,∴a?b=1.

答案:

A

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变式练5.已知向量a= (- 1 , 3 ) ,
2 2

OA =a-b,OB =a+b,

若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为 ________.
解析:由题意得,|a|=1, 又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,

所以OA ⊥OB ,|OA |=|OB |.
由OA ⊥OB 得(a-b)?(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|, 由|OA|=|OB|得|a-b|=|a+b|,所以a?b=0. 所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,所以|OB|=|OA|= 2 ,
1 故S△OAB= ? 2 ? 2 2

=1

答案:

1

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拓展练6.已知AB、AC是非零向量,且满足(AB-2AC)⊥AB,(AC -2AB)⊥AC,则△ABC的形状为( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
解析: ∵(AB-2AC)⊥AB?(AB-2AC)?AB=0,

即AB?AB-2AC?AB=0.(AC-2AB)⊥AC?(AC-2AB)?AC=0,
即AC?AC-2AB?AC=0.∴AB?AB=AC?AC=2AB?AC
???? ???? AB ? AC 1 ???? = , 即|AB|=|AC|,而cos ∠A= ???? AB AC 2

∴∠A=60°,∴△ABC为等边三角形.

答案: C

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拓展练7.(2014?安徽合肥二模)设|AB|=2,|AC|=3,∠BAC= 60°,CD=2BC,AE=xAD+(1-x)AB,x∈[0,1],则AE在AC上的 投影的取值范围是( ) A.[0,1] B.[1,7]C.[7,9] D.[9,21]
解析: 由AE=xAD+(1-x)AB,x∈[0,1],

可知B,D,E共线,且E点在线段BD上,如图所示. 因为E点在线段BD上, 所以AE在AC上的投影d的取值范围|AF|≤d≤|AG|,

而|AF|=|AB|?cos 60°=2×

1 =1,|CG|=2|CF|=2?(3-1)=4, 2

|AG|=|CG|+|AC|=4+3=7, 所以d∈[1,7],故选B.
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平面向量数量积应用的技巧

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考向大突破三:平面向量与三角函数

例2 (2014?广州摸底考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a, b,c,向量m=(cos(A -B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B), 3 且m?n=- . 5 (1)求sin A的值; (2)若a=4 2 ,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.
3 解析:(1)由m?n=- ,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-3 , 5 5 3 所以cos A=- . 5 3 4 12 - cos2 A = 12 - ( )2 = 因为0<A<π,所以sin A= 5 5 4 a b 5 ? = (2)由正弦定理,得 2 5 则sin B= bsinA = = sinA sinB a 2 4 2 π 3 2 2 2 因为a>b,所以A>B,则B= ,由余弦定理得(4 2 ) = 5 + c - 2 ? 5c ? (- ) 4 5 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=ccos B=1× 2 ? 2 2 2
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跟踪练(2014?广东揭阳一中摸底)已知向量a=(cos x,sin x), b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). (1)若x= π ,求向量a,c的夹角;
6

π 9π [ (2)当x∈ 2 , 8 ] 时,求函数f(x)=2a?b+1的最大值.
2x+sin xcos x)+1 (2)f(x)= 2a?b + 1 =2( -cos 解析: (1) ∵ a = (cos x, sin x),c=(-1,0),

=2sin xcos x-(2cos2x-1) =sin 2x-cos 2x

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平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的 关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量 的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量 的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值 域等.

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