高中数学(人教a版)必修一教案:§2.1.2指数函数及其性质(1)

一.教学设想: 1. 情境设置

2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时) 第一课时

①在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y ? 1.073x (x ? x ? 20)与问题(2)

中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(

1 2

)5

1 30

]t

,请问这两个函数有什么共同特征.

②这两个函数有什么共同特征

把P=[(

1 2

t
)5730

]变成P

?

[(

1

)

1 5730

2

]t

,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量

为指数,即都可以用 y ? ax ( a >0 且 a ≠1 来表示).

二.讲授新课 指数函数的定义

一般地,函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义

域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?

(1) y ? 2x?2

(2) y ? (?2)x

(3) y ? ?2x

(4) y ? ? x

(5) y ? x2

(6) y ? 4x2

(7) y ? xx

(8) y ? (a ?1)x ( a >1,且 a ? 2)

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a x 是一个

确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.

若a

?

0,

??当x ???当x

? ?

0时,a 0时,a

x等于0 x无意义



a

<0,如

y

?

(?2)x

,

先时,对于x=

1 6

,

x

?

1 8

等等,在实数范围内的函数值不存在.

若 a =1, y ? 1x ? 1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 y ? ax (a ? 0, 且a ? 1) 的

1
形式才能称为指数函数, a为常数,象y=2-3x,y=2x , y ? xx , y ? 3x?5, y ? 3x ?1等等,不符

合 y ? ax (a ? 0且a ? 1)的形式,所以不是指数函数 .
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研 究. 下面我们通过
先来研究 a >1 的情况

用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 y ? 2x 的图象

x ?3.00 ?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

y ? 2x

1

1

?8

4

1

1

2

4

2

y

y=2x

-

-

-

-

-

-

-
-
-
-

-

-

0

x

-

再研究,0<

a

<1

的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数

y

?

(1

)x

的图象.

2

x ?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50

y ? (1)x

1

2

4

1

1

2

4

2

y

?

? ??

1 2

?x ? ?

y

-

-

-

-

-

-

-

-

0

x

从图中我们看出 y ? 2x与y ? (1)-x的图象有什么关系?

2

通过图象看出 y ? 2x与y ? (1)x的- 图象关于y轴对称, 实质是 y ? 2x 上的点(-x, y) 2

与y=(

1 2

)x上点(-x,

y)关于y轴对称.

讨论: y ? 2x 与y ? (1)x 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? 2

② 利 用 电 脑 软 件 画 出 y ? 5x , y ? 3x , y ? (1)x, y ? (1)x 的 函 数 图 象 .

y

?

? ??

1 5

? ??

x

y ? 5x

3

5

y

?

? ??

1 3

? ??

x

y ? 3x

0

8 6 4 2

-5 -2

5

10

-4

-6

-8
问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

从 图 上 看 y ? ax ( a > 1 ) 与 y ? ax ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .

8

y ? ax (0 ? a ? 1)

6

y ? ax (a ? 1)

4

2

-1 0

-5

0

-2

5

10

-4

-6

-8
问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、 奇偶性.

问题 3:指数函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

图象特征

a >1

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸

图象关于原点和 y 轴不对称

函数图象都在 x 轴上方

函数性质

a >1

0< a <1

函数的定义域为 R

非奇非偶函数

函数的值域为 R+

函数图象都过定点(0,1)

a0 =1

自左向右, 图象逐渐上升

自左向右, 图象逐渐下降

增函数

在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1

在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1

x >0, a x >1

在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

x <0, a x <1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

减函数
x >0, a x <1 x <0, a x >1

(1)在[a,b]上, f(x)=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是[ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)];

(2)若 x ? 0, 则f(x)? 1; f(x)取遍所有正数当且仅当x ?R;

(3)对于指数函数 f (x) ? ax ( a >0 且 a ≠1),总有 f (1) ? a;
(4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f (x1) < f (x2 ) ;
例题:
例 1:(P56 例 6)已知指数函数 f (x) ? ax ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ),求
f (0), f (1), f (?3)的值.
1
分析:要求 f (0), f (1), f (?3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(? 3 )x , 再把 0,1,3 分别 代入 x ,即可求得 f (0), f (1), f (?3).
提问:要求出指数函数,需要几个条件?


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